Номер 8.18, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.18. Дана случайная величина $X$, распределенная по закону

где $P_m = C_n^m p^m q^{n-m}$, $m = 0,1,2..., n$, $q = 1 - p$, $0 < p < 1$.

Случайная величина $X$ называется распределенной по биноми-нальному закону. Найдите $M(X)$ и $D(X)$.

Дана случайная величина X, распределенная по биномиальному закону. Это означает, что X может принимать целые значения от 0 до $n$, и вероятность каждого значения $m$ определяется формулой Бернулли:$P(X=m) = P_m = C_n^m p^m q^{n-m}$, где $m = 0, 1, 2, ..., n$.Здесь $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании ($0 < p < 1$), а $q = 1-p$ — вероятность «неудачи».Требуется найти математическое ожидание $M(X)$ и дисперсию $D(X)$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:$M(X) = \sum_{m=0}^{n} m \cdot P_m = \sum_{m=0}^{n} m \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Первый член суммы (при $m=0$) равен нулю, поэтому суммирование можно начать с $m=1$:$M(X) = \sum_{m=1}^{n} m \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Преобразуем выражение $m \cdot C_n^m$, используя определение биномиального коэффициента $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$:$m \cdot C_n^m = m \cdot \frac{n!}{m(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!}$.

Далее, $n! = n \cdot (n-1)!$ и $n-m = (n-1) - (m-1)$. Подставив это, получим:$\frac{n!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = n \cdot C_{n-1}^{m-1}$.

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в сумму для $M(X)$:$M(X) = \sum_{m=1}^{n} n \cdot C_{n-1}^{m-1} p^m q^{n-m}$.

Вынесем за знак суммы множители, не зависящие от $m$, а именно $n$ и $p$:$M(X) = np \sum_{m=1}^{n} C_{n-1}^{m-1} p^{m-1} q^{n-m}$.

Для упрощения суммы введем новую переменную $k=m-1$. Когда $m$ изменяется от $1$ до $n$, $k$ изменяется от $0$ до $n-1$. Тогда $m=k+1$, и $n-m = n-(k+1) = (n-1)-k$. Сумма принимает вид:$M(X) = np \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} p^{k} q^{(n-1)-k}$.

Выражение под знаком суммы является разложением бинома Ньютона для $(p+q)^{n-1}$. Так как по условию $q=1-p$, то $p+q=1$, и, следовательно, $(p+q)^{n-1} = 1^{n-1} = 1$.

В итоге получаем:$M(X) = np \cdot 1 = np$.

Ответ: $M(X) = np$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.Мы уже нашли $M(X) = np$, поэтому $[M(X)]^2 = (np)^2$. Осталось найти $M(X^2)$.

$M(X^2)$ — это математическое ожидание квадрата случайной величины:$M(X^2) = \sum_{m=0}^{n} m^2 \cdot P_m = \sum_{m=0}^{n} m^2 \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Для вычисления этой суммы применим прием: представим $m^2$ в виде $m(m-1)+m$.$M(X^2) = \sum_{m=0}^{n} (m(m-1)+m) \cdot C_n^m p^m q^{n-m} = \sum_{m=0}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m} + \sum_{m=0}^{n} m C_n^m p^m q^{n-m}$.

Второе слагаемое в этой сумме — это в точности $M(X)$, которое мы уже вычислили: $\sum_{m=0}^{n} m C_n^m p^m q^{n-m} = M(X) = np$.

Рассмотрим первое слагаемое. Члены суммы для $m=0$ и $m=1$ равны нулю, поэтому суммирование можно начать с $m=2$:$\sum_{m=2}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m}$.

Преобразуем выражение $m(m-1) C_n^m$:$m(m-1) C_n^m = m(m-1) \frac{n!}{m(m-1)(m-2)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-2)!(n-m)!}$.

Используя $n! = n(n-1)(n-2)!$ и $n-m = (n-2)-(m-2)$, получаем:$\frac{n!}{(m-2)!(n-m)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(m-2)!((n-2)-(m-2))!} = n(n-1) C_{n-2}^{m-2}$.

Подставим это в сумму и вынесем множители $n(n-1)p^2$:$\sum_{m=2}^{n} n(n-1) C_{n-2}^{m-2} p^m q^{n-m} = n(n-1)p^2 \sum_{m=2}^{n} C_{n-2}^{m-2} p^{m-2} q^{n-m}$.

Сделаем замену индекса $k=m-2$. Когда $m$ меняется от $2$ до $n$, $k$ меняется от $0$ до $n-2$. Тогда $n-m=n-(k+2)=(n-2)-k$.Сумма становится: $n(n-1)p^2 \sum_{k=0}^{n-2} C_{n-2}^{k} p^k q^{(n-2)-k}$.

Сумма $\sum_{k=0}^{n-2} C_{n-2}^{k} p^k q^{(n-2)-k}$ является разложением бинома $(p+q)^{n-2} = 1^{n-2} = 1$.Следовательно, $\sum_{m=2}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m} = n(n-1)p^2$.

Теперь мы можем найти $M(X^2)$:$M(X^2) = n(n-1)p^2 + np$.

Наконец, вычисляем дисперсию:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = (n(n-1)p^2 + np) - (np)^2$$D(X) = (n^2 p^2 - np^2 + np) - n^2 p^2 = np - np^2 = np(1-p)$.

Так как $q = 1-p$, окончательно получаем:$D(X) = npq$.

Ответ: $D(X) = npq$.