Номер 4.3, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. Сколькими способами можно разложить по двум карманам:

1) 4 монеты;

2) 5 монет разных достоинств?

Эта задача состоит из двух частей, которые различаются тем, являются ли предметы (монеты) различимыми или неразличимыми.

В этом подпункте монеты не указаны как различные, поэтому мы считаем их неразличимыми. Карманы же являются различимыми (например, «левый» и «правый»).

Задача сводится к нахождению количества способов разложить 4 неразличимых предмета по 2 различимым ящикам. Пусть $k_1$ — количество монет в первом кармане, а $k_2$ — во втором. Нам нужно найти количество пар неотрицательных целых чисел $(k_1, k_2)$, сумма которых равна 4:

$k_1 + k_2 = 4$

Перечислим все возможные варианты распределения:

(4 монеты в первом, 0 во втором)
(3 монеты в первом, 1 во втором)
(2 монеты в первом, 2 во втором)
(1 монета в первом, 3 во втором)
(0 монет в первом, 4 во втором)

Всего получается 5 различных способов.

С точки зрения комбинаторики, это задача на сочетания с повторениями. Число способов разложить $n$ неразличимых предметов по $k$ различимым ящикам вычисляется по формуле:

$\bar{C}_k^n = \binom{n+k-1}{k-1}$

В нашем случае количество монет $n=4$, а количество карманов $k=2$. Подставляем значения в формулу:

$\binom{4+2-1}{2-1} = \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$

Ответ: 5.

В этом случае монеты являются различимыми, так как они разных достоинств. Карманы, как и в предыдущем пункте, различимы.

Рассмотрим каждую монету по очереди. Для первой монеты есть два возможных варианта размещения: первый карман или второй. Для второй монеты также существует два независимых варианта. Аналогично для третьей, четвёртой и пятой монет — для каждой из них есть по два варианта.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению количества вариантов для каждой монеты:

$\underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{5 \text{ раз}} = 2^5$

Вычисляем результат:

$2^5 = 32$

Такой тип задач относится к размещениям с повторениями. Число способов разместить $n$ различных предметов по $k$ различным ящикам равно $k^n$. В нашем случае $n=5$ (монеты) и $k=2$ (карманы).

Количество способов: $2^5 = 32$.

Ответ: 32.