Номер 3.67, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. 1) $ \sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6} \le \frac{1}{2}; $

2) $ \sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) > 1; $

3) $ 4\sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2}; $

4) $ 3\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}\right) > -\sqrt{3}; $

5) $ \cos \frac{\pi}{8} \cos x - \sin x \sin \frac{\pi}{8} < -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

6) $ 0.5 \sin 4x < -0.2. $

1) Исходное неравенство: $ \sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6} \le \frac{1}{2} $.
Левая часть неравенства является формулой синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Неравенство принимает вид: $ \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Получаем простейшее тригонометрическое неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой ордината (значение синуса) не превышает $ \frac{1}{2} $. Это соответствует углам в промежутке от $ -\frac{7\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $.
С учетом периодичности синуса, общее решение для $ t $ будет:
$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
Выполним обратную замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $:
$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям двойного неравенства:
$ -\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $
$ -\frac{6\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi n $
$ -\pi + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Ответ: $ -\pi + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $.

2) Исходное неравенство: $ \sqrt{3}\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4} - 2x) > 1 $.
Разделим обе части неравенства на $ \sqrt{3} $:
$ \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4} - 2x) > \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сделаем замену $ t = \frac{\pi}{4} - 2x $. Получаем неравенство $ \mathrm{ctg} t > \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Функция котангенса убывает на своем основном промежутке $ (0; \pi) $. Значение $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ котангенс принимает при угле $ \frac{\pi}{3} $. Неравенство $ \mathrm{ctg} t > \frac{1}{\sqrt{3}} $ выполняется, когда $ t $ находится в интервале от $ 0 $ до $ \frac{\pi}{3} $.
С учетом периодичности котангенса, общее решение для $ t $:
$ \pi n < t < \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.
Выполним обратную замену:
$ \pi n < \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{\pi}{3} + \pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:
$ \pi n - \frac{\pi}{4} < -2x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n $
$ -\frac{\pi}{4} + \pi n < -2x < \frac{4\pi - 3\pi}{12} + \pi n $
$ -\frac{\pi}{4} + \pi n < -2x < \frac{\pi}{12} + \pi n $.
Разделим все части на -2, изменив знаки неравенства на противоположные:
$ \frac{-\frac{\pi}{4} + \pi n}{-2} > x > \frac{\frac{\pi}{12} + \pi n}{-2} $
$ \frac{\pi}{8} - \frac{\pi n}{2} > x > -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2} $.
Запишем в стандартном виде:
$ -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} - \frac{\pi n}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} - \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

3) Исходное неравенство: $ 4\sin 2x \cdot \cos 2x \ge \sqrt{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ 2 \cdot (2\sin 2x \cos 2x) \ge \sqrt{2} $.
Применив формулу, где $ \alpha=2x $, получим $ 2\sin(2 \cdot 2x) \ge \sqrt{2} $, то есть $ 2\sin 4x \ge \sqrt{2} $.
Разделим обе части на 2: $ \sin 4x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сделаем замену $ t = 4x $. Получаем $ \sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого неравенства является объединение промежутков $ [\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n] $, где $ n \in Z $.
$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.
Выполним обратную замену: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le 4x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi n}{4} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi n}{4} $
$ \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

4) Исходное неравенство: $ 3\mathrm{tg}(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) > -\sqrt{3} $.
Разделим обе части на 3: $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) > -\frac{\sqrt{3}}{3} $, что то же самое, что и $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) > -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сделаем замену $ t = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} $. Получаем $ \mathrm{tg} t > -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
Значение $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $ тангенс принимает при угле $ -\frac{\pi}{6} $. Функция тангенса возрастает на интервалах вида $ (-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) $.
Решением неравенства для $ t $ будет: $ -\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.
Выполним обратную замену: $ -\frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей:
$ -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ -\frac{2\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n $
$ -\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{2} < \frac{2\pi}{6} + \pi n $
$ -\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + \pi n $.
Умножим все части на 2:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.
Ответ: $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $.

5) Исходное неравенство: $ \cos\frac{\pi}{8} \cos x - \sin x \sin \frac{\pi}{8} < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Левая часть неравенства является формулой косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
Применив формулу, где $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = x $, получим $ \cos(\frac{\pi}{8} + x) < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{8} $. Получаем $ \cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Значение $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ косинус принимает при углах $ \frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $. Неравенство выполняется для углов, абсцисса которых на единичной окружности меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением неравенства для $ t $ является: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
Выполним обратную замену: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{8} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{8} $ из всех частей: $ \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + 2\pi n $.
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$ \frac{20\pi - 3\pi}{24} + 2\pi n < x < \frac{28\pi - 3\pi}{24} + 2\pi n $
$ \frac{17\pi}{24} + 2\pi n < x < \frac{25\pi}{24} + 2\pi n $.
Ответ: $ \frac{17\pi}{24} + 2\pi n < x < \frac{25\pi}{24} + 2\pi n, n \in Z $.

6) Исходное неравенство: $ 0,5\sin 4x < -0,2 $.
Умножим обе части на 2: $ \sin 4x < -0,4 $.
Сделаем замену $ t = 4x $. Получаем $ \sin t < -0,4 $.
Общее решение неравенства $ \sin t < a $ (при $ |a| < 1 $) имеет вид $ \pi - \arcsin(a) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(a) + 2\pi n $.
В нашем случае $ a = -0,4 $.
$ \pi - \arcsin(-0,4) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(-0,4) + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $, перепишем решение:
$ \pi - (-\arcsin(0,4)) + 2\pi n < t < 2\pi - \arcsin(0,4) + 2\pi n $
$ \pi + \arcsin(0,4) + 2\pi n < t < 2\pi - \arcsin(0,4) + 2\pi n $.
Выполним обратную замену $ t = 4x $:
$ \pi + \arcsin(0,4) + 2\pi n < 4x < 2\pi - \arcsin(0,4) + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin(0,4) + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin(0,4) + \frac{\pi n}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin(0,4) + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin(0,4) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.