Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Известно, что синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен 0,5. Это значит, что угол $\frac{\pi}{6}$ является решением уравнения $\sin x=0,5$. Существуют ли другие решения этого уравнения? Если да, то назовите несколько из них.

Да, для уравнения $\sin x = 0,5$ существует бесконечное множество других решений, помимо $x = \frac{\pi}{6}$. Это следует из свойств тригонометрической функции синус.

1. Периодичность. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что если некоторое значение $x_0$ является решением, то и все значения вида $x = x_0 + 2\pi n$ (где $n$ — любое целое число) также будут решениями. Применив это к известному решению $x = \frac{\pi}{6}$, мы получаем первую серию решений.
Например, при $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.

2. Симметрия. Из свойств функции синус известно, что $\sin(\pi - x) = \sin x$. Используя это тождество, можно найти вторую серию решений. Подставив наше известное решение $x = \frac{\pi}{6}$ в это тождество, получаем:
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Это еще одно решение. Учитывая периодичность, все значения вида $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) также являются решениями.
Например, при $k=-1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, все решения уравнения $\sin x = 0,5$ можно описать общей формулой: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Да, существуют другие решения. Например: $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$, $-\frac{11\pi}{6}$.

Упражнение 2

Известно, что если $x=0$, то $\sin x=0$. Верно ли обратное утверждение: если $\sin x=0$, то $x=0$? Ответ обоснуйте.

Исходное утверждение «если $x=0$, то $\sin x=0$» является верным, так как значение синуса при аргументе, равном нулю, действительно равно нулю.

Рассмотрим обратное утверждение: «если $\sin x=0$, то $x=0$». Чтобы определить, верно ли оно, необходимо решить тригонометрическое уравнение $\sin x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Из этой формулы следует, что $\sin x$ обращается в ноль не только при $x=0$ (что соответствует частному случаю при $n=0$), но и при бесконечном множестве других значений. Например, если взять $n=1$, то $x=\pi$. Для этого значения $\sin(\pi)=0$, однако $\pi \neq 0$. Аналогично, при $n=2$ получаем $x=2\pi$, и $\sin(2\pi)=0$, но $2\pi \neq 0$. То же самое верно для отрицательных значений $n$, например, при $n=-1$, $x=-\pi$ и $\sin(-\pi)=0$, но $-\pi \neq 0$.

Поскольку существует хотя бы один контрпример (например, $x=\pi$), при котором условие $\sin x=0$ выполняется, а заключение $x=0$ – нет, то обратное утверждение является ложным.

Ответ: Нет, обратное утверждение неверно.

Упражнение 3

Отметьте на оси $Oy$ число $\sqrt{2}$. Существует ли такой угол на тригонометрической окружности, что его синус равен $\sqrt{2}$?

Начнем с уравнения $\sin x = 0$.

Отметьте на оси Oy число √2.

Для того чтобы отметить число $ \sqrt{2} $ на оси $ Oy $, необходимо определить его положение относительно ключевых точек, в частности, относительно 1 и -1, которые являются максимальным и минимальным значениями для синуса на тригонометрической окружности.
Приблизительное значение корня из двух составляет $ \sqrt{2} \approx 1.414 $.
Тригонометрическая окружность имеет радиус, равный 1. Это означает, что на оси $ Oy $ (оси синусов) точки, относящиеся к окружности, лежат в пределах отрезка $ [-1; 1] $.
Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 $, точка, соответствующая числу $ \sqrt{2} $, будет расположена на оси $ Oy $ выше верхней точки тригонометрической окружности (точки с координатой $ y=1 $).

Ответ: Число $ \sqrt{2} $ находится на положительной части оси $ Oy $ на расстоянии примерно 1.414 единиц от начала координат, то есть выше точки $ (0, 1) $, которая является верхней точкой тригонометрической окружности.

Существует ли такой угол на тригонометрической окружности, что его синус равен √2?

По определению, синус угла $ \alpha $ на тригонометрической окружности — это ордината (координата по оси $ y $) точки пересечения конечной стороны угла с этой окружностью.
Тригонометрическая окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R=1 $. Все точки $ (x, y) $, лежащие на этой окружности, удовлетворяют уравнению $ x^2 + y^2 = 1 $.
Из этого следует, что любая координата любой точки на окружности не может по модулю превышать 1. В частности, для ординаты $ y $, которая и представляет собой синус угла, справедливо двойное неравенство: $ -1 \le y \le 1 $.
Таким образом, область значений функции синуса — это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного угла $ \alpha $ выполняется условие $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $.
Рассмотрим требуемое значение синуса, равное $ \sqrt{2} $. Мы уже установили, что $ \sqrt{2} \approx 1.414 $.
Сравнивая это значение с областью значений синуса, мы видим, что $ \sqrt{2} > 1 $.
Так как значение $ \sqrt{2} $ не входит в отрезок $ [-1; 1] $, не существует такого угла, синус которого был бы равен $ \sqrt{2} $. Горизонтальная прямая $ y=\sqrt{2} $ не пересекает тригонометрическую окружность.

Ответ: Нет, такого угла не существует, поскольку значение $ \sqrt{2} $ выходит за пределы области значений функции синус, которая представляет собой отрезок $ [-1; 1] $.