Номер 3.71, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. 1) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$;

2) $\operatorname{tg} x \ge \sin x$;

3) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x \ge 2$;

4) $\sin 2x \ge 2\sin x$.

1) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$

Преобразуем левую часть неравенства, используя метод введения вспомогательного угла. Формула для суммы синуса и косинуса: $a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\alpha = \frac{a}{R}$, $\sin\alpha = \frac{b}{R}$.

В данном случае $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\sqrt{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$ (это положительное число, знак неравенства не меняется):

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -1$

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что $\sin(t) \ge -1$ для любого аргумента $t$.

Таким образом, неравенство $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, при которых $\sin(x + \frac{\pi}{4})$ достигает своего минимального значения, равного $-1$.

Найдем эти исключаемые значения:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$

Решением исходного неравенства являются все действительные числа, за исключением этих точек. В виде интервала это можно записать как объединение открытых интервалов между соседними исключенными точками.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in Z$.

2) $\tg x \ge \sin x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, когда $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Перепишем неравенство, используя определение тангенса:

$\frac{\sin x}{\cos x} \ge \sin x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \ge 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) \ge 0$

$\sin x (\frac{1 - \cos x}{\cos x}) \ge 0$

Проанализируем выражение. Множитель $(1 - \cos x)$ всегда неотрицателен, т.е. $1 - \cos x \ge 0$, поскольку $\cos x \le 1$ для любого $x$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $1 - \cos x = 0$. Это выполняется при $\cos x = 1$, то есть $x = 2\pi k$ для $k \in Z$. В этих точках неравенство становится $0 \ge 0$, что верно. Следовательно, эти значения являются решениями.

Случай 2: $1 - \cos x > 0$. В этом случае (т.е. при $x \ne 2\pi k$), знак всего выражения совпадает со знаком выражения $\frac{\sin x}{\cos x}$. Неравенство принимает вид:

$\frac{\sin x}{\cos x} \ge 0$

$\tg x \ge 0$

Тангенс неотрицателен в I и III координатных четвертях. Решением этого неравенства являются промежутки $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

Объединим решения из обоих случаев. Точки $x = 2\pi k$ из первого случая уже включены в семейство решений $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ (например, при $k=2\pi$, точка $x=2\pi$ является началом интервала $[2\pi, \frac{5\pi}{2})$).

Ответ: $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in Z$.

3) $\tg x + \ctg x \ge 2$

ОДЗ: $\tg x$ и $\ctg x$ должны быть определены, то есть $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) = 2\sin x \cos x \ne 0$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$\frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{2}{\sin(2x)} \ge 2$

$\frac{1}{\sin(2x)} \ge 1$

Чтобы левая часть была больше или равна 1, она должна быть положительной. Это возможно только если знаменатель $\sin(2x)$ положителен: $\sin(2x) > 0$.

При этом условии мы можем умножить обе части неравенства на $\sin(2x)$, не меняя знака:

$1 \ge \sin(2x)$

Это неравенство верно для всех $x$, так как $\sin(2x)$ никогда не превышает 1.

Таким образом, решение исходного неравенства сводится к решению неравенства $\sin(2x) > 0$.

Синус положителен, когда его аргумент находится в интервале $(0, \pi)$ с добавлением периодов.

$2\pi n < 2x < \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$

Разделим все части на 2:

$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$

Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in Z$.

4) $\sin(2x) \ge 2\sin x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x \ge 2\sin x$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$\sin x \cos x - \sin x \ge 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\cos x - 1) \ge 0$

Проанализируем множители. Выражение $(\cos x - 1)$ всегда неположительно, то есть $\cos x - 1 \le 0$ для всех $x$, так как максимальное значение $\cos x$ равно 1.

Произведение двух множителей неотрицательно $(\ge 0)$, если:

а) один из множителей равен нулю. Это происходит при $\sin x = 0$ (т.е. $x = \pi n, n \in Z$) или при $\cos x - 1 = 0$ (т.е. $x = 2\pi n, n \in Z$). В обоих случаях неравенство $0 \ge 0$ верно.

б) оба множителя отличны от нуля и имеют противоположные знаки. Так как $\cos x - 1 < 0$ (для $x \ne 2\pi n$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы другой множитель был неположительным: $\sin x < 0$.

Объединяя условия из а) и б), мы получаем, что неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $\sin x \le 0$.

Синус неположителен в III и IV координатных четвертях, включая их границы.

Решением неравенства $\sin x \le 0$ является объединение промежутков:

$[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in Z$.

Ответ: $x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n], n \in Z$.