Номер 8.37, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.37. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Найдите:

1) закон распределения СВ X, равный числу попадания мячом в корзину при трех бросках;

2) $P(1 < X < 2)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$;

4) определите вид распределения.

1) закон распределения СВ X, равный числу попадания мячом в корзину при трех бросках;
Данная задача описывается схемой Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя исходами (попадание или промах) и постоянной вероятностью успеха. Случайная величина X (число попаданий) имеет биномиальное распределение.
Параметры испытаний:
Число бросков (испытаний) $n = 3$.
Вероятность попадания (успеха) в одном броске $p = 0.4$.
Вероятность промаха (неудачи) в одном броске $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.
Возможные значения случайной величины X: {0, 1, 2, 3}.
Вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.
Вычислим вероятности для каждого возможного значения X:
- $k=0$ (0 попаданий из 3):
$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216$.
- $k=1$ (1 попадание из 3):
$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{3-1} = 3 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432$.
- $k=2$ (2 попадания из 3):
$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{3-2} = 3 \cdot (0.4)^2 \cdot 0.6 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288$.
- $k=3$ (3 попадания из 3):
$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{3-3} = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$.
Проверка: $0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1$.
Закон распределения можно представить в виде таблицы:
$\begin{array}{c|c|c|c|c} X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P_i & 0.216 & 0.432 & 0.288 & 0.064 \end{array}$
Ответ: Закон распределения СВ X задается рядом: $P(X=0)=0.216$; $P(X=1)=0.432$; $P(X=2)=0.288$; $P(X=3)=0.064$.

2) P(1 < X < 2);
Случайная величина X является дискретной и может принимать только целые значения {0, 1, 2, 3}. Неравенство $1 < X < 2$ означает, что нужно найти вероятность того, что число попаданий будет строго больше 1 и строго меньше 2. Среди возможных значений X нет ни одного, которое бы удовлетворяло этому условию. Следовательно, событие $1 < X < 2$ является невозможным, и его вероятность равна нулю.
Ответ: $P(1 < X < 2) = 0$.

3) M[X] и D[X];
Для биномиального распределения математическое ожидание $M[X]$ и дисперсия $D[X]$ вычисляются по формулам:
$M[X] = n \cdot p$
$D[X] = n \cdot p \cdot q$
Подставляем наши значения $n=3$, $p=0.4$, $q=0.6$:
Математическое ожидание:
$M[X] = 3 \cdot 0.4 = 1.2$.
Дисперсия:
$D[X] = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 1.2 \cdot 0.6 = 0.72$.
Ответ: $M[X] = 1.2$, $D[X] = 0.72$.

4) определите вид распределения.
Рассматривается схема из $n=3$ независимых одинаковых испытаний (бросков). Каждое испытание имеет два возможных исхода: "успех" (попадание) с вероятностью $p=0.4$ и "неудача" (промах) с вероятностью $q=0.6$. Случайная величина X представляет собой общее число успехов в серии испытаний. Такое распределение вероятностей дискретной случайной величины называется биномиальным.
Ответ: Биномиальное распределение с параметрами $n=3$ и $p=0.4$.