Страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.39. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите:

а) закон распределения СВ X, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует;

б) $P(2 < X < 4);$

в) $M[X]$ и $D[X].$

а) Пусть случайная величина (СВ) $X$ — это число проб (попыток) при открывании замка. Всего имеется $n=5$ ключей, из которых только один является верным. По условию, испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует, что означает выборку без возвращения. СВ $X$ может принимать целые значения от 1 до 5. Найдем вероятности для каждого из этих значений.
Вероятность того, что замок откроется с первой попытки ($X=1$), равна вероятности сразу выбрать правильный ключ:
$P(X=1) = \frac{1}{5}$.
Для того чтобы замок открылся со второй попытки ($X=2$), первая попытка должна быть неудачной (выбран неверный ключ), а вторая — удачной. Вероятность выбрать неверный ключ в первой попытке равна $\frac{4}{5}$. После этого останется 4 ключа, из которых один верный. Вероятность выбрать верный ключ во второй попытке равна $\frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
Аналогично находим вероятности для остальных случаев:
Для $X=3$ (первые два ключа неверные, третий — верный):
$P(X=3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$.
Для $X=4$ (первые три ключа неверные, четвертый — верный):
$P(X=4) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$.
Для $X=5$ (первые четыре ключа неверные, пятый — верный). Если первые четыре ключа не подошли, то пятый ключ гарантированно будет верным (вероятность 1).
$P(X=5) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{5}$.
Таким образом, СВ $X$ имеет дискретное равномерное распределение. Закон распределения можно представить в виде ряда распределения:
$x_i$: 1, 2, 3, 4, 5
$p_i$: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\sum_{i=1}^{5} p_i = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$.
Ответ: Закон распределения СВ $X$ задается рядом $P(X=k) = \frac{1}{5}$ для $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

б) Требуется найти вероятность $P(2 < X < 4)$.
Неравенство $2 < X < 4$ означает, что случайная величина $X$ должна принять значение, строго большее 2 и строго меньшее 4. Среди возможных целочисленных значений $X$ (1, 2, 3, 4, 5) этому условию удовлетворяет только $X=3$.
Следовательно, искомая вероятность равна вероятности события $X=3$:
$P(2 < X < 4) = P(X=3)$.
Из закона распределения, найденного в пункте а), мы знаем, что $P(X=3) = \frac{1}{5}$.
Ответ: $P(2 < X < 4) = \frac{1}{5}$.

в) Требуется найти математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$.
Математическое ожидание дискретной СВ вычисляется по формуле:
$M[X] = \sum_{i} x_i p_i$.
Для нашего распределения:
$M[X] = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
Дисперсия дискретной СВ вычисляется по формуле:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата СВ $X$, то есть $M[X^2]$:
$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M[X^2] = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+4+9+16+25}{5} = \frac{55}{5} = 11$.
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2$.
Ответ: $M[X] = 3$, $D[X] = 2$.

8.40. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите:

а) закон распределения СВ $X$, равный числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных;

б) $P(X > 0)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

а) закон распределения СВ X, равный числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных;

Пусть СВ X — это число работ с оценкой «отлично» среди 3 случайно извлеченных. Всего в наличии $N=25$ контрольных работ, среди которых $K=5$ работ оценены на «отлично» и, соответственно, $N-K=20$ работ имеют другие оценки. Извлекается $n=3$ работы.

Поскольку выборка производится без возвращения из конечной совокупности, случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение. Возможные значения, которые может принимать X, это 0, 1, 2, 3.

Вероятность того, что среди $n$ извлеченных работ будет ровно $k$ работ с оценкой «отлично», вычисляется по формуле классической вероятности, которая для данного случая является формулой гипергеометрического распределения:

$P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

Сначала найдем общее число способов извлечь 3 работы из 25:

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 2300$.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $k$ случайной величины X.

Для $k=0$ (не извлечено ни одной работы на «отлично»):

$P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_{20}^3}{C_{25}^3} = \frac{1 \cdot \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{2300} = \frac{1 \cdot 1140}{2300} = \frac{1140}{2300} = \frac{57}{115}$.

Для $k=1$ (извлечена одна работа на «отлично»):

$P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_{20}^2}{C_{25}^3} = \frac{5 \cdot \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1}}{2300} = \frac{5 \cdot 190}{2300} = \frac{950}{2300} = \frac{19}{46}$.

Для $k=2$ (извлечены две работы на «отлично»):

$P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_{20}^1}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 20}{2300} = \frac{10 \cdot 20}{2300} = \frac{200}{2300} = \frac{2}{23}$.

Для $k=3$ (извлечены три работы на «отлично»):

$P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_{20}^0}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1}{2300} = \frac{10 \cdot 1}{2300} = \frac{10}{2300} = \frac{1}{230}$.

Проверка: $\frac{57}{115} + \frac{19}{46} + \frac{2}{23} + \frac{1}{230} = \frac{114}{230} + \frac{95}{230} + \frac{20}{230} + \frac{1}{230} = \frac{114+95+20+1}{230} = \frac{230}{230} = 1$.

Ответ: Закон распределения СВ X: $P(X=0) = \frac{57}{115}$; $P(X=1) = \frac{19}{46}$; $P(X=2) = \frac{2}{23}$; $P(X=3) = \frac{1}{230}$.

б) P(X > 0);

Вероятность $P(X > 0)$ означает, что будет извлечена хотя бы одна работа с оценкой «отлично». Это событие является противоположным событию $X = 0$ (не извлечено ни одной работы на «отлично»).

Следовательно, искомую вероятность проще всего найти через вероятность противоположного события:

$P(X > 0) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{57}{115} = \frac{115 - 57}{115} = \frac{58}{115}$.

Ответ: $P(X > 0) = \frac{58}{115}$.

в) M[X] и D[X].

Математическое ожидание $M[X]$ (среднее значение) и дисперсию $D[X]$ для гипергеометрического распределения можно найти по стандартным формулам, зная параметры $N=25$, $K=5$, $n=3$.

Формула для математического ожидания:

$M[X] = n \cdot \frac{K}{N}$

Подставляем наши значения:

$M[X] = 3 \cdot \frac{5}{25} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Формула для дисперсии:

$D[X] = n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) \cdot \frac{N-n}{N-1}$

Подставляем значения:

$D[X] = 3 \cdot \frac{5}{25} \cdot (1 - \frac{5}{25}) \cdot \frac{25-3}{25-1} = \frac{3}{5} \cdot (1 - \frac{1}{5}) \cdot \frac{22}{24} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{22}{24} = \frac{12}{25} \cdot \frac{22}{24} = \frac{1}{25} \cdot \frac{22}{2} = \frac{11}{25} = 0.44$.

Ответ: $M[X] = 0.6$, $D[X] = 0.44$.

8.41. Дискретная СВ X принимает только два значения $x_1$ и $x_2$, ($x_1 < x_2$), $P(X = x_1) = p_1$, $P(X = x_2) = p_2$. Требуется найти закон распределения СВ X:

1) $p_1 = 0,3$, $M(X) = 3,7$, $D(X) = 0,21$;

2) $p_2 = 0,4$, $M(X) = 3,4$, $D(X) = 0,24$.

1) По условию, дискретная случайная величина (СВ) X принимает два значения $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$) с вероятностями $P(X=x_1) = p_1$ и $P(X=x_2) = p_2$. Чтобы найти закон распределения, необходимо определить значения $x_1, x_2, p_1, p_2$.
Дано: $p_1 = 0,3$, математическое ожидание $M(X) = 3,7$, дисперсия $D(X) = 0,21$.
Сумма вероятностей для всех возможных значений СВ равна 1, следовательно, $p_1 + p_2 = 1$.
Найдем $p_2$:
$p_2 = 1 - p_1 = 1 - 0,3 = 0,7$.
Математическое ожидание и дисперсия для СВ, принимающей два значения, определяются формулами:
$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$
$D(X) = (x_2 - x_1)^2 p_1 p_2$
Составим систему уравнений для нахождения $x_1$ и $x_2$, подставив известные значения:
$\begin{cases}0,3 x_1 + 0,7 x_2 = 3,7 \\(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\end{cases}$
Решим второе уравнение системы:
$(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,21 = 0,21$
$(x_2 - x_1)^2 = 1$
$x_2 - x_1 = \pm 1$
Согласно условию $x_1 < x_2$, разность $x_2 - x_1$ должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительный корень:
$x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$0,3 x_1 + 0,7 (x_1 + 1) = 3,7$
$0,3 x_1 + 0,7 x_1 + 0,7 = 3,7$
$1 \cdot x_1 = 3,7 - 0,7$
$x_1 = 3$.
Найдем $x_2$:
$x_2 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Таким образом, закон распределения СВ X полностью определен.
Ответ: Закон распределения СВ X: $x_1 = 3$ с вероятностью $p_1 = 0,3$; $x_2 = 4$ с вероятностью $p_2 = 0,7$.

2) Дано: $p_2 = 0,4$, математическое ожидание $M(X) = 3,4$, дисперсия $D(X) = 0,24$.
Найдем $p_1$ из условия $p_1 + p_2 = 1$:
$p_1 = 1 - p_2 = 1 - 0,4 = 0,6$.
Составим систему уравнений, используя формулы для $M(X)$ и $D(X)$:
$\begin{cases}x_1 p_1 + x_2 p_2 = M(X) \\(x_2 - x_1)^2 p_1 p_2 = D(X)\end{cases}$
Подставим известные значения:
$\begin{cases}0,6 x_1 + 0,4 x_2 = 3,4 \\(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 0,24\end{cases}$
Решим второе уравнение системы:
$(x_2 - x_1)^2 \cdot 0,24 = 0,24$
$(x_2 - x_1)^2 = 1$
$x_2 - x_1 = \pm 1$
Учитывая условие $x_1 < x_2$, получаем $x_2 - x_1 > 0$, следовательно:
$x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$0,6 x_1 + 0,4 (x_1 + 1) = 3,4$
$0,6 x_1 + 0,4 x_1 + 0,4 = 3,4$
$1 \cdot x_1 = 3,4 - 0,4$
$x_1 = 3$.
Найдем $x_2$:
$x_2 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Таким образом, закон распределения СВ X полностью определен.
Ответ: Закон распределения СВ X: $x_1 = 3$ с вероятностью $p_1 = 0,6$; $x_2 = 4$ с вероятностью $p_2 = 0,4$.

8.42. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная СВ $X$ – равна числу попадания в мишень. Найдите:

1) закон распределения $X$;

2) $P(X > 1)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$.

Пусть событие $A_1$ — попадание первого стрелка, а событие $A_2$ — попадание второго стрелка. По условию, вероятности этих событий равны $P(A_1) = p_1 = 0.5$ и $P(A_2) = p_2 = 0.4$.Вероятности промаха для каждого стрелка соответственно равны $P(\bar{A_1}) = q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.5 = 0.5$ и $P(\bar{A_2}) = q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0.4 = 0.6$.Дискретная случайная величина $X$ — общее число попаданий в мишень. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $0$, $1$ и $2$. Выстрелы стрелков являются независимыми событиями.

1)Найдем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.
$X=0$ (оба стрелка промахнулись):$P(X=0) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) = q_1 \cdot q_2 = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3$.
$X=1$ (попал ровно один стрелок). Это событие состоит из двух несовместных исходов: первый попал и второй промахнулся, либо первый промахнулся и второй попал.$P(X=1) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) + P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.3 + 0.2 = 0.5$.
$X=2$ (оба стрелка попали):$P(X=2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot p_2 = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2$.
Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.3 + 0.5 + 0.2 = 1.0$.
Закон распределения случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы:
X | 0 | 1 | 2---|-----|-----|----- P | 0.3 | 0.5 | 0.2
Ответ: Закон распределения $X$ задается следующими вероятностями: $P(X=0)=0.3$, $P(X=1)=0.5$, $P(X=2)=0.2$.

2)Найдем вероятность $P(X > 1)$. Это означает, что число попаданий должно быть строго больше одного. В данном случае, единственное возможное значение $X$, удовлетворяющее этому условию, это $X=2$.
Следовательно, $P(X > 1) = P(X=2)$.
Из пункта 1 мы уже знаем, что $P(X=2) = 0.2$.
Ответ: $P(X > 1) = 0.2$.

3)Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M[X]$ и дисперсию $D[X]$.
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M[X] = \sum_{i} x_i p_i$:$M[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.2 = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем $M[X^2]$:$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2 = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$.
Теперь вычислим дисперсию:$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 1.3 - (0.9)^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$.
Ответ: $M[X] = 0.9$, $D[X] = 0.49$.

8.43. С вероятностью попадания при одном выстреле $0,7$ охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать только 2 выстрела. Дискретная СВ $X$ – равна числу выстрелов. Найдите:

1) закон распределения $X$;

2) $P(X < 2)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$.

Введем обозначения: $p$ — вероятность попадания при одном выстреле, $q$ — вероятность промаха. По условию задачи, $p = 0,7$. Вероятность промаха $q$ равна $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.

Дискретная случайная величина $X$ — это число произведенных выстрелов. Охотник стреляет до первого попадания, но успевает сделать не более двух выстрелов. Это означает, что возможные значения, которые может принимать $X$, это 1 и 2.

1) закон распределения X
Найдем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.
Событие $X=1$ происходит, если охотник попадает в дичь с первого выстрела. Вероятность этого события равна $p$.
$P(X=1) = p = 0,7$.
Событие $X=2$ происходит, если охотник делает два выстрела. Это случается тогда, когда первый выстрел — промах. После первого промаха охотник делает второй выстрел, и на этом стрельба прекращается, так как это максимальное количество выстрелов. Таким образом, для того чтобы было совершено два выстрела, необходимо и достаточно, чтобы первый выстрел был промахом. Вероятность этого события равна $q$.
$P(X=2) = q = 0,3$.
Сумма вероятностей всех возможных значений $X$ должна быть равна 1. Проверим: $P(X=1) + P(X=2) = 0,7 + 0,3 = 1$.
Закон распределения случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы, где первой строке соответствуют значения $x_i$, а второй — их вероятности $p_i$:
$x_i$ | 1 | 2
$p_i$ | 0,7 | 0,3
Ответ: Закон распределения $X$ задается следующими вероятностями: $P(X=1)=0,7$, $P(X=2)=0,3$.

2) P(X < 2)
Событие $X < 2$ означает, что случайная величина $X$ принимает значение, строго меньшее 2. Среди возможных значений $X$ (1 и 2) этому условию удовлетворяет только значение $X=1$.
Следовательно, вероятность этого события равна вероятности события $X=1$.
$P(X < 2) = P(X=1) = 0,7$.
Ответ: $P(X < 2) = 0,7$.

3) M[X] и D[X]
Для нахождения математического ожидания $M[X]$ и дисперсии $D[X]$ воспользуемся стандартными формулами для дискретных случайных величин.
Математическое ожидание $M[X]$ вычисляется по формуле $M[X] = \sum x_i p_i$.
$M[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,3 = 0,7 + 0,6 = 1,3$.
Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M[X^2]$ по формуле $M[X^2] = \sum x_i^2 p_i$.
$M[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0,7 + 4 \cdot 0,3 = 0,7 + 1,2 = 1,9$.
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 1,9 - (1,3)^2 = 1,9 - 1,69 = 0,21$.
Ответ: $M[X] = 1,3$; $D[X] = 0,21$.

8.44. Дискретная СВ $X$ равна числу мальчиков в семье с пятью детьми. Предполагается равновероятным рождение мальчика и девочки. Найдите:

а) закон распределения $X$;

б) $P(2 \leq X \leq 3)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

а) Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу мальчиков в семье с пятью детьми. Рождение мальчика и девочки — равновероятные события, поэтому вероятность рождения мальчика $p = 0.5$, а вероятность рождения девочки $q = 1 - p = 0.5$.

Поскольку проводится 5 независимых испытаний (рождение 5 детей), случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=5$ и $p=0.5$. Вероятность того, что в семье будет ровно $k$ мальчиков, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

Подставляя наши значения $n=5$, $p=q=0.5$, получаем:

$P(X=k) = C_5^k (0.5)^k (0.5)^{5-k} = C_5^k (0.5)^5 = \frac{C_5^k}{32}$

где $C_5^k = \frac{5!}{k!(5-k)!}$ — число сочетаний из 5 по $k$. Возможные значения для $X$: $0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычислим соответствующие вероятности для каждого значения $k$:

$P(X=0) = \frac{C_5^0}{32} = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = \frac{C_5^1}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = \frac{C_5^2}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{C_5^3}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = \frac{C_5^4}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = \frac{C_5^5}{32} = \frac{1}{32}$

Закон распределения (ряд распределения) случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы.

Ответ: Закон распределения $X$ задается следующей таблицей:

б) Найдем вероятность $P(2 \le X \le 3)$. Так как значения $X$ дискретны, эта вероятность равна сумме вероятностей $P(X=2)$ и $P(X=3)$.

$P(2 \le X \le 3) = P(X=2) + P(X=3)$

Используя значения из пункта а):

$P(X=2) = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{10}{32}$

Следовательно:

$P(2 \le X \le 3) = \frac{10}{32} + \frac{10}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$

Ответ: $P(2 \le X \le 3) = \frac{5}{8}$.

в) Найдем математическое ожидание (M[X]) и дисперсию (D[X]) случайной величины $X$.

Для биномиального распределения с параметрами $n$ и $p$ математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

$M[X] = np$

$D[X] = npq$

В нашей задаче $n=5$, $p=0.5$ и $q=1-p=0.5$.

Вычисляем математическое ожидание:

$M[X] = 5 \cdot 0.5 = 2.5$

Вычисляем дисперсию:

$D[X] = 5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 1.25$

Ответ: $M[X] = 2.5$; $D[X] = 1.25$.

8.45. Найдите производную функции:

1) $y = 1 - \frac{3}{2-x}$;

2) $y = x - \frac{4}{x^2}$;

3) $y = \arcsin(2x-3)$;

4) $y = \frac{\sin x}{1+\cos x}$.

1) Дана функция $y = 1 - \frac{3}{2-x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности. Производная константы равна нулю.

$y' = (1 - \frac{3}{2-x})' = (1)' - (\frac{3}{2-x})' = 0 - (\frac{3}{2-x})'$.

Для нахождения производной дроби $\frac{3}{2-x}$ можно представить ее в виде $3(2-x)^{-1}$ и использовать правило дифференцирования степенной функции и цепное правило.

$(\frac{3}{2-x})' = (3(2-x)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(2-x)^{-1-1} \cdot (2-x)' = -3(2-x)^{-2} \cdot (-1) = 3(2-x)^{-2} = \frac{3}{(2-x)^2}$.

Подставляя обратно в выражение для $y'$, получаем:

$y' = - \frac{3}{(2-x)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{(2-x)^2}$.

2) Дана функция $y = x - \frac{4}{x^2}$.

Представим функцию в виде $y = x - 4x^{-2}$ и найдем производную, используя правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x - 4x^{-2})' = (x)' - (4x^{-2})'$.

$(x)' = 1$.

$(4x^{-2})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^3}$.

Следовательно, $y' = 1 - (-\frac{8}{x^3}) = 1 + \frac{8}{x^3}$.

Ответ: $y' = 1 + \frac{8}{x^3}$.

3) Дана функция $y = \arcsin(2x-3)$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $f(u) = \arcsin(u)$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Внутренняя функция $g(x) = 2x-3$, ее производная $g'(x) = 2$.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(2x-3)^2}} \cdot (2x-3)' = \frac{2}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}$.

Упростим выражение под корнем в знаменателе:

$1 - (2x-3)^2 = 1 - (4x^2 - 12x + 9) = 1 - 4x^2 + 12x - 9 = -4x^2 + 12x - 8$.

Вынесем множитель 4 из-под корня:

$\sqrt{-4x^2 + 12x - 8} = \sqrt{4(-x^2 + 3x - 2)} = 2\sqrt{-x^2 + 3x - 2}$.

Тогда производная равна:

$y' = \frac{2}{2\sqrt{-x^2 + 3x - 2}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}}$.

4) Дана функция $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sin x$ и $v = 1 + \cos x$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (1 + \cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(\cos x)(1 + \cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$y' = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}$.

Сокращаем дробь на $(1 + \cos x)$ (это возможно, так как в области определения исходной функции $1 + \cos x \neq 0$):

$y' = \frac{1}{1 + \cos x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{1 + \cos x}$.

8.46. Разложите на множители:

1) $1 - \cos \varphi - \sin \frac{\varphi}{2}$;

2) $\sin \varphi - \sin 2\varphi$.

1) Для разложения на множители выражения $1 - \cos\varphi - \sin\frac{\varphi}{2}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Применим эту формулу для $\cos\varphi$, представив угол $\varphi$ как $2 \cdot \frac{\varphi}{2}$. Получим: $\cos\varphi = 1 - 2\sin^2\frac{\varphi}{2}$.

Подставим это выражение в исходное:

$1 - \cos\varphi - \sin\frac{\varphi}{2} = 1 - (1 - 2\sin^2\frac{\varphi}{2}) - \sin\frac{\varphi}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$1 - 1 + 2\sin^2\frac{\varphi}{2} - \sin\frac{\varphi}{2} = 2\sin^2\frac{\varphi}{2} - \sin\frac{\varphi}{2}$

Теперь вынесем общий множитель $\sin\frac{\varphi}{2}$ за скобки:

$\sin\frac{\varphi}{2}(2\sin\frac{\varphi}{2} - 1)$

Ответ: $\sin\frac{\varphi}{2}(2\sin\frac{\varphi}{2} - 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $\sin\varphi - \sin2\varphi$ используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Применим эту формулу для члена $\sin2\varphi$:

$\sin2\varphi = 2\sin\varphi\cos\varphi$

Подставим это в исходное выражение:

$\sin\varphi - \sin2\varphi = \sin\varphi - 2\sin\varphi\cos\varphi$

Вынесем общий множитель $\sin\varphi$ за скобки:

$\sin\varphi(1 - 2\cos\varphi)$

Ответ: $\sin\varphi(1 - 2\cos\varphi)$.

8.47. Найдите сумму:

1) $512 + 128 + \dots + 2;$

2) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{8 \cdot 9}.$

1) Данная сумма $512 + 128 + ... + 2$ представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии.
Первый член прогрессии $b_1 = 512$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{128}{512} = \frac{1}{4}$.
Последний член прогрессии $b_n = 2$.
Чтобы найти количество членов прогрессии $n$, воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$2 = 512 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$
$\frac{2}{512} = (\frac{1}{4})^{n-1}$
$\frac{1}{256} = (\frac{1}{4})^{n-1}$
Так как $256 = 4^4$, то $\frac{1}{256} = \frac{1}{4^4} = (\frac{1}{4})^4$.
$(\frac{1}{4})^4 = (\frac{1}{4})^{n-1}$
Отсюда $4 = n-1$, следовательно, $n = 5$.
Прогрессия состоит из 5 членов: $512, 128, 32, 8, 2$.
Сумму можно найти по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:
$S_5 = \frac{512(1 - (\frac{1}{4})^5)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{512(1 - \frac{1}{1024})}{\frac{3}{4}} = \frac{512(\frac{1023}{1024})}{\frac{3}{4}} = \frac{512 \cdot 1023}{1024} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1023}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1023 \cdot 2}{3} = 341 \cdot 2 = 682$.
Также можно просто сложить все члены прогрессии: $512 + 128 + 32 + 8 + 2 = 682$.
Ответ: $682$.

2) Рассмотрим сумму $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{8 \cdot 9}$.
Каждый член этой суммы можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид слагаемого: $\frac{1}{k(k+1)}$.
Представим эту дробь в виде разности:
$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
Применим это представление к каждому слагаемому в нашей сумме:
$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
Теперь запишем всю сумму:
$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})$.
Это так называемая "телескопическая сумма", в которой все промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$.
Остаются только первый и последний члены:
$S = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.