Номер 3.79, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.79. Для каждого $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ докажите неравенство:

1) $\cos x < 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{16}$;

2) $x-\frac{x^3}{4} < \operatorname{tg} x$;

3) $1-\cos x \leq \frac{x^2}{2}$.

1) Докажем неравенство $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16}$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Перепишем неравенство в виде $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} - \cos x > 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} - \cos x$. Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$ при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Найдем последовательно производные этой функции:
$f'(x) = -x + \frac{4x^3}{16} + \sin x = -x + \frac{x^3}{4} + \sin x$
$f''(x) = -1 + \frac{3x^2}{4} + \cos x$
$f'''(x) = \frac{6x}{4} - \sin x = \frac{3x}{2} - \sin x$
$f^{(4)}(x) = \frac{3}{2} - \cos x$
Проанализируем знаки производных, начиная с последней, на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.
Для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ выполняется $0 < \cos x < 1$. Следовательно, $f^{(4)}(x) = \frac{3}{2} - \cos x > \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0$.
Так как $f^{(4)}(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $f'''(x)$ строго возрастает на этом интервале.
Значение $f'''(x)$ в точке $x=0$ равно $f'''(0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - \sin 0 = 0$.
Поскольку $f'''(x)$ возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $f'''(0)=0$, то $f'''(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Так как $f'''(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $f''(x)$ строго возрастает на этом интервале.
Значение $f''(x)$ в точке $x=0$ равно $f''(0) = -1 + \frac{3 \cdot 0^2}{4} + \cos 0 = -1 + 1 = 0$.
Поскольку $f''(x)$ возрастает и $f''(0)=0$, то $f''(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Так как $f''(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $f'(x)$ строго возрастает на этом интервале.
Значение $f'(x)$ в точке $x=0$ равно $f'(0) = -0 + \frac{0^3}{4} + \sin 0 = 0$.
Поскольку $f'(x)$ возрастает и $f'(0)=0$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Наконец, так как $f'(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.
Значение $f(x)$ в точке $x=0$ равно $f(0) = 1 - \frac{0^2}{2} + \frac{0^4}{16} - \cos 0 = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $f(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $f(0)=0$, то $f(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $x - \frac{x^3}{4} < \tg x$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Перепишем неравенство в виде $\tg x - x + \frac{x^3}{4} > 0$.
Рассмотрим функцию $g(x) = \tg x - x + \frac{x^3}{4}$. Нам нужно доказать, что $g(x) > 0$ при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Найдем производную этой функции:
$g'(x) = (\tg x)' - (x)' + (\frac{x^3}{4})' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 + \frac{3x^2}{4}$.
Используя тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$, получаем:
$g'(x) = (1 + \tg^2 x) - 1 + \frac{3x^2}{4} = \tg^2 x + \frac{3x^2}{4}$.
На интервале $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ оба слагаемых в выражении для $g'(x)$ положительны: $\tg^2 x > 0$ и $\frac{3x^2}{4} > 0$.
Следовательно, $g'(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Так как производная $g'(x)$ положительна на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $g(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.
Найдем значение функции в точке $x=0$:
$g(0) = \tg 0 - 0 + \frac{0^3}{4} = 0$.
Поскольку $g(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $g(0) = 0$, то для любого $x$ из этого интервала выполняется $g(x) > g(0) = 0$.
Таким образом, $\tg x - x + \frac{x^3}{4} > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $1 - \cos x \le \frac{x^2}{2}$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Перепишем неравенство в виде $\frac{x^2}{2} - 1 + \cos x \ge 0$.
Рассмотрим функцию $h(x) = \frac{x^2}{2} - 1 + \cos x$. Нам нужно доказать, что $h(x) \ge 0$ при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Найдем производные этой функции:
$h'(x) = x - \sin x$
$h''(x) = 1 - \cos x$
На интервале $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ выполняется $0 < \cos x < 1$.
Следовательно, $h''(x) = 1 - \cos x > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Так как $h''(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $h'(x)$ является строго возрастающей на этом интервале (и на отрезке $[0; \frac{\pi}{2})$).
Найдем значение $h'(x)$ в точке $x=0$:
$h'(0) = 0 - \sin 0 = 0$.
Поскольку $h'(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $h'(0) = 0$, то $h'(x) > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Так как $h'(x) > 0$ на $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на этом интервале (и на отрезке $[0; \frac{\pi}{2})$).
Найдем значение $h(x)$ в точке $x=0$:
$h(0) = \frac{0^2}{2} - 1 + \cos 0 = 0 - 1 + 1 = 0$.
Поскольку $h(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $h(0) = 0$, то для любого $x$ из этого интервала выполняется $h(x) > h(0) = 0$.
Итак, мы доказали, что $h(x) > 0$, то есть $\frac{x^2}{2} - 1 + \cos x > 0$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Это можно переписать как $1 - \cos x < \frac{x^2}{2}$.
Поскольку строгое неравенство ($<$) влечет за собой нестрогое ($\le$), то доказываемое неравенство $1 - \cos x \le \frac{x^2}{2}$ также является верным.

Ответ: Неравенство доказано.