Номер 3.80, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. Сравните числа:

1) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;

2) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{7}$ и $\operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$.

1) Сравним числа $\sin\frac{5\pi}{7}$ и $\sin\frac{7\pi}{8}$.

Для того чтобы сравнить значения синусов, сначала определим, в каких четвертях находятся углы. Оба угла, $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$, находятся во второй координатной четверти, поскольку они больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$.

Чтобы упростить сравнение, приведем аргументы синусов к углам в первой четверти, используя формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$.

Для первого числа:$\sin\frac{5\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{2\pi}{7}) = \sin\frac{2\pi}{7}$.

Для второго числа:$\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin\frac{2\pi}{7}$ и $\sin\frac{\pi}{8}$. Оба угла, $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$), на котором функция $y = \sin x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $56$:

$\frac{2\pi}{7} = \frac{2\pi \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{16\pi}{56}$

$\frac{\pi}{8} = \frac{\pi \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{7\pi}{56}$

Поскольку $16\pi > 7\pi$, то $\frac{16\pi}{56} > \frac{7\pi}{56}$, и, следовательно, $\frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Так как на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция синуса возрастает, из неравенства $\frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$ следует, что $\sin\frac{2\pi}{7} > \sin\frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $\sin\frac{5\pi}{7} > \sin\frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\sin\frac{5\pi}{7} > \sin\frac{7\pi}{8}$.

2) Сравним числа $\tan\frac{9\pi}{7}$ и $\tan\frac{6\pi}{5}$.

Определим, в каких четвертях находятся углы.Угол $\frac{9\pi}{7} = \pi + \frac{2\pi}{7}$ находится в третьей координатной четверти.Угол $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$ также находится в третьей координатной четверти.

Воспользуемся свойством периодичности функции тангенса: $\tan(x + k\pi) = \tan x$, где $k$ - целое число. Это свойство означает, что тангенс возрастает на каждом из своих интервалов непрерывности, в том числе на $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, где лежат оба наших угла.

Альтернативно, можно свести задачу к сравнению углов в первой четверти.

Для первого числа:$\tan\frac{9\pi}{7} = \tan(\pi + \frac{2\pi}{7}) = \tan\frac{2\pi}{7}$.

Для второго числа:$\tan\frac{6\pi}{5} = \tan(\pi + \frac{\pi}{5}) = \tan\frac{\pi}{5}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\tan\frac{2\pi}{7}$ и $\tan\frac{\pi}{5}$. Оба угла, $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$, принадлежат первой четверти (интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$), на котором функция $y = \tan x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю $35$:

$\frac{2\pi}{7} = \frac{2\pi \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10\pi}{35}$

$\frac{\pi}{5} = \frac{\pi \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7\pi}{35}$

Поскольку $10\pi > 7\pi$, то $\frac{10\pi}{35} > \frac{7\pi}{35}$, и, следовательно, $\frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{5}$.

Так как на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция тангенса возрастает, из неравенства $\frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{5}$ следует, что $\tan\frac{2\pi}{7} > \tan\frac{\pi}{5}$.

Следовательно, $\tan\frac{9\pi}{7} > \tan\frac{6\pi}{5}$.

Ответ: $\tan\frac{9\pi}{7} > \tan\frac{6\pi}{5}$.