Номер 8.38, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.38. В партии из 10 деталей имеются 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите:

а) закон распределения СВ X, равной числу стандартных деталей в выборке;

б) $P(X < 1)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

В задаче рассматривается партия из $N=10$ деталей, среди которых $K=8$ стандартных и, соответственно, $N-K=2$ нестандартных. Из этой партии наудачу извлекают $n=2$ детали.

Случайная величина (СВ) $X$ — это число стандартных деталей в выборке из 2-х деталей. СВ $X$ может принимать следующие значения: 0, 1, 2.

Поскольку выборка производится без возвращения, СВ $X$ имеет гипергеометрическое распределение. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ стандартных деталей, вычисляется по формуле:
$P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

а) закон распределения СВ X, равной числу стандартных деталей в выборке

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$:

1. Вероятность того, что в выборке нет стандартных деталей ($X=0$). Это означает, что обе взятые детали — нестандартные.
$P(X=0) = \frac{C_8^0 \cdot C_2^2}{C_{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{45} = \frac{1}{45}$.

2. Вероятность того, что в выборке одна стандартная деталь ($X=1$). Это означает, что одна деталь стандартная, а другая — нестандартная.
$P(X=1) = \frac{C_8^1 \cdot C_2^1}{C_{10}^2} = \frac{8 \cdot 2}{45} = \frac{16}{45}$.

3. Вероятность того, что в выборке две стандартные детали ($X=2$). Это означает, что обе взятые детали — стандартные.
$P(X=2) = \frac{C_8^2 \cdot C_2^0}{C_{10}^2} = \frac{\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot 1}{45} = \frac{28}{45}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
$\frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{1+16+28}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Закон распределения СВ X можно представить в виде таблицы:
$x_i$012$p_i$$\frac{1}{45}$$\frac{16}{45}$$\frac{28}{45}$

Ответ: Закон распределения СВ X задается следующими вероятностями: $P(X=0) = \frac{1}{45}$, $P(X=1) = \frac{16}{45}$, $P(X=2) = \frac{28}{45}$.

б) P(X < 1)

Событие $X < 1$ означает, что число стандартных деталей в выборке строго меньше единицы. Единственное возможное значение $X$, удовлетворяющее этому условию, — это $X=0$.
$P(X < 1) = P(X=0) = \frac{1}{45}$.

Ответ: $P(X < 1) = \frac{1}{45}$.

в) M[X] и D[X]

Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M[X]$ по формуле $M[X] = \sum x_i p_i$:
$M[X] = 0 \cdot \frac{1}{45} + 1 \cdot \frac{16}{45} + 2 \cdot \frac{28}{45} = 0 + \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6$.

Для нахождения дисперсии $D[X]$ воспользуемся формулой $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем $M[X^2]$:
$M[X^2] = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{45} + 1^2 \cdot \frac{16}{45} + 2^2 \cdot \frac{28}{45} = 0 + \frac{16}{45} + 4 \cdot \frac{28}{45} = \frac{16 + 112}{45} = \frac{128}{45}$.

Теперь вычислим дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = \frac{128}{45} - (1.6)^2 = \frac{128}{45} - (\frac{8}{5})^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 225:
$D[X] = \frac{128 \cdot 5}{45 \cdot 5} - \frac{64 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{640}{225} - \frac{576}{225} = \frac{640 - 576}{225} = \frac{64}{225}$.

Ответ: $M[X] = 1.6$; $D[X] = \frac{64}{225}$.