Номер 8.33, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.33. $x_2 = 2, p_1 = 0,6, M(X) = 1,4$.

Поскольку в условии задачи не указано количество возможных значений случайной величины $X$, будем исходить из наиболее простого предположения, что их два: $x_1$ и $x_2$. Задача состоит в том, чтобы на основе предоставленных данных восстановить полный закон распределения и найти его основные числовые характеристики.

Пусть дискретная случайная величина $X$ может принимать два значения $x_1$ и $x_2$ с вероятностями $p_1$ и $p_2$ соответственно. По условию, нам известны: $x_2=2$, $p_1=0.6$ и математическое ожидание $M(X)=1.4$.

Основное свойство дискретного распределения вероятностей состоит в том, что сумма всех вероятностей равна 1:$p_1 + p_2 = 1$

Подставляя известное значение $p_1=0.6$, находим $p_2$:$0.6 + p_2 = 1$$p_2 = 1 - 0.6 = 0.4$

Математическое ожидание $M(X)$ определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$

Подставим известные значения $M(X)=1.4$, $p_1=0.6$, $x_2=2$ и найденное значение $p_2=0.4$ в формулу:$1.4 = x_1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.4$$1.4 = 0.6x_1 + 0.8$

Теперь решим это уравнение относительно $x_1$:$0.6x_1 = 1.4 - 0.8$$0.6x_1 = 0.6$$x_1 = 1$

Таким образом, мы полностью определили закон распределения случайной величины $X$. Он может быть представлен в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$: значение $x_1=1$ с вероятностью $p_1=0.6$ и значение $x_2=2$ с вероятностью $p_2=0.4$.

Дисперсия случайной величины $X$ вычисляется по формуле:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2$

Используя найденный закон распределения ($x_1=1, p_1=0.6, x_2=2, p_2=0.4$), получаем:$M(X^2) = (1)^2 \cdot 0.6 + (2)^2 \cdot 0.4 = 1 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.4 = 0.6 + 1.6 = 2.2$

Математическое ожидание $M(X)$ было дано в условии и равно 1.4. Теперь мы можем вычислить дисперсию:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 2.2 - (1.4)^2 = 2.2 - 1.96 = 0.24$

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии:$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.24}$

Можно упростить это выражение:$\sigma(X) = \sqrt{0.24} = \sqrt{\frac{24}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{10} = \frac{\sqrt{6}}{5}$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 0.24$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) = \sqrt{0.24} = \frac{\sqrt{6}}{5}$.