Номер 8.26, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.26. Определите закон распределения дискретной СВ, заданной в упражнениях: 1) 8.13; 2) 8.14; 3) 8.20; 4) 8.21.

1) 8.13

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, обозначающая число стандартных деталей среди двух отобранных. Всего в партии 10 деталей, из которых 8 стандартных и 2 нестандартных. Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1 или 2. Найдем вероятности этих значений по классической формуле вероятности. Это задача на гипергеометрическое распределение.

Вероятность того, что $X=0$ (обе отобранные детали нестандартные). Число способов выбрать 2 нестандартные детали из 2 и 0 стандартных из 8:

$P(X=0) = \frac{C_2^2 \cdot C_8^0}{C_{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{45} = \frac{1}{45}$.

Вероятность того, что $X=1$ (одна деталь стандартная и одна нестандартная):

$P(X=1) = \frac{C_8^1 \cdot C_2^1}{C_{10}^2} = \frac{8 \cdot 2}{45} = \frac{16}{45}$.

Вероятность того, что $X=2$ (обе детали стандартные):

$P(X=2) = \frac{C_8^2 \cdot C_2^0}{C_{10}^2} = \frac{\frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 1}{45} = \frac{28}{45}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа стандартных деталей $X$ представлен в таблице:

2) 8.14

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу стандартных деталей среди трех отобранных. В партии 6 деталей, из них 4 стандартных и 2 нестандартных. Общее число способов выбрать 3 детали из 6:

$N = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Поскольку отбирается 3 детали, а нестандартных всего 2, то среди отобранных будет как минимум одна стандартная деталь. Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3.

Вероятность того, что $X=1$ (1 стандартная, 2 нестандартных):

$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_2^2}{C_6^3} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Вероятность того, что $X=2$ (2 стандартных, 1 нестандартная):

$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_2^1}{C_6^3} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Вероятность того, что $X=3$ (3 стандартных, 0 нестандартных):

$P(X=3) = \frac{C_4^3 \cdot C_2^0}{C_6^3} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Проверка: $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа стандартных деталей $X$ представлен в таблице:

3) 8.20

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу попаданий по цели. Производится $n=3$ независимых выстрела. Вероятность попадания в каждом выстреле $p=0.4$, а вероятность промаха $q = 1 - p = 0.6$. Данная задача описывается биномиальным законом распределения.

Вероятность $k$ попаданий в $n$ выстрелах вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

$P(X=0) = C_3^0 (0.4)^0 (0.6)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216$.

$P(X=1) = C_3^1 (0.4)^1 (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432$.

$P(X=2) = C_3^2 (0.4)^2 (0.6)^1 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288$.

$P(X=3) = C_3^3 (0.4)^3 (0.6)^0 = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$.

Проверка: $0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1.000$.

Ответ: Закон распределения для числа попаданий $X$ представлен в таблице:

4) 8.21

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу выпавших «гербов». Монету бросают $n=5$ раз. Вероятность выпадения «герба» (успех) в каждом броске $p=0.5$, вероятность выпадения «решки» (неудача) $q = 1 - p = 0.5$. Это также задача на биномиальное распределение.

Используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

$P(X=0) = C_5^0 (0.5)^0 (0.5)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.

$P(X=1) = C_5^1 (0.5)^1 (0.5)^4 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.

$P(X=2) = C_5^2 (0.5)^2 (0.5)^3 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.

$P(X=3) = C_5^3 (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.

$P(X=4) = C_5^4 (0.5)^4 (0.5)^1 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.

$P(X=5) = C_5^5 (0.5)^5 (0.5)^0 = 1 \cdot (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.

Проверка: $\frac{1+5+10+10+5+1}{32} = \frac{32}{32} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа выпавших «гербов» $X$ представлен в таблице: