Вопросы, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется дискретной СВ? Приведите пример.

2. Что вы понимаете под непрерывной СВ? Поясните на примере.

3. Какая дискретная СВ называется распределенной по биномиальному закону?

4. Какая дискретная СВ называется распределенной по гипергеометрическому закону?

5. Какая дискретная СВ называется распределенной по геометрическому закону?

1. Что называется дискретной СВ? Приведите пример.

Дискретной (или прерывной) случайной величиной (СВ) называется такая случайная величина, множество возможных значений которой конечно или счётно. Это означает, что все её возможные значения можно перечислить или пронумеровать. Между любыми двумя её возможными значениями всегда есть промежуток, в котором других возможных значений нет.

Пример: Число очков, выпавшее при однократном бросании игральной кости. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Это множество является конечным. Другой пример — число выстрелов до первого попадания в цель; здесь множество возможных значений счётно (1, 2, 3, ...), но значения также являются отдельными, изолированными друг от друга.

Ответ: Дискретная случайная величина — это случайная величина, принимающая отдельные, изолированные значения, которые можно пересчитать. Пример: число студентов в аудитории.

2. Что вы понимаете под непрерывной СВ? Поясните на примере.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая случайная величина, возможные значения которой полностью заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток на числовой оси. Это означает, что между любыми двумя возможными значениями непрерывной случайной величины существует бесконечное множество других её возможных значений. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное, заранее заданное значение, равна нулю.

Пример: Рост взрослого человека. Если мы знаем, что рост людей находится в диапазоне от 150 см до 200 см, то случайная величина «рост наугад выбранного человека» может принять абсолютно любое значение из этого интервала: 175 см, 175.1 см, 175.11 см и т.д. Другие примеры: температура воздуха, время ожидания автобуса, дальность полета снаряда.

Ответ: Непрерывная случайная величина — это случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Пример: масса случайно выбранного яблока.

3. Какая дискретная СВ называется распределенной по биномиальному закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение, если она представляет собой число «успехов» в серии из $n$ независимых одинаковых испытаний (схема Бернулли). В каждом таком испытании возможны только два исхода: «успех» (с вероятностью $p$) и «неудача» (с вероятностью $q = 1-p$).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ «успехов», вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$. Параметрами биномиального закона являются число испытаний $n$ и вероятность «успеха» $p$.

Ответ: Дискретная случайная величина, равная числу успехов в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность успеха постоянна и равна $p$.

4. Какая дискретная СВ называется распределенной по гипергеометрическому закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет гипергеометрическое распределение, если она описывает число «успешных» исходов при извлечении выборки без возвращения из конечной совокупности.

Рассмотрим совокупность из $N$ объектов, среди которых $K$ объектов обладают некоторым признаком («успешные»). Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается выборка объемом $n$. Случайная величина $X$ — это число «успешных» объектов в этой выборке. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ «успешных» объектов, определяется формулой:

$P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $C_a^b$ — число сочетаний из $a$ по $b$. В отличие от биномиального распределения, здесь испытания (извлечение объектов) являются зависимыми, так как состав совокупности меняется после каждого извлечения.

Ответ: Дискретная случайная величина, равная числу объектов с определенным признаком в случайной выборке объема $n$, взятой без возвращения из совокупности $N$ объектов, в которой $K$ объектов обладают этим признаком.

5. Какая дискретная СВ называется распределенной по геометрическому закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет геометрическое распределение, если она представляет собой номер первого «успешного» испытания в последовательности независимых испытаний Бернулли.

Проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность «успеха» постоянна и равна $p$. Испытания продолжаются до тех пор, пока не наступит первый «успех». Случайная величина $X$ — это общее число проведенных испытаний, включая первое успешное. Вероятность того, что первый «успех» произойдет в $k$-м по счету испытании, вычисляется по формуле:

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$

Это означает, что первые $k-1$ испытаний завершились «неудачей» (с вероятностью $1-p$ каждое), а $k$-е испытание — «успехом» (с вероятностью $p$).

Ответ: Дискретная случайная величина, равная номеру первого успешного испытания в серии независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха $p$.