Номер 8.15, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.15. В условиях предыдущей задачи найдите дисперсию случайной величины $X$.

Поскольку задача 8.15 ссылается на условия предыдущей задачи, а они не предоставлены, мы решим ее на основе типичного примера, к которому такие задачи обычно относятся. Предположим, что в предыдущей задаче (8.14) речь шла о следующей ситуации (гипергеометрическое распределение):

Условие предыдущей задачи (предполагаемое): Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 4 стандартных, случайным образом отобраны 3 изделия. Случайная величина $X$ — число стандартных изделий среди отобранных.

В предыдущей задаче, скорее всего, требовалось найти закон распределения и математическое ожидание $X$. Мы восстановим эти шаги, чтобы найти дисперсию.

1. Нахождение закона распределения случайной величины $X$.

Случайная величина $X$ — число стандартных изделий в выборке. Возможные значения $X$: {0, 1, 2, 3}. Вероятности этих значений вычисляются по формуле гипергеометрического распределения:

$P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$

где $N=10$ — общий размер партии, $M=4$ — число стандартных изделий в партии, $n=3$ — размер выборки, $k$ — число стандартных изделий в выборке.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 10: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

Вычислим вероятности для каждого значения $k$:

• $P(X=0) = \frac{C_4^0 C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{1 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{120} = \frac{20}{120}$
• $P(X=1) = \frac{C_4^1 C_6^2}{C_{10}^3} = \frac{4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{120} = \frac{4 \cdot 15}{120} = \frac{60}{120}$
• $P(X=2) = \frac{C_4^2 C_6^1}{C_{10}^3} = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 6}{120} = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120}$
• $P(X=3) = \frac{C_4^3 C_6^0}{C_{10}^3} = \frac{4 \cdot 1}{120} = \frac{4}{120}$

Проверка: $\frac{20}{120} + \frac{60}{120} + \frac{36}{120} + \frac{4}{120} = \frac{120}{120} = 1$.

Закон распределения $X$:

2. Нахождение дисперсии $D(X)$.

Дисперсия вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 2 \cdot \frac{36}{120} + 3 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 72 + 12}{120} = \frac{144}{120} = 1.2$

Теперь найдем $M(X^2)$. Для этого составим закон распределения для $X^2$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 4 \cdot \frac{36}{120} + 9 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 144 + 36}{120} = \frac{240}{120} = 2$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 2 - (1.2)^2 = 2 - 1.44 = 0.56$

Проверка по готовой формуле для дисперсии гипергеометрического распределения:

$D(X) = n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right) \frac{N-n}{N-1}$

$D(X) = 3 \cdot \frac{4}{10} \left(1 - \frac{4}{10}\right) \frac{10-3}{10-1} = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot \frac{7}{9} = 0.72 \cdot \frac{7}{9} = \frac{0.72 \cdot 7}{9} = 0.08 \cdot 7 = 0.56$

Результаты совпадают.

Ответ: $D(X) = 0.56$