Номер 4.11, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Разложите бином на слагаемые:

1) $(x + 2y)^3$;

2) $(3x - y)^3$;

3) $(a + b)^4$;

4) $(a - 2b)^4$.

1) Для разложения бинома $(x + 2y)^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Подставим эти значения в формулу:

$(x + 2y)^3 = (x)^3 + 3 \cdot (x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Теперь выполним вычисления и упростим выражение:

$x^3 + 3x^2(2y) + 3x(4y^2) + 8y^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

2) Для разложения бинома $(3x - y)^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Здесь $a = 3x$ и $b = y$. Подставим эти значения в формулу:

$(3x - y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot (3x) \cdot y^2 - (y)^3$

Упростим полученное выражение:

$27x^3 - 3 \cdot (9x^2) \cdot y + 9xy^2 - y^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

3) Для разложения бинома $(a + b)^4$ воспользуемся формулой бинома Ньютона $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k$ – биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=4$ коэффициенты, которые можно найти с помощью треугольника Паскаля, равны 1, 4, 6, 4, 1. Таким образом, формула разложения для четвертой степени имеет вид:

$(a+b)^4 = 1 \cdot a^4 b^0 + 4 \cdot a^3 b^1 + 6 \cdot a^2 b^2 + 4 \cdot a^1 b^3 + 1 \cdot a^0 b^4$

Упростив, получаем:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

4) Для разложения бинома $(a - 2b)^4$ используем ту же формулу для четвертой степени, что и в предыдущем пункте. В данном случае в формулу $(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$ подставим $x = a$ и $y = -2b$.

$(a + (-2b))^4 = a^4 + 4a^3(-2b) + 6a^2(-2b)^2 + 4a(-2b)^3 + (-2b)^4$

Теперь выполним вычисления, обращая внимание на знаки и степени:

$a^4 + 4a^3(-2b) + 6a^2(4b^2) + 4a(-8b^3) + 16b^4$

Упростим и получим окончательный результат:

$a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

Ответ: $a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$