Номер 8.42, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.42. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная СВ $X$ – равна числу попадания в мишень. Найдите:

1) закон распределения $X$;

2) $P(X > 1)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$.

Пусть событие $A_1$ — попадание первого стрелка, а событие $A_2$ — попадание второго стрелка. По условию, вероятности этих событий равны $P(A_1) = p_1 = 0.5$ и $P(A_2) = p_2 = 0.4$.Вероятности промаха для каждого стрелка соответственно равны $P(\bar{A_1}) = q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.5 = 0.5$ и $P(\bar{A_2}) = q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0.4 = 0.6$.Дискретная случайная величина $X$ — общее число попаданий в мишень. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $0$, $1$ и $2$. Выстрелы стрелков являются независимыми событиями.

1)Найдем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.
$X=0$ (оба стрелка промахнулись):$P(X=0) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) = q_1 \cdot q_2 = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3$.
$X=1$ (попал ровно один стрелок). Это событие состоит из двух несовместных исходов: первый попал и второй промахнулся, либо первый промахнулся и второй попал.$P(X=1) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) + P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.3 + 0.2 = 0.5$.
$X=2$ (оба стрелка попали):$P(X=2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot p_2 = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2$.
Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.3 + 0.5 + 0.2 = 1.0$.
Закон распределения случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы:
X | 0 | 1 | 2---|-----|-----|----- P | 0.3 | 0.5 | 0.2
Ответ: Закон распределения $X$ задается следующими вероятностями: $P(X=0)=0.3$, $P(X=1)=0.5$, $P(X=2)=0.2$.

2)Найдем вероятность $P(X > 1)$. Это означает, что число попаданий должно быть строго больше одного. В данном случае, единственное возможное значение $X$, удовлетворяющее этому условию, это $X=2$.
Следовательно, $P(X > 1) = P(X=2)$.
Из пункта 1 мы уже знаем, что $P(X=2) = 0.2$.
Ответ: $P(X > 1) = 0.2$.

3)Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M[X]$ и дисперсию $D[X]$.
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M[X] = \sum_{i} x_i p_i$:$M[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.2 = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем $M[X^2]$:$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2 = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$.
Теперь вычислим дисперсию:$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 1.3 - (0.9)^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$.
Ответ: $M[X] = 0.9$, $D[X] = 0.49$.