Номер 8.29, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.29. Найдите дискретную СВ, распределенную по закону

$\begin{array}{c|c|c|c}X & 0,1 & 0,4 & 0,6 \\\hlineP & 0,2 & 0,3 & 0,5 \\\end{array}$

Поскольку вопрос "Найдите дискретную СВ" является общим, мы найдем основные числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, а также ее функцию распределения, моду и медиану. Закон распределения задан следующей таблицей:

Возможные значения случайной величины: $x_1 = 0,1$, $x_2 = 0,4$, $x_3 = 0,6$.

Соответствующие им вероятности: $p_1 = 0,2$, $p_2 = 0,3$, $p_3 = 0,5$.

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1. $0,2 + 0,3 + 0,5 = 1$. Условие выполнено.

Математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 0,1 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,5$

$M(X) = 0,02 + 0,12 + 0,30 = 0,44$

Ответ: $M(X) = 0,44$.

Дисперсия

Дисперсия $D(X)$ характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Формула для вычисления:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$

$M(X^2) = (0,1)^2 \cdot 0,2 + (0,4)^2 \cdot 0,3 + (0,6)^2 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 0,01 \cdot 0,2 + 0,16 \cdot 0,3 + 0,36 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 0,002 + 0,048 + 0,180 = 0,23$

Теперь вычислим дисперсию, используя ранее найденное $M(X) = 0,44$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0,23 - (0,44)^2 = 0,23 - 0,1936 = 0,0364$

Ответ: $D(X) = 0,0364$.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое (или стандартное) отклонение $\sigma(X)$ равно квадратному корню из дисперсии и имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{0,0364} \approx 0,1908$

Ответ: $\sigma(X) \approx 0,1908$.

Функция распределения

Интегральная функция распределения $F(x)$ для случайной величины $X$ определяется как вероятность того, что $X$ примет значение, меньшее или равное $x$: $F(x) = P(X \le x)$.

Найдем значения функции для всех действительных $x$:

1. При $x < 0,1$, $F(x) = P(X \le x) = 0$.

2. При $0,1 \le x < 0,4$, $F(x) = P(X = 0,1) = 0,2$.

3. При $0,4 \le x < 0,6$, $F(x) = P(X \le 0,4) = P(X=0,1) + P(X=0,4) = 0,2 + 0,3 = 0,5$.

4. При $x \ge 0,6$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,4) + P(X=0,6) = 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1$.

Таким образом, функция распределения имеет следующий вид:

$F(x) = \begin{cases}0, & \text{при } x < 0,1 \\0,2, & \text{при } 0,1 \le x < 0,4 \\0,5, & \text{при } 0,4 \le x < 0,6 \\1, & \text{при } x \ge 0,6\end{cases}$

Ответ: Функция распределения $F(x)$ задается указанным выше кусочно-постоянным выражением.

Мода и медиана

Мода ($Mo$) — это наиболее вероятное значение случайной величины. В данном распределении наибольшая вероятность $p_{max} = 0,5$ соответствует значению $X = 0,6$.

Медиана ($Me$) — это такое значение $m$, что одновременно выполняются неравенства $P(X \le m) \ge 0,5$ и $P(X \ge m) \ge 0,5$.

Проверим значение $x=0,4$:

$P(X \le 0,4) = F(0,4) = 0,2 + 0,3 = 0,5$. Первое условие ($ \ge 0,5$) выполнено.

$P(X \ge 0,4) = P(X=0,4) + P(X=0,6) = 0,3 + 0,5 = 0,8$. Второе условие ($ \ge 0,5$) также выполнено.

Таким образом, медиана равна $0,4$.

Ответ: Мода $Mo = 0,6$; медиана $Me = 0,4$.