Номер 6.49, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.49. Докажите равенство по определению:

1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+n^2} = 0$;

2) $\lim_{n\to\infty} \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} = -\frac{3}{2}$;

3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3n-2}{4n+5} = \frac{3}{4}$;

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} = 0$.

1) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+n^2} = 0$ по определению.

Согласно определению предела последовательности, для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ должно существовать такое натуральное число $N$, что для всех натуральных чисел $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n - L| < \varepsilon$.

В данном случае $x_n = \frac{1}{n+n^2}$ и предел $L = 0$.

Составим неравенство:$|\frac{1}{n+n^2} - 0| < \varepsilon$.

Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $n+n^2 > 0$. Следовательно, модуль можно опустить:$\frac{1}{n+n^2} < \varepsilon$.

Чтобы найти $N$, зависящее от $\varepsilon$, оценим выражение слева. Очевидно, что $n+n^2 > n^2$. Из этого следует, что $\frac{1}{n+n^2} < \frac{1}{n^2}$.

Если мы найдем $n$, для которых выполняется более сильное неравенство $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$, то исходное неравенство также будет выполняться.

Решим неравенство $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$:$n^2 > \frac{1}{\varepsilon}$$n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ (так как $n>0$).

Таким образом, если мы выберем $N = \lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \rceil$ (целая часть сверху), то для всех $n > N$ будет выполняться $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$, и, следовательно, $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$.

Тогда для всех $n > N$ мы имеем:$|\frac{1}{n+n^2} - 0| = \frac{1}{n+n^2} < \frac{1}{n^2} < \varepsilon$.

Это доказывает, что предел равен 0.

Ответ: Равенство доказано по определению.

2) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} = -\frac{3}{2}$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)}$ и $L = -\frac{3}{2}$.

Рассмотрим модуль разности и преобразуем его:$|x_n - L| = |\frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} - (-\frac{3}{2})| = |\frac{n-3n^2}{2n^2+3n+1} + \frac{3}{2}| = |\frac{2(n-3n^2) + 3(2n^2+3n+1)}{2(2n^2+3n+1)}| = |\frac{2n - 6n^2 + 6n^2 + 9n + 3}{4n^2+6n+2}| = |\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2}|$.

Так как $n \ge 1$, выражение в модуле положительно, поэтому модуль можно убрать:$\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2}$.

Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \varepsilon$.

Для упрощения найдем оценку сверху для левой части.Оценим числитель сверху: $11n+3 \le 11n+3n = 14n$ (для $n \ge 1$).Оценим знаменатель снизу: $4n^2+6n+2 > 4n^2$.Тогда: $\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \frac{14n}{4n^2} = \frac{7}{2n}$.

Теперь решим более простое неравенство $\frac{7}{2n} < \varepsilon$:$2n > \frac{7}{\varepsilon}$, что равносильно $n > \frac{7}{2\varepsilon}$.

Выберем $N = \lceil \frac{7}{2\varepsilon} \rceil$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \frac{7}{2\varepsilon}$, и, следовательно, $\frac{7}{2n} < \varepsilon$.

Таким образом, для всех $n > N$:$|\frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} - (-\frac{3}{2})| = \frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \frac{7}{2n} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.

3) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{4n+5} = \frac{3}{4}$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти натуральное число $N$ такое, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{3n-2}{4n+5}$ и $L = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим модуль разности:$|x_n - L| = |\frac{3n-2}{4n+5} - \frac{3}{4}| = |\frac{4(3n-2) - 3(4n+5)}{4(4n+5)}| = |\frac{12n - 8 - 12n - 15}{16n+20}| = |\frac{-23}{16n+20}| = \frac{23}{16n+20}$.(при $n \ge 1$ знаменатель положителен).

Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{23}{16n+20} < \varepsilon$.

Оценим дробь сверху: $16n+20 > 16n$, поэтому $\frac{23}{16n+20} < \frac{23}{16n}$.

Решим более простое неравенство $\frac{23}{16n} < \varepsilon$:$16n > \frac{23}{\varepsilon}$, что равносильно $n > \frac{23}{16\varepsilon}$.

Выберем $N = \lceil \frac{23}{16\varepsilon} \rceil$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \frac{23}{16\varepsilon}$, откуда $\frac{23}{16n} < \varepsilon$.

Следовательно, для всех $n > N$:$|\frac{3n-2}{4n+5} - \frac{3}{4}| = \frac{23}{16n+20} < \frac{23}{16n} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.

4) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} = 0$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти натуральное число $N$ такое, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2}$ и $L = 0$. Последовательность определена для $n \ge 3$.

Рассмотрим модуль разности для $n \ge 3$:$|x_n - L| = |\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} - 0| = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2}$ (так как при $n \ge 3$ числитель и знаменатель положительны).

Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} < \varepsilon$.

Для упрощения найдем оценку сверху для дроби.Для числителя: при $n \ge 1$ выполняется $n+1 \le 2n$, откуда $\sqrt{n+1} \le \sqrt{2n}$.Для знаменателя: при $n \ge 4$ выполняется $n-2 \ge n/2$ (так как $2(n-2) = 2n-4 \ge n \iff n \ge 4$).

Таким образом, для $n \ge 4$:$\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} \le \frac{\sqrt{2n}}{n/2} = \frac{2\sqrt{2n}}{n} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$.

Теперь решим более простое неравенство $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$:$\sqrt{n} > \frac{2\sqrt{2}}{\varepsilon}$, что равносильно $n > (\frac{2\sqrt{2}}{\varepsilon})^2 = \frac{8}{\varepsilon^2}$.

Выберем $N = \max(4, \lceil \frac{8}{\varepsilon^2} \rceil)$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться и $n > 4$, и $n > \frac{8}{\varepsilon^2}$.При $n>4$ наша оценка сверху справедлива.При $n > \frac{8}{\varepsilon^2}$ выполняется $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$.

Следовательно, для всех $n > N$:$|\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} - 0| = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} \le \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.