Номер 8.36, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.36. Бросают три монеты. Найдите:

1) закон распределения СВ $X$, равный числу выпавших гербовых сторон;

2) $P(X > 1)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$;

4) определить вид распределения.

В данной задаче рассматривается эксперимент с бросанием трех монет. Обозначим выпадение герба как «Г», а решки — как «Р». Общее число всех возможных равновероятных исходов составляет $2^3 = 8$. Перечислим все исходы:

РРР, РРГ, РГР, ГРР, РГГ, ГРГ, ГГР, ГГГ.

Случайная величина (СВ) $X$ — это число выпавших гербов. Возможные значения, которые может принимать $X$: 0, 1, 2, 3.

1) закон распределения СВ X, равный числу выпавших гербовых сторон

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$:

- $X=0$: соответствует одному исходу (РРР). Вероятность: $P(X=0) = \frac{1}{8}$.

- $X=1$: соответствует трем исходам (РРГ, РГР, ГРР). Вероятность: $P(X=1) = \frac{3}{8}$.

- $X=2$: соответствует трем исходам (ГГР, ГРГ, РГГ). Вероятность: $P(X=2) = \frac{3}{8}$.

- $X=3$: соответствует одному исходу (ГГГ). Вероятность: $P(X=3) = \frac{1}{8}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Закон распределения СВ $X$ можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения представлен в виде таблицы выше.

2) P(X > 1)

Событие $X > 1$ означает, что число выпавших гербов больше одного, то есть равно 2 или 3. Так как события $X=2$ и $X=3$ несовместны, их вероятности можно сложить:

$P(X > 1) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(X > 1) = \frac{1}{2}$.

3) M[X] и D[X]

Математическое ожидание $M[X]$ (среднее значение) вычисляется по формуле $M[X] = \sum_{i} x_i p_i$:

$M[X] = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.

Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$. Сначала найдем $M[X^2]$:

$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{8} = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

Ответ: $M[X] = 1.5$, $D[X] = 0.75$.

4) определить вид распределения

Данный эксперимент представляет собой схему испытаний Бернулли. У нас есть $n=3$ независимых испытаний (бросков монеты). Каждое испытание имеет два исхода: «успех» (выпал герб) с вероятностью $p=\frac{1}{2}$ и «неудача» (выпала решка) с вероятностью $q = 1 - p = \frac{1}{2}$. Случайная величина $X$ подсчитывает количество «успехов» в $n$ испытаниях.

Такое распределение называется биномиальным. Вероятности можно было вычислить по формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=3$ и $p=1/2$.

Ответ: Биномиальное распределение с параметрами $n=3$ и $p=0.5$.