Номер 8.41, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.41. Дискретная СВ X принимает только два значения $x_1$ и $x_2$, ($x_1 < x_2$), $P(X = x_1) = p_1$, $P(X = x_2) = p_2$. Требуется найти закон распределения СВ X:

1) $p_1 = 0,3$, $M(X) = 3,7$, $D(X) = 0,21$;

2) $p_2 = 0,4$, $M(X) = 3,4$, $D(X) = 0,24$.

1) По условию, дискретная случайная величина (СВ) X принимает два значения $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$) с вероятностями $P(X=x_1) = p_1$ и $P(X=x_2) = p_2$. Чтобы найти закон распределения, необходимо определить значения $x_1, x_2, p_1, p_2$.
Дано: $p_1 = 0,3$, математическое ожидание $M(X) = 3,7$, дисперсия $D(X) = 0,21$.
Сумма вероятностей для всех возможных значений СВ равна 1, следовательно, $p_1 + p_2 = 1$.
Найдем $p_2$:
$p_2 = 1 - p_1 = 1 - 0,3 = 0,7$.
Математическое ожидание и дисперсия для СВ, принимающей два значения, определяются формулами:
$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$
$D(X) = (x_2 - x_1)^2 p_1 p_2$
Составим систему уравнений для нахождения $x_1$ и $x_2$, подставив известные значения:
$\begin{cases}0,3 x_1 + 0,7 x_2 = 3,7 \\(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\end{cases}$
Решим второе уравнение системы:
$(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,21 = 0,21$
$(x_2 - x_1)^2 = 1$
$x_2 - x_1 = \pm 1$
Согласно условию $x_1 < x_2$, разность $x_2 - x_1$ должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительный корень:
$x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$0,3 x_1 + 0,7 (x_1 + 1) = 3,7$
$0,3 x_1 + 0,7 x_1 + 0,7 = 3,7$
$1 \cdot x_1 = 3,7 - 0,7$
$x_1 = 3$.
Найдем $x_2$:
$x_2 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Таким образом, закон распределения СВ X полностью определен.
Ответ: Закон распределения СВ X: $x_1 = 3$ с вероятностью $p_1 = 0,3$; $x_2 = 4$ с вероятностью $p_2 = 0,7$.

2) Дано: $p_2 = 0,4$, математическое ожидание $M(X) = 3,4$, дисперсия $D(X) = 0,24$.
Найдем $p_1$ из условия $p_1 + p_2 = 1$:
$p_1 = 1 - p_2 = 1 - 0,4 = 0,6$.
Составим систему уравнений, используя формулы для $M(X)$ и $D(X)$:
$\begin{cases}x_1 p_1 + x_2 p_2 = M(X) \\(x_2 - x_1)^2 p_1 p_2 = D(X)\end{cases}$
Подставим известные значения:
$\begin{cases}0,6 x_1 + 0,4 x_2 = 3,4 \\(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 0,24\end{cases}$
Решим второе уравнение системы:
$(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,24 = 0,24$
$(x_2 - x_1)^2 = 1$
$x_2 - x_1 = \pm 1$
Учитывая условие $x_1 < x_2$, получаем $x_2 - x_1 > 0$, следовательно:
$x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$0,6 x_1 + 0,4 (x_1 + 1) = 3,4$
$0,6 x_1 + 0,4 x_1 + 0,4 = 3,4$
$1 \cdot x_1 = 3,4 - 0,4$
$x_1 = 3$.
Найдем $x_2$:
$x_2 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Таким образом, закон распределения СВ X полностью определен.
Ответ: Закон распределения СВ X: $x_1 = 3$ с вероятностью $p_1 = 0,6$; $x_2 = 4$ с вероятностью $p_2 = 0,4$.