Номер 3.75, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. 1) $5 \sin^2 x + \sin^2 2x > 4 \cos 2x$;

2) $4 \sin^3 x < 2 \sin x + \cos 2x$;

3) $\sin 3x > 4 \sin x \cdot \cos 2x$;

4) $6 \sin x \cdot \cos 2x - 2 \sin 3x < 4$;

5) $\cos(\sin x) < 0$;

6) $5 + 2 \cos 2x \le 3|2 \sin x - 1|$.

1) $5\sin^2 x + \sin^2 2x > 4\cos 2x$

Преобразуем неравенство, используя тригонометрические формулы $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$, чтобы выразить все через $\cos 2x$.

$5 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} + 1 - \cos^2 2x > 4\cos 2x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$5(1 - \cos 2x) + 2(1 - \cos^2 2x) > 8\cos 2x$

$5 - 5\cos 2x + 2 - 2\cos^2 2x > 8\cos 2x$

$7 - 5\cos 2x - 2\cos^2 2x > 8\cos 2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 2x + 13\cos 2x - 7 < 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 + 13t - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 + 13t - 7 = 0$.

Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-13 - 15}{4} = -7$ и $t_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Парабола $y = 2t^2 + 13t - 7$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-7 < t < \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене $\cos 2x$, учитывая ограничение $-1 \le \cos 2x \le 1$:

$-1 \le \cos 2x < \frac{1}{2}$

Решаем неравенство $\cos 2x < \frac{1}{2}$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Делим все части на 2:

$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^3 x < 2\sin x + \cos 2x$

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести неравенство к одной функции $\sin x$.

$4\sin^3 x < 2\sin x + 1 - 2\sin^2 x$

$4\sin^3 x + 2\sin^2 x - 2\sin x - 1 < 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^3 + 2t^2 - 2t - 1 < 0$

Сгруппируем члены:

$2t^2(2t + 1) - (2t + 1) < 0$

$(2t^2 - 1)(2t + 1) < 0$

Найдем корни: $t = -\frac{1}{2}$, $t = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Расположим корни на числовой оси: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Методом интервалов определяем знаки выражения $(2t^2 - 1)(2t + 1)$: оно отрицательно при $t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и при $-\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Возвращаемся к замене $\sin x$ и учитываем ограничение $-1 \le \sin x \le 1$:

1) $-1 \le \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Это объединение двух интервалов:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все решения.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 3x > 4\sin x \cos 2x$

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

$4\sin x \cos 2x = 2(2\sin x \cos 2x) = 2(\sin(x+2x) + \sin(x-2x)) = 2(\sin 3x - \sin x)$.

Подставим в исходное неравенство:

$\sin 3x > 2(\sin 3x - \sin x)$

$\sin 3x > 2\sin 3x - 2\sin x$

$2\sin x > \sin 3x$

Теперь используем формулу тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

$2\sin x > 3\sin x - 4\sin^3 x$

$4\sin^3 x - \sin x > 0$

$\sin x (4\sin^2 x - 1) > 0$

$\sin x (2\sin x - 1)(2\sin x + 1) > 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$t(2t - 1)(2t + 1) > 0$

Корни: $t=0$, $t=\frac{1}{2}$, $t=-\frac{1}{2}$.

Методом интервалов находим, что неравенство верно при $-\frac{1}{2} < t < 0$ и $t > \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $-\frac{1}{2} < \sin x < 0$

2) $\sin x > \frac{1}{2}$

Решения:

1) $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) $6\sin x \cos 2x - 2\sin 3x < 4$

Как и в предыдущей задаче, используем $2\sin x \cos 2x = \sin 3x - \sin x$.

$6\sin x \cos 2x = 3(2\sin x \cos 2x) = 3(\sin 3x - \sin x)$.

Подставляем в неравенство:

$3(\sin 3x - \sin x) - 2\sin 3x < 4$

$3\sin 3x - 3\sin x - 2\sin 3x < 4$

$\sin 3x - 3\sin x < 4$

Используем формулу $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

$(3\sin x - 4\sin^3 x) - 3\sin x < 4$

$-4\sin^3 x < 4$

$\sin^3 x > -1$

$\sin x > -1$

Функция $\sin x$ всегда больше -1, за исключением точек, где она равна -1.

$\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение неравенства - все действительные числа, кроме этих точек.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos(\sin x) < 0$

Пусть $t = \sin x$. Область значений $t$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Неравенство принимает вид $\cos t < 0$.

Функция косинус отрицательна, когда ее аргумент находится в интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно найти пересечение множества решений для $t$ с его областью значений $[-1, 1]$.

При $k=0$ интервал для $t$ будет $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Приближенные значения: $(1.57, 4.71)$.

При других целых $k$ интервалы будут еще дальше от нуля.

Область значений $t = \sin x$ - это $[-1, 1]$.

Интервал $[-1, 1]$ не пересекается с интервалами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57 < -1$.

Более того, для любого $t \in [-1, 1]$ значение $t$ (в радианах) попадает в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен. Таким образом, $\cos(\sin x) > 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $\cos(\sin x) < 0$ не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

6) $5 + 2\cos 2x \le 3|2\sin x - 1|$

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ для левой части:

$5 + 2(1 - 2\sin^2 x) = 5 + 2 - 4\sin^2 x = 7 - 4\sin^2 x$.

Неравенство становится: $7 - 4\sin^2 x \le 3|2\sin x - 1|$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$7 - 4t^2 \le 3|2t - 1|$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2t - 1 \ge 0$, то есть $t \ge \frac{1}{2}$.

$7 - 4t^2 \le 3(2t - 1)$

$7 - 4t^2 \le 6t - 3$

$0 \le 4t^2 + 6t - 10$

$2t^2 + 3t - 5 \ge 0$

Корни уравнения $2t^2 + 3t - 5 = 0$ это $t_1 = 1$ и $t_2 = -2.5$.

Неравенство верно при $t \le -2.5$ или $t \ge 1$. Учитывая условия $t \ge \frac{1}{2}$ и $-1 \le t \le 1$, получаем единственное решение $t = 1$.

Случай 2: $2t - 1 < 0$, то есть $t < \frac{1}{2}$.

$7 - 4t^2 \le 3(-(2t - 1))$

$7 - 4t^2 \le -6t + 3$

$0 \le 4t^2 - 6t - 4$

$2t^2 - 3t - 2 \ge 0$

Корни уравнения $2t^2 - 3t - 2 = 0$ это $t_1 = 2$ и $t_2 = -0.5$.

Неравенство верно при $t \le -0.5$ или $t \ge 2$. Учитывая условия $t < \frac{1}{2}$ и $-1 \le t \le 1$, получаем решение $-1 \le t \le -0.5$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем $t=1$ или $-1 \le t \le -0.5$.

Возвращаемся к замене $\sin x$:

1) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $-1 \le \sin x \le -\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге на единичной окружности от $\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k; \quad x \in [\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.