Страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. (3)

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3(x^2+x-2)}$ при $x \to +\infty$. Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции $f(x)$ в точке $x=300$.

Определите уравнение асимптоты графика функции

Дана функция $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3(x^2+x-2)}$. Раскроем скобки в знаменателе, чтобы получить многочлен: $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3x^2+3x-6}$.

Поскольку степень многочлена в числителе (3) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (2), график функции имеет наклонную асимптоту. Уравнение этой асимптоты $y=kx+b$ можно найти, выделив целую часть при делении числителя на знаменатель (полиномиальное деление).

Выполним деление многочлена $2x^3+32x^2+26x-57$ на $3x^2+3x-6$. Результатом деления является частное $\frac{2}{3}x+10$ и остаток $3$.

Это означает, что числитель можно представить в виде:

$2x^3+32x^2+26x-57 = (\frac{2}{3}x+10)(3x^2+3x-6) + 3$

Тогда исходную функцию можно переписать следующим образом:

$f(x) = \frac{(\frac{2}{3}x+10)(3x^2+3x-6) + 3}{3x^2+3x-6} = \frac{2}{3}x+10 + \frac{3}{3x^2+3x-6}$

При $x \to +\infty$, значение дроби $\frac{3}{3x^2+3x-6}$ стремится к нулю, так как степень знаменателя (2) больше степени числителя (0).

Следовательно, при больших $x$ график функции $f(x)$ приближается к прямой $y=\frac{2}{3}x+10$. Это и есть уравнение наклонной асимптоты.

Ответ: Уравнение асимптоты: $y=\frac{2}{3}x+10$.

Найдите приближенное значение функции f(x) в точке x=300

При больших значениях аргумента $x$, значение функции $f(x)$ примерно равно значению ее асимптоты. Так как $x=300$ является достаточно большим числом, для нахождения приближенного значения функции $f(300)$ можно использовать уравнение асимптоты $y=\frac{2}{3}x+10$.

Подставим $x=300$ в уравнение асимптоты:

$f(300) \approx y(300) = \frac{2}{3} \cdot 300 + 10$

$f(300) \approx 2 \cdot 100 + 10$

$f(300) \approx 200 + 10 = 210$

Ответ: $f(300) \approx 210$.

8. (4) Исследуйте функцию $f(x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x$ и постройте ее график.

9. (2) Дана функция $g(x) = 2\sin x$ определенная на промежутке

Проведем полное исследование функции $f(x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x$ и построим ее график, выполнив следующие шаги.

1. Область определения

Функция состоит из комбинации тригонометрических функций $\cos\frac{x}{2}$ и $\cos x$, которые определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность: $f(-x) = 4\cos\left(-\frac{x}{2}\right) - 2\cos(-x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x = f(x)$, так как функция косинуса является четной. Таким образом, функция $f(x)$ — четная, ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Период для слагаемого $4\cos\frac{x}{2}$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Период для слагаемого $-2\cos x$ равен $T_2 = 2\pi$. Наименьший общий период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$, то есть $T = \text{НОК}(4\pi, 2\pi) = 4\pi$.

Ответ: Функция является четной и периодической с основным периодом $T = 4\pi$.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью $Oy$: при $x=0$ имеем $f(0) = 4\cos(0) - 2\cos(0) = 4 - 2 = 2$. Точка пересечения — $(0; 2)$.

С осью $Ox$: решаем уравнение $f(x) = 0$, то есть $4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x = 0$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$:

$4\cos\frac{x}{2} - 2(2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 0$, что приводит к квадратному уравнению относительно $\cos\frac{x}{2}$: $2\cos^2\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} - 1 = 0$.

Решая его, получаем $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$. Так как $|\cos \alpha| \le 1$, подходит только корень $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Отсюда $x = \pm 2\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Пересечение с осью $Oy$: $(0; 2)$. Пересечение с осью $Ox$: $x = \pm 2\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Находим первую производную: $f'(x) = -2\sin\frac{x}{2} + 2\sin x$. Преобразуем ее: $f'(x) = -2\sin\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(2\cos\frac{x}{2} - 1)$.

Критические точки находим из условия $f'(x)=0$:

1) $\sin\frac{x}{2}=0 \implies x=2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2} \implies x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Анализ знака $f'(x)$ на периоде $[0, 4\pi]$ показывает, что функция возрастает на $(0, \frac{2\pi}{3})$ и $(2\pi, \frac{10\pi}{3})$, и убывает на $(\frac{2\pi}{3}, 2\pi)$ и $(\frac{10\pi}{3}, 4\pi)$.

Экстремумы:

$x_{max} = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, значение $f(\pm \frac{2\pi}{3}) = 3$.

$x_{min} = 4\pi n$, значение $f(0) = 2$.

$x_{min} = 2\pi + 4\pi n$, значение $f(2\pi) = -6$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(4\pi n, \frac{2\pi}{3}+4\pi n)$ и $(2\pi+4\pi n, \frac{10\pi}{3}+4\pi n)$. Убывает на интервалах $(\frac{2\pi}{3}+4\pi n, 2\pi+4\pi n)$ и $(\frac{10\pi}{3}+4\pi n, 4\pi(n+1))$. Точки максимума $x = \pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x=4\pi n$ ($y_{min}=2$) и $x=2\pi+4\pi n$ ($y_{min}=-6$), для $n \in \mathbb{Z}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Находим вторую производную: $f''(x) = -\cos\frac{x}{2} + 2\cos x$.

Приравнивая к нулю, получаем $4\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} - 2 = 0$.

Корни уравнения: $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$.

Обозначим $x_1 = 2\arccos\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right)$ и $x_2 = 2\arccos\left(\frac{1-\sqrt{33}}{8}\right)$.

Анализ знака $f''(x)$ показывает, что функция вогнутая (выпукла вниз), когда $f''(x) > 0$, и выпуклая (выпукла вверх), когда $f''(x) < 0$. Точки перегиба — это точки, где меняется знак второй производной.

Ответ: Функция вогнутая на интервалах $(-x_1+4\pi n, x_1+4\pi n)$ и $(x_2+4\pi n, 4\pi-x_2+4\pi n)$. Выпуклая на интервалах $(x_1+4\pi n, x_2+4\pi n)$ и $(4\pi-x_2+4\pi n, 4\pi-x_1+4\pi n)$, где $x_1 = 2\arccos\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right)$, $x_2 = 2\arccos\left(\frac{1-\sqrt{33}}{8}\right)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки перегиба: $x=\pm x_1+4\pi n$ и $x=\pm x_2+4\pi n$.

6. Область значений

Сравнивая значения в точках экстремума, находим глобальные максимум и минимум.

Глобальный максимум: $y_{max}=3$.

Глобальный минимум: $y_{min}=-6$.

Ответ: $E(f) = [-6; 3]$.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции. Отмечаем на координатной плоскости точки экстремумов, точки пересечения с осями. Соединяем их плавными линиями с учетом интервалов монотонности и выпуклости. Затем, используя свойство периодичности, повторяем построенный фрагмент графика вдоль всей оси $Ox$ с периодом $4\pi$.

Ответ: Исследование функции проведено, ее график построен.

Дана функция $g(x)=x-2\sin x$, определенная на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$. Исследуйте функцию $y=g(x)$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $g(x) = x - 2\sin(x)$ на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$.

1. Область определения

Функция задана на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$. Следовательно, область определения $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

Ответ: Область определения функции $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

2. Четность и нечетность

Найдем значение функции для $-x$:

$g(-x) = (-x) - 2\sin(-x) = -x - 2(-\sin(x)) = -x + 2\sin(x) = -(x - 2\sin(x)) = -g(x)$.

Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат. Это позволяет нам исследовать функцию на отрезке $[0; 2\pi]$ и затем использовать симметрию для построения графика на отрезке $[-2\pi; 0]$.

Ответ: Функция является нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:

Найдем значение функции при $x=0$:

$g(0) = 0 - 2\sin(0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

С осью Ox:

Решим уравнение $g(x) = 0$:

$x - 2\sin(x) = 0 \implies x = 2\sin(x)$.

Очевидно, $x=0$ является решением. Для поиска других корней рассмотрим графики функций $y=x$ и $y=2\sin(x)$. На отрезке $[0; 2\pi]$ кроме $x=0$ есть еще один корень. Оценим его значение. При $x=\frac{\pi}{2}$, $x \approx 1.57$, а $2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$. При $x=\pi$, $x \approx 3.14$, а $2\sin(\pi) = 0$. Так как функция $h(x) = x - 2\sin(x)$ непрерывна и $h(\frac{\pi}{2}) < 0$, а $h(\pi) > 0$, корень лежит в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Численно, корень $x_0 \approx 1.9$.

В силу нечетности функции, на отрезке $[-2\pi; 0]$ также есть корень $x = -x_0 \approx -1.9$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$, $(\approx 1.9; 0)$ и $(\approx -1.9; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$g'(x) = (x - 2\sin(x))' = 1 - 2\cos(x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x)=0$ на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$:

$1 - 2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2}$.

Корни этого уравнения на заданном промежутке: $x = -\frac{5\pi}{3}, x = -\frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения:

• $x \in [-2\pi; -\frac{5\pi}{3})$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(-1.8\pi) = 1 - 2\cos(-1.8\pi) \approx 1-2(0.8) < 0$), функция убывает.
• $x \in (-\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$: $g'(x) > 0$ (например, $g'(-\pi) = 1 - 2\cos(-\pi) = 3 > 0$), функция возрастает.
• $x \in (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(0) = 1 - 2\cos(0) = -1 < 0$), функция убывает.
• $x \in (\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$: $g'(x) > 0$ (например, $g'(\pi) = 1 - 2\cos(\pi) = 3 > 0$), функция возрастает.
• $x \in (\frac{5\pi}{3}; 2\pi]$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(1.8\pi) = 1 - 2\cos(1.8\pi) \approx 1-2(0.8) < 0$), функция убывает.

Из смены знака производной определяем точки экстремума:

• $x = -\frac{5\pi}{3}$ – точка локального минимума. $g(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - 2\sin(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -6.97$.
• $x = -\frac{\pi}{3}$ – точка локального максимума. $g(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} - 2\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.69$.
• $x = \frac{\pi}{3}$ – точка локального минимума. $g(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -0.69$.
• $x = \frac{5\pi}{3}$ – точка локального максимума. $g(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - 2\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6.97$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Функция убывает на промежутках $[-2\pi; -\frac{5\pi}{3}]$, $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{5\pi}{3}; 2\pi]$. Точки экстремума: $x_{min1}=-\frac{5\pi}{3}$, $y_{min1} \approx -6.97$; $x_{max1}=-\frac{\pi}{3}$, $y_{max1} \approx 0.69$; $x_{min2}=\frac{\pi}{3}$, $y_{min2} \approx -0.69$; $x_{max2}=\frac{5\pi}{3}$, $y_{max2} \approx 6.97$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$g''(x) = (1 - 2\cos(x))' = 2\sin(x)$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:

$2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0$.

На промежутке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями являются $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$.

Определим знак второй производной на интервалах:

• $x \in (-2\pi; -\pi)$: $g''(x) > 0$ ($\sin(x) > 0$), график выпуклый вниз (вогнутый).
• $x \in (-\pi; 0)$: $g''(x) < 0$ ($\sin(x) < 0$), график выпуклый вверх (выпуклый).
• $x \in (0; \pi)$: $g''(x) > 0$ ($\sin(x) > 0$), график выпуклый вниз (вогнутый).
• $x \in (\pi; 2\pi)$: $g''(x) < 0$ ($\sin(x) < 0$), график выпуклый вверх (выпуклый).

В точках, где выпуклость меняется, находятся точки перегиба. Найдем их координаты:

• $x = -\pi$: $g(-\pi) = -\pi - 2\sin(-\pi) = -\pi$. Точка перегиба $(-\pi; -\pi)$.
• $x = 0$: $g(0) = 0$. Точка перегиба $(0; 0)$.
• $x = \pi$: $g(\pi) = \pi - 2\sin(\pi) = \pi$. Точка перегиба $(\pi; \pi)$.

Ответ: График функции выпуклый вниз на $(-2\pi, -\pi)$ и $(0, \pi)$. График выпуклый вверх на $(-\pi, 0)$ и $(\pi, 2\pi)$. Точки перегиба: $(-\pi, -\pi)$, $(0, 0)$, $(\pi, \pi)$.

6. Значения на концах отрезка и глобальные экстремумы

Вычислим значения функции на концах отрезка $[-2\pi; 2\pi]$:

$g(-2\pi) = -2\pi - 2\sin(-2\pi) = -2\pi \approx -6.28$.

$g(2\pi) = 2\pi - 2\sin(2\pi) = 2\pi \approx 6.28$.

Сравним значения в точках экстремума и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Значения в точках минимума: $g(-\frac{5\pi}{3}) \approx -6.97$ и $g(\frac{\pi}{3}) \approx -0.69$.

Значения в точках максимума: $g(-\frac{\pi}{3}) \approx 0.69$ и $g(\frac{5\pi}{3}) \approx 6.97$.

Наибольшее значение функции на отрезке: $g(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6.97$.

Наименьшее значение функции на отрезке: $g(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -6.97$.

Ответ: Глобальный максимум функции достигается в точке $x = \frac{5\pi}{3}$ и равен $\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$. Глобальный минимум достигается в точке $x = -\frac{5\pi}{3}$ и равен $-\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3}$.

7. Построение графика

Соберем все полученные данные в таблицу ключевых точек:

График строится по этим точкам с учетом информации о монотонности и выпуклости. Он начинается в точке $(-2\pi, -2\pi)$, убывает до глобального минимума в точке $(-\frac{5\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}-\sqrt{3})$, меняя выпуклость с нижней на верхнюю в точке $(-\pi, -\pi)$. Затем возрастает до локального максимума $(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3})$, пересекая ось Ox. После этого убывает, проходя через начало координат (точка перегиба) до локального минимума $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}-\sqrt{3})$. Далее снова возрастает, пересекая ось Ox и проходя через точку перегиба $(\pi, \pi)$, до глобального максимума в точке $(\frac{5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}+\sqrt{3})$. Наконец, убывает до конечной точки $(2\pi, 2\pi)$. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции построен на основе сводной таблицы и анализа поведения функции.

10. (2) Дана функция $y = \frac{-5-x}{x^2(x+3)}$. Определите уравнения вертикальных асимптот графика функции. Графически изобразите поведение функции вблизи вертикальных асимптот аналогично тому, как это сделано на рисунке 9 пункта 5.1 данного параграфа.

Определение уравнений вертикальных асимптот

Дана функция $y = \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках разрыва, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю.

Найдем точки, в которых знаменатель $x^2(x + 3)$ обращается в ноль:

$x^2(x + 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим значения числителя $-5 - x$ в этих точках:

При $x = 0$ числитель равен $-5 - 0 = -5$. Поскольку числитель не равен нулю ($ -5 \neq 0$), прямая $x = 0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

При $x = -3$ числитель равен $-5 - (-3) = -5 + 3 = -2$. Поскольку числитель не равен нулю ($ -2 \neq 0$), прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот

Чтобы схематически изобразить поведение графика, исследуем односторонние пределы функции при приближении к асимптотам.

1. Поведение вблизи асимптоты $x = -3$.

а) Предел слева (когда $x \to -3^-$):

$\lim_{x \to -3^-} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-2$. В знаменателе $x^2$ стремится к $9$, а множитель $(x+3)$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным (например, при $x=-3.01$, $x+3 = -0.01$). Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым отрицательным числом. В итоге предел равен: $\frac{-2}{-0} = +\infty$.

б) Предел справа (когда $x \to -3^+$):

$\lim_{x \to -3^+} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ также стремится к $-2$. В знаменателе $x^2$ стремится к $9$, а множитель $(x+3)$ стремится к нулю, оставаясь положительным (например, при $x=-2.99$, $x+3 = 0.01$). Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-2}{+0} = -\infty$.

Графически это означает, что при приближении к прямой $x=-3$ слева, график функции уходит вверх в бесконечность. При приближении к прямой $x=-3$ справа, график уходит вниз в бесконечность.

2. Поведение вблизи асимптоты $x = 0$.

а) Предел слева (когда $x \to 0^-$):

$\lim_{x \to 0^-} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-5$. В знаменателе $x^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным (так как это квадрат), а множитель $(x+3)$ стремится к $3$. Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-5}{+0} = -\infty$.

б) Предел справа (когда $x \to 0^+$):

$\lim_{x \to 0^+} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-5$. В знаменателе $x^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным, а множитель $(x+3)$ стремится к $3$. Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ также является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-5}{+0} = -\infty$.

Графически это означает, что при приближении к прямой $x=0$ (оси OY) как слева, так и справа, график функции уходит вниз в бесконечность.

Ответ: Уравнения вертикальных асимптот: $x = -3$ и $x = 0$. Поведение функции вблизи асимптот: при $x \to -3^-$ функция стремится к $+\infty$, при $x \to -3^+$ функция стремится к $-\infty$; при $x \to 0$ с обеих сторон функция стремится к $-\infty$. Схематически, при приближении к $x=-3$ слева график уходит вверх, а справа — вниз; при приближении к $x=0$ с обеих сторон график уходит вниз.

11. (3) а) Исследуйте функцию $y=f(x)$ и постройте ее график, где $f(x)=-x^3+2x^2-x$.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения $f(x)=g(x)$, где $g(x)=x+5$.

в) Определите число корней уравнения $-x^3+2x^2-x=a$ в зависимости от значений параметра $a$.

а) Исследуем функцию $f(x)=-x^3+2x^2-x$ и построим ее график.

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f)=(-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (при $x=0$): $f(0)=-0^3+2 \cdot 0^2 - 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

- С осью Ox (при $f(x)=0$): $-x^3+2x^2-x=0 \implies -x(x^2-2x+1)=0 \implies -x(x-1)^2=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=1$ (корень кратности 2). Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Четность и периодичность:

$f(-x) = -(-x)^3+2(-x)^2-(-x) = x^3+2x^2+x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Функция непериодическая.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Найдем первую производную функции: $f'(x)=(-x^3+2x^2-x)' = -3x^2+4x-1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $-3x^2+4x-1=0$, или $3x^2-4x+1=0$. Корни уравнения: $x_1=1/3$ и $x_2=1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

- На интервале $(-\infty; 1/3)$, $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(1/3; 1)$, $f'(x)>0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$, $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x=1/3$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(1/3) = -(1/3)^3+2(1/3)^2-1/3 = -1/27+2/9-1/3 = -4/27$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(1) = -1^3+2(1)^2-1 = 0$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

Найдем вторую производную: $f''(x)=(-3x^2+4x-1)' = -6x+4$.

Найдем точки, в которых $f''(x)=0$: $-6x+4=0 \implies x=2/3$.

- При $x < 2/3$, $f''(x)>0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

- При $x > 2/3$, $f''(x)<0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

Так как в точке $x=2/3$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $f(2/3) = -(2/3)^3+2(2/3)^2-2/3 = -8/27+8/9-2/3 = -2/27$.

6. Построение графика:

На основе полученных данных, график функции представляет собой кривую, которая приходит из $+\infty$ (при $x \to -\infty$), проходит через точку $(0;0)$, убывает до точки локального минимума $(1/3; -4/27)$, затем возрастает, меняя в точке перегиба $(2/3; -2/27)$ выпуклость вниз на выпуклость вверх, достигает точки локального максимума $(1;0)$, где касается оси Ox, и после этого убывает в $-\infty$ (при $x \to +\infty$).

Ответ: Функция исследована. Ее график — кубическая парабола с локальным максимумом в точке $(1; 0)$ и локальным минимумом в точке $(1/3; -4/27)$.

б) Число корней уравнения $f(x)=g(x)$ соответствует числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, где $g(x)=x+5$.

График $y=f(x)$ был исследован в пункте а). График $y=g(x)=x+5$ — это прямая линия, проходящая через точки $(-5; 0)$ и $(0; 5)$.

Чтобы найти число точек пересечения аналитически, рассмотрим уравнение $f(x)-g(x)=0$.

$-x^3+2x^2-x - (x+5) = 0$

$-x^3+2x^2-2x-5 = 0$

$x^3-2x^2+2x+5 = 0$

Пусть $h(x) = x^3-2x^2+2x+5$. Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$h'(x) = 3x^2-4x+2$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2-4x+2$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16-24=-8$.

Поскольку дискриминант $D<0$ и старший коэффициент $3>0$, то $h'(x)>0$ при всех значениях $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго монотонная функция может пересекать ось Ox (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Так как $\lim_{x\to-\infty} h(x) = -\infty$ и $\lim_{x\to+\infty} h(x) = +\infty$, функция $h(x)$ пересекает ось Ox ровно один раз. Следовательно, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень.

Ответ: 1 корень.

в) Требуется определить число корней уравнения $-x^3+2x^2-x=a$ в зависимости от параметра $a$. Это равносильно нахождению числа точек пересечения графика функции $y=f(x)=-x^3+2x^2-x$ с горизонтальной прямой $y=a$.

В пункте а) мы нашли экстремумы функции $f(x)$:

- Локальный максимум: $y_{max} = f(1) = 0$.

- Локальный минимум: $y_{min} = f(1/3) = -4/27$.

Теперь рассмотрим, сколько раз прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ при различных значениях $a$:

- Если $a > y_{max}$ (т.е. $a > 0$), прямая $y=a$ находится выше локального максимума и пересекает график в одной точке. Уравнение имеет 1 корень.

- Если $a = y_{max}$ (т.е. $a = 0$), прямая $y=a$ касается графика в точке максимума и пересекает его в другой точке. Уравнение имеет 2 корня.

- Если $y_{min} < a < y_{max}$ (т.е. $-4/27 < a < 0$), прямая $y=a$ проходит между экстремумами и пересекает график в трех точках. Уравнение имеет 3 корня.

- Если $a = y_{min}$ (т.е. $a = -4/27$), прямая $y=a$ касается графика в точке минимума и пересекает его в другой точке. Уравнение имеет 2 корня.

- Если $a < y_{min}$ (т.е. $a < -4/27$), прямая $y=a$ находится ниже локального минимума и пересекает график в одной точке. Уравнение имеет 1 корень.

Ответ:

- при $a \in (-\infty; -4/27) \cup (0; +\infty)$ — 1 корень;

- при $a = -4/27$ и $a=0$ — 2 корня;

- при $a \in (-4/27; 0)$ — 3 корня.

12. (3)

а) Исследуйте функцию $y=x(x-2)^3$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=-x+2$. Настолько точно, насколько позволяет ваш график, найдите корни уравнения $x(x-2)^3=-x+2$.

а) Исследуем функцию $y=x(x-2)^3$ и построим ее график.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=0(0-2)^3=0$. Точка $(0,0)$.

Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $x(x-2)^3=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=2$. Точки $(0,0)$ и $(2,0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)(-x-2)^3 = -x(-(x+2))^3 = -x(-1)^3(x+2)^3 = x(x+2)^3$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. График не симметричен относительно оси Oy или начала координат.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$y' = (x)'(x-2)^3 + x((x-2)^3)' = 1 \cdot (x-2)^3 + x \cdot 3(x-2)^2 \cdot 1 = (x-2)^2(x-2+3x) = (x-2)^2(4x-2) = 2(2x-1)(x-2)^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.

$2(2x-1)(x-2)^2 = 0$.

Критические точки: $x_1 = 1/2$ и $x_2=2$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 1/2$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1/2$ (кроме $x=2$), $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1/2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума: $y(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-2)^3 = \frac{1}{2}(-\frac{3}{2})^3 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{27}{8}) = -\frac{27}{16} = -1.6875$.

Точка минимума: $(1/2, -27/16)$.

В точке $x=2$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (2(2x-1)(x-2)^2)' = 2 \cdot [(2x-1)'(x-2)^2 + (2x-1)((x-2)^2)'] = 2 \cdot [2(x-2)^2 + (2x-1) \cdot 2(x-2)] = 4(x-2)[(x-2) + (2x-1)] = 4(x-2)(3x-3) = 12(x-1)(x-2)$.

Приравняем вторую производную к нулю: $y''=0$.

$12(x-1)(x-2)=0$.

Точки возможного перегиба: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x < 1$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
• При $1 < x < 2$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
• При $x > 2$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

В точках $x=1$ и $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точки перегиба.

Найдем координаты точек перегиба:

$y(1) = 1(1-2)^3 = -1$. Точка перегиба $(1, -1)$.

$y(2) = 2(2-2)^3 = 0$. Точка перегиба $(2, 0)$. В этой точке касательная к графику горизонтальна, так как $y'(2)=0$.

График функции $y=x(x-2)^3$ показан синим цветом на рисунке ниже.

Ответ: Функция исследована. Ключевые характеристики: область определения $D(y) = \mathbb{R}$; точки пересечения с осями $(0,0)$ и $(2,0)$; точка минимума $(1/2, -27/16)$; точки перегиба $(1, -1)$ и $(2, 0)$; функция убывает на $(-\infty, 1/2]$ и возрастает на $[1/2, +\infty)$.

б) Построим на той же координатной плоскости график функции $y=-x+2$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=2$. Точка $(0,2)$.
• при $x=2$, $y=0$. Точка $(2,0)$.

Корни уравнения $x(x-2)^3=-x+2$ являются абсциссами точек пересечения графиков функций $y=x(x-2)^3$ и $y=-x+2$.

Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках.

Одна точка пересечения очевидна: $(2,0)$. Это дает корень $x_1=2$.

Вторая точка пересечения имеет отрицательную абсциссу, близкую к нулю. По графику можно оценить ее координаты как примерно $(-0.2, 2.2)$. Это дает второй корень $x_2 \approx -0.2$.

Ответ: Графики построены на одной координатной плоскости. Корни уравнения, найденные по графику: $x_1=2$ и $x_2 \approx -0.2$.

13. (3) a) Исследуйте функцию $y=\frac{6(x-1)}{x^2+3}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=x^2-2x-2$. Решите графически неравенство $\frac{6(x-1)}{x^2+3} \le x^2-2x-2$.

а) Исследуйте функцию $y = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Знаменатель дроби $x^2+3$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+3 \ge 3$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = \frac{6(-x-1)}{(-x)^2+3} = \frac{-6(x+1)}{x^2+3}$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{6(0-1)}{0^2+3} = \frac{-6}{3} = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{6(x-1)}{x^2+3} = 0 \implies 6(x-1)=0 \implies x=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
- Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm \infty$.
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6(x-1)}{x^2+3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x-6}{x^2+3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{6}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{0-0}{1+0} = 0$.
Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой графика функции.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = \left(\frac{6x-6}{x^2+3}\right)' = \frac{(6x-6)'(x^2+3) - (6x-6)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2+18 - 12x^2 + 12x}{(x^2+3)^2} = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x^2-2x-3)}{(x^2+3)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies -6(x^2-2x-3)=0 \implies x^2-2x-3=0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$, $(3, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 3)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(3, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-1$ происходит смена знака производной с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = \frac{6(-1-1)}{(-1)^2+3} = \frac{-12}{4} = -3$. Точка минимума: $(-1, -3)$.
В точке $x=3$ происходит смена знака производной с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(3) = \frac{6(3-1)}{3^2+3} = \frac{12}{12} = 1$. Точка максимума: $(3, 1)$.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Отмечаем точки пересечения с осями $(0, -2)$ и $(1, 0)$, точки экстремумов $(-1, -3)$ и $(3, 1)$. Учитываем, что график приближается к асимптоте $y=0$ при $x \to \pm\infty$ и соблюдаем интервалы монотонности.

Ответ: Функция исследована. Для построения графика используются ключевые точки: пересечения с осями $(0, -2)$ и $(1, 0)$, локальный минимум $(-1, -3)$, локальный максимум $(3, 1)$, а также горизонтальная асимптота $y=0$.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=x^2-2x-2$. Решите графически неравенство $\frac{6(x-1)}{x^2+3}\le x^2-2x-2$.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 2x - 2$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
- Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = (1)^2 - 2(1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -3)$.
- Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2-2(0)-2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- Точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x - 2 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 12$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки $(1-\sqrt{3}, 0)$ и $(1+\sqrt{3}, 0)$.
Строим параболу на той же координатной плоскости, что и график из пункта а).

2. Решение неравенства $\frac{6(x-1)}{x^2+3} \le x^2 - 2x - 2$.
Для решения неравенства графически необходимо определить, на каких промежутках оси $x$ график функции $y_1 = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$ находится не выше (т.е. ниже или на том же уровне) графика функции $y_2 = x^2 - 2x - 2$.
Для этого найдем абсциссы точек пересечения двух графиков, решив уравнение $y_1=y_2$:
$\frac{6(x-1)}{x^2+3} = x^2 - 2x - 2$.
$6(x-1) = (x^2-2x-2)(x^2+3)$
$6x-6 = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x - 6$
$6x-6 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 6x - 6$
$x^4 - 2x^3 + x^2 - 12x = 0$
$x(x^3 - 2x^2 + x - 12) = 0$
Один корень $x_1=0$. Проверим второй корень, который мы могли заметить из анализа первой функции, $x=3$:
$3^3 - 2(3^2) + 3 - 12 = 27 - 18 - 9 = 0$. Значит $x=3$ также является корнем.
Разделив многочлен $x^3 - 2x^2 + x - 12$ на $(x-3)$, получим $x^2+x+4$.
Уравнение для точек пересечения примет вид $x(x-3)(x^2+x+4)=0$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+4$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$.
Таким образом, графики пересекаются в двух точках с абсциссами $x=0$ и $x=3$.
Анализируя взаимное расположение построенных графиков, видим, что график функции $y_1$ находится не выше графика $y_2$ при $x$, принадлежащих промежуткам от минус бесконечности до первой точки пересечения, и от второй точки пересечения до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.