Номер 8.47, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.47. Найдите сумму:

1) $512 + 128 + \dots + 2;$

2) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{8 \cdot 9}.$

1) Данная сумма $512 + 128 + ... + 2$ представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии.
Первый член прогрессии $b_1 = 512$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{128}{512} = \frac{1}{4}$.
Последний член прогрессии $b_n = 2$.
Чтобы найти количество членов прогрессии $n$, воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$2 = 512 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$
$\frac{2}{512} = (\frac{1}{4})^{n-1}$
$\frac{1}{256} = (\frac{1}{4})^{n-1}$
Так как $256 = 4^4$, то $\frac{1}{256} = \frac{1}{4^4} = (\frac{1}{4})^4$.
$(\frac{1}{4})^4 = (\frac{1}{4})^{n-1}$
Отсюда $4 = n-1$, следовательно, $n = 5$.
Прогрессия состоит из 5 членов: $512, 128, 32, 8, 2$.
Сумму можно найти по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:
$S_5 = \frac{512(1 - (\frac{1}{4})^5)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{512(1 - \frac{1}{1024})}{\frac{3}{4}} = \frac{512(\frac{1023}{1024})}{\frac{3}{4}} = \frac{512 \cdot 1023}{1024} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1023}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1023 \cdot 2}{3} = 341 \cdot 2 = 682$.
Также можно просто сложить все члены прогрессии: $512 + 128 + 32 + 8 + 2 = 682$.
Ответ: $682$.

2) Рассмотрим сумму $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{8 \cdot 9}$.
Каждый член этой суммы можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид слагаемого: $\frac{1}{k(k+1)}$.
Представим эту дробь в виде разности:
$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
Применим это представление к каждому слагаемому в нашей сумме:
$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
Теперь запишем всю сумму:
$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})$.
Это так называемая "телескопическая сумма", в которой все промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$.
Остаются только первый и последний члены:
$S = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.