gdz.top
Номер 6.48, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 6. Предел и непрерывность. 6.2. Предел числовой последовательности - номер 6.48, страница 182.
№6.47
№6.48 (с. 182)
Учебник рус. №6.48 (с. 182)
6.48. Имеет ли последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ предел?
Учебник кз. №6.48 (с. 182)
Решение. №6.48 (с. 182)
Решение 2 (rus). №6.48 (с. 182)
Чтобы определить, имеет ли последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ предел, необходимо проанализировать ее поведение при неограниченном возрастании номера $n$, то есть при $n \to \infty$.
Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Выпишем несколько первых членов этой последовательности, чтобы наглядно увидеть тенденцию:
$a_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$
$a_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$
$a_3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
$a_4 = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$
...
Как видно, с ростом $n$ члены последовательности $a_n$ становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Это говорит о том, что предел, скорее всего, существует и равен 0.
Для строгого доказательства воспользуемся известной теоремой о пределе последовательности вида $b_n = q^n$. Предел такой последовательности существует и равен нулю, если модуль ее знаменателя $|q| < 1$.
В нашем случае знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Найдем его модуль:
$|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.
Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, условие теоремы выполняется. Следовательно, последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ имеет предел, и он равен нулю.
Это можно записать математически:
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0$.
Пояснение: при $n \to \infty$ знаменатель $3^n$ также стремится к бесконечности ($3^n \to \infty$), а величина, обратная бесконечно большой, стремится к нулю.
Ответ: Да, последовательность имеет предел, и он равен 0.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6.48 расположенного на странице 182 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.48 (с. 182), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.