Номер 8.34, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.34. 4 альчика из 7 альчиков, имеющихся в мешочке, окрашены. Из мешочка случайно вынимается 2 альчика. СВ $X$ равна количеству окрашенных альчиков среди вынутых альчиков. Требуется найти:

1) закон распределения СВ $X$;

2) $M(X)$ и $D(X)$;

3) $P(X > 1)$;

4) определить вид распределения.

1) закон распределения СВ X;
Пусть случайная величина (СВ) X — это количество окрашенных альчиков среди двух случайно вынутых. Всего в мешочке 7 альчиков, из которых 4 окрашены и 3 не окрашены. Вынимается 2 альчика. СВ X может принимать значения 0, 1 или 2.
Общее число способов выбрать 2 альчика из 7 равно числу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, то есть $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Найдем вероятности для каждого возможного значения X, используя формулу классической вероятности:
- Вероятность того, что не будет выбрано ни одного окрашенного альчика ($X=0$). Это означает, что выбрано 0 окрашенных из 4 и 2 неокрашенных из 3.$P(X=0) = \frac{C_4^0 \cdot C_3^2}{C_7^2} = \frac{1 \cdot 3}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
- Вероятность того, что будет выбран один окрашенный альчик ($X=1$). Это означает, что выбран 1 окрашенный из 4 и 1 неокрашенный из 3.$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_3^1}{C_7^2} = \frac{4 \cdot 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.
- Вероятность того, что будут выбраны два окрашенных альчика ($X=2$). Это означает, что выбрано 2 окрашенных из 4 и 0 неокрашенных из 3.$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_3^0}{C_7^2} = \frac{6 \cdot 1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.
Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Ответ: Закон распределения СВ X задается рядом распределения: P(X=0) = 1/7, P(X=1) = 4/7, P(X=2) = 2/7.

2) M(X) и D(X);
Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$.
$M(X) = 0 \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{4}{7} + 2 \cdot \frac{2}{7} = 0 + \frac{4}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8}{7}$.
Дисперсия $D(X)$ (мера разброса) вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{7} + 1^2 \cdot \frac{4}{7} + 2^2 \cdot \frac{2}{7} = 0 + 1 \cdot \frac{4}{7} + 4 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{12}{7}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{12}{7} - \left(\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{12}{7} - \frac{64}{49} = \frac{12 \cdot 7}{49} - \frac{64}{49} = \frac{84 - 64}{49} = \frac{20}{49}$.
Ответ: $M(X) = \frac{8}{7} \approx 1.143$, $D(X) = \frac{20}{49} \approx 0.408$.

3) P(X > 1);
Событие $X > 1$ означает, что число окрашенных альчиков среди вынутых строго больше одного. Так как максимальное возможное значение X равно 2, то это событие эквивалентно событию $X=2$.
$P(X > 1) = P(X=2)$.
Из пункта 1 мы знаем, что $P(X=2) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $P(X > 1) = \frac{2}{7}$.

4) определить вид распределения.
Данное распределение является гипергеометрическим. Это распределение описывает вероятность получения $k$ успехов (в нашем случае — окрашенных альчиков) в выборке размера $n$ из конечной совокупности размера $N$, содержащей $K$ объектов с нужным свойством, когда выборка производится без возвращения.
Параметры распределения в данной задаче:
- $N = 7$ — общий размер совокупности (всего альчиков).
- $K = 4$ — количество "успехов" в совокупности (окрашенных альчиков).
- $n = 2$ — размер выборки (количество вынутых альчиков).
Формула вероятности для гипергеометрического распределения $P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$ полностью соответствует расчетам, произведенным в пункте 1.
Ответ: Гипергеометрическое распределение.