Номер 8.25, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.25. Каким законом распределена дискретная СВ, заданная в упражнениях: 1) 8.1; 2) 8.2; 3) 8.9?

Поскольку тексты упражнений 8.1, 8.2 и 8.9 не предоставлены, ответ основан на анализе наиболее вероятных сценариев, описываемых в задачах по теории вероятностей, которые приводят к стандартным законам распределения дискретных случайных величин (СВ).

1) 8.1

Предположим, что в упражнении 8.1 описывается ситуация, где проводится фиксированное число $n$ независимых испытаний. В каждом испытании может произойти одно из двух событий: "успех" с вероятностью $p$ или "неудача" с вероятностью $q=1-p$. Вероятность успеха $p$ одинакова для всех испытаний. Случайная величина $X$ — это общее число "успехов" в $n$ испытаниях. Такая схема эксперимента называется схемой Бернулли.

Такая случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, равное $k$ (число успехов), определяется формулой Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

где $k$ может принимать значения $0, 1, 2, \dots, n$, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Пример: Проводится 10 подбрасываний монеты. Случайная величина $X$ — число выпадений "орла". Здесь $n=10$, $p=0.5$. Величина $X$ распределена по биномиальному закону.

Ответ: Биномиальный закон распределения.

2) 8.2

Предположим, что в упражнении 8.2 описывается серия независимых испытаний по схеме Бернулли, которые проводятся до тех пор, пока не наступит первый "успех". Вероятность "успеха" $p$ в каждом испытании постоянна. Случайная величина $X$ — это номер испытания, в котором впервые произошел "успех".

Такая случайная величина подчиняется геометрическому закону распределения. Вероятность того, что первый успех наступит ровно в $k$-м испытании, равна вероятности того, что в первых $k-1$ испытаниях была "неудача", а в $k$-м — "успех". Эта вероятность вычисляется по формуле:

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$

где $k$ может принимать значения $1, 2, 3, \dots$.

Пример: Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0.7$. Случайная величина $X$ — число сделанных выстрелов. Здесь $p=0.7$. Величина $X$ распределена по геометрическому закону.

Ответ: Геометрический закон распределения.

3) 8.9

Предположим, что в упражнении 8.9 рассматривается конечная совокупность из $N$ объектов, среди которых $K$ объектов обладают некоторым признаком ("успехи"). Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается выборка объемом $n$. Случайная величина $X$ — это число объектов с заданным признаком ("успехов") в полученной выборке.

Такая случайная величина подчиняется гипергеометрическому закону распределения. В отличие от биномиального распределения, здесь испытания (извлечение объектов) зависимы, так как после каждого извлечения состав оставшейся совокупности меняется. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ объектов с нужным признаком, определяется формулой:

$P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $k$ — число "успехов" в выборке, $C_K^k$ — число способов выбрать $k$ "успешных" объектов из $K$ имеющихся, $C_{N-K}^{n-k}$ — число способов выбрать $n-k$ "неуспешных" объектов из $N-K$ оставшихся, а $C_N^n$ — общее число способов выбрать $n$ объектов из $N$.

Пример: В партии из 50 деталей 10 бракованных. Наугад отбирают 5 деталей. Случайная величина $X$ — число бракованных деталей в выборке. Здесь $N=50$, $K=10$, $n=5$. Величина $X$ распределена по гипергеометрическому закону.

Ответ: Гипергеометрический закон распределения.