Номер 8.31, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.31. $x_2 = 2,5, p_2 = 0,4, M(X) = 2,2.$

Пусть X — дискретная случайная величина. Из условия задачи известны следующие данные: одно из возможных значений $x_2 = 2,5$, вероятность этого значения $p_2 = 0,4$, и математическое ожидание величины $M(X) = 2,2$. Необходимо восстановить закон распределения этой случайной величины.

Для любого закона распределения дискретной случайной величины должны выполняться два условия:
1. Сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.
2. Математическое ожидание $M(X)$ равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: $M(X) = \sum x_i p_i$.

Предположим, что случайная величина X имеет только два возможных значения, так как это простейший случай, удовлетворяющий условию. Обозначим их $x_1$ и $x_2$, а их вероятности — $p_1$ и $p_2$.

Используя первое свойство (сумма вероятностей равна 1), мы можем найти неизвестную вероятность $p_1$:

$p_1 + p_2 = 1$

Подставим известное значение $p_2 = 0,4$:

$p_1 + 0,4 = 1$

$p_1 = 1 - 0,4 = 0,6$

Теперь, зная обе вероятности, мы можем использовать второе свойство (формулу математического ожидания) для нахождения неизвестного значения $x_1$:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$

Подставим известные значения $M(X) = 2,2$, $p_1 = 0,6$, $x_2 = 2,5$ и $p_2 = 0,4$:

$2,2 = x_1 \cdot 0,6 + 2,5 \cdot 0,4$

$2,2 = 0,6 x_1 + 1,0$

Решим это уравнение относительно $x_1$:

$0,6 x_1 = 2,2 - 1,0$

$0,6 x_1 = 1,2$

$x_1 = \frac{1,2}{0,6} = 2$

Таким образом, мы нашли все недостающие элементы закона распределения. Полный закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы:

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X & 2 & 2,5 \\ \hline P & 0,6 & 0,4 \\ \hline \end{array} $

Проверим правильность решения: сумма вероятностей $0,6 + 0,4 = 1$, что верно. Математическое ожидание $M(X) = 2 \cdot 0,6 + 2,5 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,0 = 2,2$, что совпадает с условием.

Ответ: Неизвестное значение случайной величины равно $x_1=2$, а его вероятность $p_1=0,6$.