Номер 3.81, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. Решите уравнения:

1) $x^2 - 4x + |x^2 - 2x| + 4 = 0;$

2) $|x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5.$

1) $x^2 - 4x + |x^2 - 2x| + 4 = 0$

Для решения уравнения необходимо раскрыть модуль. Знак выражения под модулем зависит от значения $x$. Найдем нули подмодульного выражения $x^2 - 2x$.

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Корни $x=0$ и $x=2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x^2 - 2x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

В этом случае $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$. Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (x^2 - 2x) + 4 = 0$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь нужно проверить, принадлежат ли эти корни рассматриваемому промежутку $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

Корень $x_1 = 1$ не принадлежит этому множеству, так как $1 \notin (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$. Следовательно, $x=1$ не является решением.

Корень $x_2 = 2$ принадлежит этому множеству, так как $2 \in [2, +\infty)$. Следовательно, $x=2$ является решением.

Случай 2: $x^2 - 2x < 0$.

Это неравенство выполняется для $x \in (0, 2)$.

В этом случае $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$. Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (-x^2 + 2x) + 4 = 0$

$x^2 - 4x - x^2 + 2x + 4 = 0$

$-2x + 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x=2$ рассматриваемому интервалу $x \in (0, 2)$. Корень $x=2$ не принадлежит этому интервалу. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы видим, что уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $2$.

2) $|x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5$

Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $y = x^2$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$|y - 9| + |y - 4| = 5$, при условии $y \ge 0$.

Рассмотрим это уравнение на числовой оси для $y$. Критические точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $y=4$ и $y=9$.

Случай 1: $0 \le y < 4$.

На этом интервале $y-9 < 0$ и $y-4 < 0$. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком:

$-(y - 9) + (-(y - 4)) = 5$

$-y + 9 - y + 4 = 5$

$-2y + 13 = 5$

$-2y = 5 - 13$

$-2y = -8$

$y = 4$

Полученное значение $y=4$ не входит в рассматриваемый интервал $0 \le y < 4$.

Случай 2: $4 \le y < 9$.

На этом интервале $y-9 < 0$, но $y-4 \ge 0$.

$-(y - 9) + (y - 4) = 5$

$-y + 9 + y - 4 = 5$

$5 = 5$

Это тождество, верное для любого $y$ из данного промежутка. Следовательно, все значения $y$ из промежутка $[4, 9)$ являются решениями.

Случай 3: $y \ge 9$.

На этом промежутке $y-9 \ge 0$ и $y-4 \ge 0$. Оба модуля раскрываются с положительным знаком:

$(y - 9) + (y - 4) = 5$

$2y - 13 = 5$

$2y = 18$

$y = 9$

Полученное значение $y=9$ удовлетворяет условию $y \ge 9$ и является решением.

Объединяя результаты из случаев 2 и 3, получаем, что решениями для $y$ являются все значения из отрезка $[4, 9]$.

Теперь выполним обратную замену $y = x^2$:

$4 \le x^2 \le 9$

Это двойное неравенство равносильно одновременному выполнению двух условий: $x^2 \ge 4$ и $x^2 \le 9$.

Из $x^2 \ge 4$ следует, что $|x| \ge 2$, что соответствует $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Из $x^2 \le 9$ следует, что $|x| \le 3$, что соответствует $x \in [-3, 3]$.

Решением исходного уравнения будет пересечение этих двух множеств:

$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)) \cap [-3, 3]$

Пересечением является объединение двух отрезков: $[-3, -2] \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.