Номер 8.35, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.35. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле $p = 0,8$. Найдите:

1) закон распределения СВ $X$, равный числу попаданий в мишень;

2) $P(1 < X < 3)$;

3) $M(X)$ и $D[X]$;

4) определить вид распределения.

1) закон распределения СВ X, равный числу попаданий в мишень;

В задаче рассматривается серия из $n=4$ независимых испытаний (выстрелов). Каждое испытание имеет два исхода: попадание (успех) или промах (неудача). Вероятность успеха $p$ постоянна для каждого испытания и равна $p=0,8$. Вероятность неудачи $q$ равна $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.
Случайная величина $X$, равная числу успехов (попаданий) в $n$ испытаниях, имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ попаданий, вычисляется по формуле Бернулли:
$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
Возможные значения $X$: 0, 1, 2, 3, 4. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений:
$P(X=0) = C_4^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,0016 = 0,0016$
$P(X=1) = C_4^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^3 = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,008 = 0,0256$
$P(X=2) = C_4^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 0,64 \cdot 0,04 = 6 \cdot 0,0256 = 0,1536$
$P(X=3) = C_4^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^1 = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 = 0,4096$
$P(X=4) = C_4^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,4096 \cdot 1 = 0,4096$
Закон распределения представляет собой соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Ответ: Закон распределения СВ $X$ можно представить в виде ряда распределения:
$X_i$: 0, 1, 2, 3, 4
$P_i$: 0,0016; 0,0256; 0,1536; 0,4096; 0,4096

2) P(1 < X < 3);

Событие $1 < X < 3$ для дискретной случайной величины $X$, которая может принимать только целые значения, означает, что $X$ должен быть равен 2. Таким образом, нам нужно найти $P(X=2)$.
Из пункта 1 мы уже знаем эту вероятность:
$P(1 < X < 3) = P(X=2) = 0,1536$

Ответ: $P(1 < X < 3) = 0,1536$.

3) M(X) и D[X];

Для биномиального распределения математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ и дисперсия $D(X)$ вычисляются по формулам:
$M(X) = n \cdot p$
$D(X) = n \cdot p \cdot q$
Подставим наши значения $n=4$, $p=0,8$ и $q=0,2$:
$M(X) = 4 \cdot 0,8 = 3,2$
$D(X) = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 3,2 \cdot 0,2 = 0,64$

Ответ: $M(X) = 3,2$; $D(X) = 0,64$.

4) определить вид распределения.

Так как случайная величина $X$ представляет собой число "успехов" (попаданий) в фиксированной серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность "успеха" $p$ постоянна, то данное распределение является биномиальным. Параметры этого распределения: число испытаний $n=4$ и вероятность успеха в одном испытании $p=0,8$.

Ответ: Биномиальное распределение.