Номер 8.14, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.14. Из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично». Из этих контрольных работ наудачу отобраны три работы. Случайная величина X равна числу оцененных на «отлично» работ среди отобранных. Напишите закон распределения X.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу контрольных работ с оценкой «отлично» среди трех случайно отобранных.

В условии задачи дано, что всего имеется 25 контрольных работ. Из них 5 работ оценены на «отлично», следовательно, $25 - 5 = 20$ работ не имеют оценки «отлично». Наугад отбираются 3 работы.

Случайная величина $X$ может принимать следующие возможные значения: 0, 1, 2, 3. Чтобы найти закон распределения $X$, необходимо вычислить вероятности $P(X=k)$ для каждого из этих значений $k$.

Так как выборка производится без возвращения из конечной совокупности, мы имеем дело с гипергеометрическим распределением. Общее число способов выбрать 3 работы из 25 равно числу сочетаний из 25 по 3: $N = C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 2300$. Это общее число равновозможных элементарных исходов.

Число исходов, благоприятствующих событию $X=k$ (выбрано $k$ «отличных» работ и $3-k$ «не отличных»), равно $m_k = C_5^k \cdot C_{20}^{3-k}$. Вероятность этого события вычисляется по формуле $P(X=k) = \frac{m_k}{N}$.

Найдем вероятности для всех возможных значений $X$:
- Для $X=0$: необходимо выбрать 0 «отличных» работ из 5 и 3 «не отличных» из 20. $P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_{20}^3}{C_{25}^3} = \frac{1 \cdot \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{2300} = \frac{1 \cdot 1140}{2300} = \frac{1140}{2300} = \frac{57}{115}$.
- Для $X=1$: необходимо выбрать 1 «отличную» работу из 5 и 2 «не отличных» из 20. $P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_{20}^2}{C_{25}^3} = \frac{5 \cdot \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1}}{2300} = \frac{5 \cdot 190}{2300} = \frac{950}{2300} = \frac{19}{46}$.
- Для $X=2$: необходимо выбрать 2 «отличные» работы из 5 и 1 «не отличную» из 20. $P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_{20}^1}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 20}{2300} = \frac{10 \cdot 20}{2300} = \frac{200}{2300} = \frac{2}{23}$.
- Для $X=3$: необходимо выбрать 3 «отличные» работы из 5 и 0 «не отличных» из 20. $P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_{20}^0}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1}{2300} = \frac{10 \cdot 1}{2300} = \frac{10}{2300} = \frac{1}{230}$.

Проверим, что сумма полученных вероятностей равна 1: $\frac{1140}{2300} + \frac{950}{2300} + \frac{200}{2300} + \frac{10}{2300} = \frac{1140+950+200+10}{2300} = \frac{2300}{2300} = 1$.

Закон распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ задается следующей таблицей: