Страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

4. (3) Решите уравнения:

а)

$3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 = 0;$

б)

$3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x + 2\pi^2 = 0.$

а) $8\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\arcsin x$. Выполним замену переменной. Пусть $y = \arcsin x$. Тогда уравнение принимает вид:

$8y^2 + 5\pi y - 2\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта. В данном случае коэффициенты: $a=8$, $b=5\pi$, $c=-2\pi^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (5\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2\pi^2) = 25\pi^2 + 64\pi^2 = 89\pi^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{89\pi^2} = \pi\sqrt{89}$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5\pi \pm \pi\sqrt{89}}{2 \cdot 8} = \frac{\pi(-5 \pm \sqrt{89})}{16}$

Получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}$

$y_2 = \frac{\pi(-5 - \sqrt{89})}{16} = -\frac{\pi(5 + \sqrt{89})}{16}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену $y = \arcsin x$. Область значений функции арксинус: $E(\arcsin x) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, принадлежат ли найденные корни $y_1$ и $y_2$ этому промежутку.

Проверка для $y_1 = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}$:

Оценим значение $\sqrt{89}$. Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $9 < \sqrt{89} < 10$.

Тогда $9 - 5 < \sqrt{89} - 5 < 10 - 5$, что равносильно $4 < \sqrt{89} - 5 < 5$.

Умножим неравенство на $\frac{\pi}{16}$: $\frac{4\pi}{16} < \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16} < \frac{5\pi}{16}$, то есть $\frac{\pi}{4} < y_1 < \frac{5\pi}{16}$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{16} \le \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{5}{16} \le \frac{1}{2}$), то значение $y_1$ принадлежит области значений арксинуса. Следовательно, этот корень подходит.

$\arcsin x = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16} \implies x = \sin\left(\frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}\right)$

Проверка для $y_2 = -\frac{\pi(5 + \sqrt{89})}{16}$:

Используя оценку $9 < \sqrt{89} < 10$, имеем $5+9 < 5+\sqrt{89} < 5+10$, что равносильно $14 < 5+\sqrt{89} < 15$.

Умножим на $-\frac{\pi}{16}$, меняя знаки неравенства: $-\frac{15\pi}{16} < y_2 < -\frac{14\pi}{16}$.

Упростим правую часть: $y_2 < -\frac{7\pi}{8}$. Поскольку $-\frac{7\pi}{8} < -\frac{4\pi}{8} = -\frac{\pi}{2}$, значение $y_2$ не входит в область значений арксинуса. Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $x = \sin\left(\frac{\pi(\sqrt{89}-5)}{16}\right)$

б) $8\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x + 2\pi^2 = 0$

Как и в предыдущем пункте, сделаем замену $y = \arcsin x$. Получим квадратное уравнение:

$8y^2 + 5\pi y + 2\pi^2 = 0$

Вычислим его дискриминант $D$, где $a=8$, $b=5\pi$, $c=2\pi^2$:

$D = b^2 - 4ac = (5\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (2\pi^2) = 25\pi^2 - 64\pi^2 = -39\pi^2$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $8y^2 + 5\pi y + 2\pi^2 = 0$ не имеет действительных корней.

Так как не существует действительных значений $y$, удовлетворяющих этому уравнению, то не существует и таких значений $x$, для которых $\arcsin x = y$. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

5. (4) Решите неравенства:

а) $3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 \le 0$;

б) $3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 > 0$.

а) $3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 \le 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\arcsin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \arcsin x$.

Необходимо учесть область определения и область значений функции арксинус:

1. Область определения: $x \in [-1, 1]$.

2. Область значений: $t = \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

После замены переменной исходное неравенство принимает вид:

$3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (5\pi)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2\pi^2) = 25\pi^2 + 24\pi^2 = 49\pi^2 = (7\pi)^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5\pi - \sqrt{49\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-5\pi - 7\pi}{6} = \frac{-12\pi}{6} = -2\pi$.

$t_2 = \frac{-5\pi + \sqrt{49\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-5\pi + 7\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2$ направлены вверх, неравенство $3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 \le 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями (включая сами корни):

$-2\pi \le t \le \frac{\pi}{3}$.

Теперь необходимо учесть ограничение на $t$, связанное с областью значений арксинуса: $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Составим систему неравенств для $t$:

$\left\{ \begin{array}{l} -2\pi \le t \le \frac{\pi}{3} \\ -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \end{array} \right.$

Поскольку $-2\pi \approx -6.28$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, то $-2\pi < -\frac{\pi}{2}$. Пересечением этих двух промежутков будет отрезок $[-\frac{\pi}{2

6.

a) (2) Решите уравнение $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)=-\frac{\pi}{4} $;

б) (2) Решите неравенство $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)>-\frac{\pi}{4} $;

в) (3) Решите неравенство $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)\leq-\frac{\pi}{4} $.

а) Решим уравнение $arctg(4x^2 - 8x - 1) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$. Применив функцию тангенса к обеим частям уравнения, получим:

$tg(arctg(4x^2 - 8x - 1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$

Используя тождество $tg(arctg(y)) = y$ и значение $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$, приходим к квадратному уравнению:

$4x^2 - 8x - 1 = -1$

Упростим уравнение:

$4x^2 - 8x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $x \in \{0, 2\}$.

б) Решим неравенство $arctg(4x^2 - 8x - 1) > \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = arctg(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это значит, что неравенство $arctg(a) > arctg(b)$ равносильно неравенству $a > b$.

Представим правую часть неравенства через арктангенс: $\frac{\pi}{4} = arctg(1)$.

Неравенство принимает вид:

$arctg(4x^2 - 8x - 1) > arctg(1)$

В силу возрастания функции $arctg(t)$, это неравенство эквивалентно следующему:

$4x^2 - 8x - 1 > 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 8x - 2 > 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$2x^2 - 4x - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $2x^2 - 4x - 1 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $arctg(4x^2 - 8x - 1) \le -\frac{\pi}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство строгой монотонности (возрастания) функции $y = arctg(t)$.

Представим правую часть неравенства через арктангенс: $-\frac{\pi}{4} = arctg(-1)$.

Неравенство можно переписать в виде:

$arctg(4x^2 - 8x - 1) \le arctg(-1)$

Так как функция $arctg(t)$ возрастающая, это неравенство равносильно следующему:

$4x^2 - 8x - 1 \le -1$

Упростим его:

$4x^2 - 8x \le 0$

Разделим обе части на 4:

$x^2 - 2x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 2) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями выражения $x(x-2)$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

7. Решите уравнения;

а)(2) $18\text{arctg}^2x - 8\pi\text{arctg}x = \pi^2$;

б)(3) $18\text{arctg}^2x - 8\pi\text{arctg}x = \pi^2$.

а) $18\operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{arctg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \operatorname{arctg} x$.
Область значений функции арктангенс: $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
После замены уравнение принимает вид:
$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81\pi^2} = 9\pi$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Корень $y_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Корень $y_2 = -\frac{\pi}{6}$ также удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
Оба корня подходят. Сделаем обратную замену, чтобы найти $x$.
1) Если $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{3}$, то $x = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
2) Если $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6}$, то $x = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{arcctg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $z = \operatorname{arcctg} x$.
Область значений функции арккотангенс: $z \in (0; \pi)$.
После замены уравнение принимает вид:
$18z^2 - 3\pi z - \pi^2 = 0$
Это квадратное уравнение идентично уравнению из пункта а), поэтому его корни:
$z_1 = \frac{\pi}{3}$ и $z_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $z$ условию $z \in (0; \pi)$.
Корень $z_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \pi$.
Корень $z_2 = -\frac{\pi}{6}$ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный, а значения арккотангенса должны быть положительными. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, у нас есть только одно подходящее решение для $z$. Сделаем обратную замену.
$\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{3} \implies x = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

8. Решите неравенства:

а) (4) $18 \text{arctg}^2 x - 3\pi \text{arctg} x < \pi^2$;

б) (5) $18 \text{arctg}^2 x - 3\pi \text{arctg} x \ge \pi^2$

a) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x < \pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Из определения арккотангенса следует, что его область значений — это интервал $(0, \pi)$, поэтому для переменной $t$ должно выполняться условие $0 < t < \pi$.

После замены получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$18t^2 - 3\pi t - \pi^2 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$

Корни уравнения:

$t_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi - 9\pi}{36} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$

$t_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$

Так как ветви параболы $y = 18t^2 - 3\pi t - \pi^2$ направлены вверх, неравенство $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{3}$

Теперь учтем ограничение на $t$: $0 < t < \pi$. Объединив эти два условия в систему, получим:

$\begin{cases} -\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{3} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < t < \frac{\pi}{3}$.

Выполним обратную замену $t = \operatorname{arcctg} x$:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{3}$

Неравенство $\operatorname{arcctg} x > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $(0, \pi)$ — область значений арккотангенса. Поэтому нам нужно решить только неравенство $\operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ является строго убывающей. Применяя к обеим частям неравенства функцию $\cot(\cdot)$, которая также является убывающей на интервале $(0, \pi)$, мы должны поменять знак неравенства на противоположный:

$\cot(\operatorname{arcctg} x) > \cot(\frac{\pi}{3})$

$x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

б) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x \ge \pi^2$

Это неравенство отличается от предыдущего только знаком. Перепишем его в виде:

$18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 \ge 0$

Воспользуемся заменой $t = \operatorname{arcctg} x$ с условием $0 < t < \pi$ и результатами из пункта а). Корни квадратного трехчлена $18t^2 - 3\pi t - \pi^2$ равны $t_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le -\frac{\pi}{6}$ или $t \ge \frac{\pi}{3}$

Учтем ограничение $0 < t < \pi$:

1. Система $\begin{cases} t \le -\frac{\pi}{6} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$ не имеет решений.

2. Система $\begin{cases} t \ge \frac{\pi}{3} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$ имеет решение $\frac{\pi}{3} \le t < \pi$.

Таким образом, решением для $t$ является промежуток $\frac{\pi}{3} \le t < \pi$.

Выполним обратную замену:

$\frac{\pi}{3} \le \operatorname{arcctg} x < \pi$

Неравенство $\operatorname{arcctg} x < \pi$ выполняется для любого действительного $x$. Остается решить неравенство $\operatorname{arcctg} x \ge \frac{\pi}{3}$.

Так как функция $y = \operatorname{arcctg} x$ убывающая, при применении котангенса к обеим частям знак неравенства меняется на противоположный:

$\cot(\operatorname{arcctg} x) \le \cot(\frac{\pi}{3})$

$x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{\sqrt{3}}{3}]$.

9. Решите уравнения:

a) (1) $4\arccos x - 3\pi = 0;$

б) (1) $-6\arcsin 7x - \pi = 0;$

в) (1) $4\operatorname{arctg} \frac{x}{2} + \pi = 0;$

г) (1) $4\operatorname{arctg} \frac{x}{2} + 3\pi = 0.$

а) Дано уравнение $4\arccos x - 3\pi = 0$. Для его решения необходимо сначала выразить $\arccos x$.
Переносим $-3\pi$ в правую часть уравнения:
$4\arccos x = 3\pi$
Делим обе части уравнения на 4:
$\arccos x = \frac{3\pi}{4}$
Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Проверим, принадлежит ли значение $\frac{3\pi}{4}$ этому отрезку. Так как $0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$, значение принадлежит области значений, следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арккосинуса, если $\arccos x = a$, то $x = \cos a$. Применяем это правило:
$x = \cos(\frac{3\pi}{4})$
Вычисляем значение косинуса:
$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Данное значение $x$ удовлетворяет области определения функции $\arccos x$, которая является отрезком $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Дано уравнение $-6\arcsin 7x - \pi = 0$. Выразим $\arcsin 7x$.
Переносим $-\pi$ в правую часть:
$-6\arcsin 7x = \pi$
Делим обе части на -6:
$\arcsin 7x = -\frac{\pi}{6}$
Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арксинуса, если $\arcsin y = a$, то $y = \sin a$. В нашем случае $y = 7x$:
$7x = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Вычисляем значение синуса:
$7x = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Находим $x$:
$x = -\frac{1}{14}$
Аргумент арксинуса $7x = -\frac{1}{2}$ принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -\frac{1}{14}$.

в) Дано уравнение $4\arctan \frac{x}{2} + \pi = 0$. Выразим $\arctan \frac{x}{2}$.
Переносим $\pi$ в правую часть:
$4\arctan \frac{x}{2} = -\pi$
Делим обе части на 4:
$\arctan \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4}$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арктангенса, если $\arctan y = a$, то $y = \tan a$. В нашем случае $y = \frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \tan(-\frac{\pi}{4})$
Вычисляем значение тангенса:
$\frac{x}{2} = -1$
Находим $x$:
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

г) Дано уравнение $4\arctan \frac{x}{2} + 3\pi = 0$. Выразим $\arctan \frac{x}{2}$.
Переносим $3\pi$ в правую часть:
$4\arctan \frac{x}{2} = -3\pi$
Делим обе части на 4:
$\arctan \frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{4}$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Сравним полученное значение $-\frac{3\pi}{4}$ с границами этого интервала.
Так как $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$, а $-\frac{\pi}{2} \approx -1.571$, то $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$.
Это означает, что значение $-\frac{3\pi}{4}$ не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

10. Решите неравенства:

а) (2) $4\arccos x-3\pi<0$, $4\arccos x-3\pi>0;

б) (2) $-6\arcsin 7x-\pi\ge0$, $-6\arcsin 7x-\pi\le0;

в) (2) $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+\pi<0$, $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+\pi>0;

г) (3) $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+3\pi\le0$, $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+3\pi>0.

а)

Для неравенства $4\arccos x - 3\pi < 0$:

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\arccos x$ — это $x \in [-1, 1]$. Область значений функции — $[0, \pi]$.

Преобразуем неравенство: $4\arccos x < 3\pi \implies \arccos x < \frac{3\pi}{4}$.

С учетом области значений получаем двойное неравенство: $0 \le \arccos x < \frac{3\pi}{4}$.

Функция $y=\cos t$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$, поэтому при применении ее к неравенству знаки меняются на противоположные:

$\cos(0) \ge \cos(\arccos x) > \cos(\frac{3\pi}{4})$

Отсюда получаем $1 \ge x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Данное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Для неравенства $4\arccos x - 3\pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arccos x > 3\pi \implies \arccos x > \frac{3\pi}{4}$.

С учетом области значений $[0, \pi]$ получаем $\frac{3\pi}{4} < \arccos x \le \pi$.

Применяем убывающую функцию $y=\cos t$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) > \cos(\arccos x) \ge \cos(\pi)$

Отсюда получаем $-\frac{\sqrt{2}}{2} > x \ge -1$. Данное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

б)

Для неравенства $-6\arcsin(7x) - \pi \ge 0$:

ОДЗ для $\arcsin(7x)$ определяется условием $-1 \le 7x \le 1$, то есть $x \in [-\frac{1}{7}, \frac{1}{7}]$. Область значений функции: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Преобразуем неравенство: $-6\arcsin(7x) \ge \pi \implies \arcsin(7x) \le -\frac{\pi}{6}$ (знак неравенства изменился при делении на отрицательное число).

С учетом области значений получаем двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(7x) \le -\frac{\pi}{6}$.

Функция $y=\sin t$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому знаки неравенства сохраняются:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(7x)) \le \sin(-\frac{\pi}{6})$

Получаем $-1 \le 7x \le -\frac{1}{2}$, откуда $-\frac{1}{7} \le x \le -\frac{1}{14}$. Решение входит в ОДЗ.

Ответ: $[-\frac{1}{7}, -\frac{1}{14}]$.

Для неравенства $-6\arcsin(7x) - \pi \le 0$:

Преобразуем неравенство: $-6\arcsin(7x) \le \pi \implies \arcsin(7x) \ge -\frac{\pi}{6}$.

С учетом области значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ получаем $-\frac{\pi}{6} \le \arcsin(7x) \le \frac{\pi}{2}$.

Применяем возрастающую функцию $y=\sin t$:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) \le \sin(\arcsin(7x)) \le \sin(\frac{\pi}{2})$

Получаем $-\frac{1}{2} \le 7x \le 1$, откуда $-\frac{1}{14} \le x \le \frac{1}{7}$. Решение входит в ОДЗ.

Ответ: $[-\frac{1}{14}, \frac{1}{7}]$.

в)

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + \pi < 0$:

ОДЗ: $x \in (-\infty, \infty)$. Область значений функции $\arctan$ — это $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) < -\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) < -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области значений получаем $-\frac{\pi}{2} < \arctan(\frac{x}{2}) < -\frac{\pi}{4}$.

Функция $y=\tan t$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применяем ее к неравенству:

$\tan(-\frac{\pi}{2}) < \tan(\arctan(\frac{x}{2})) < \tan(-\frac{\pi}{4})$

Учитывая, что $\lim_{t \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan t = -\infty$, получаем $-\infty < \frac{x}{2} < -1$, откуда $x < -2$.

Ответ: $(-\infty, -2)$.

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + \pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) > -\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области значений $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ получаем $-\frac{\pi}{4} < \arctan(\frac{x}{2}) < \frac{\pi}{2}$.

Применяем возрастающую функцию $y=\tan t$:

$\tan(-\frac{\pi}{4}) < \tan(\arctan(\frac{x}{2})) < \tan(\frac{\pi}{2})$

Учитывая, что $\lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} \tan t = +\infty$, получаем $-1 < \frac{x}{2} < \infty$, откуда $x > -2$.

Ответ: $(-2, \infty)$.

г)

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + 3\pi \le 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) \le -3\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) \le -\frac{3\pi}{4}$.

Область значений функции $\arctan$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Так как $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$, а любое значение $\arctan(\frac{x}{2})$ строго больше $-\frac{\pi}{2}$, то условие $\arctan(\frac{x}{2}) \le -\frac{3\pi}{4}$ никогда не выполняется.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + 3\pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) > -3\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{3\pi}{4}$.

Так как область значений $\arctan(\frac{x}{2})$ — это $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и для любого значения $y$ из этого интервала выполняется $y > -\frac{\pi}{2}$, а $-\frac{\pi}{2} > -\frac{3\pi}{4}$, то неравенство $\arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{3\pi}{4}$ верно всегда.

Поскольку ОДЗ для $x$ — все действительные числа, неравенство справедливо для любого $x$.

Ответ: $(-\infty, \infty)$.

11. а) (1) Решите уравнение $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) = \frac{\pi}{6}$;

б) (2) Решите неравенство $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) \leq \frac{\pi}{6}$;

в) (3) Решите неравенство $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) \geq \frac{\pi}{6}$.

а) (1)

Дано уравнение $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, это уравнение равносильно тому, что аргумент арксинуса равен синусу значения, которому он равен:

$2.5x^2 - 4x + 0.5 = \sin(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $0.5$. Подставляем это значение в уравнение:

$2.5x^2 - 4x + 0.5 = 0.5$

Вычитаем $0.5$ из обеих частей уравнения:

$2.5x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2.5x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $2.5x - 4 = 0 \implies 2.5x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{2.5} = \frac{4}{5/2} = \frac{8}{5} = 1.6$

Аргумент функции арксинус в данном случае равен $0.5$, что находится в пределах области определения функции $arcsin(y)$, которая равна $[-1, 1]$. Следовательно, найденные значения $x$ являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 1.6$.

б) (2)

Решим неравенство $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) \le \frac{\pi}{6}$.

Функция $y = \arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения $t \in [-1, 1]$. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств, учитывающей область определения:

$-1 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le \sin(\frac{\pi}{6})$

Подставим известное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$:

$-1 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 0.5$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

1) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \ge -1$

2) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 0.5$

Решим первое неравенство:

$2.5x^2 - 4x + 1.5 \ge 0$

Умножим обе части на 2 для удобства: $5x^2 - 8x + 3 \ge 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $5x^2 - 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0.6$ и $x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Парабола $y = 5x^2 - 8x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 8x + 3 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, 0.6] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$2.5x^2 - 4x \le 0$

Найдём корни уравнения $x(2.5x - 4) = 0$. Корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 1.6$.

Парабола $y = 2.5x^2 - 4x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2.5x^2 - 4x \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [0, 1.6]$.

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0.6] \cup [1, \infty)) \cap [0, 1.6]$.

Графически это можно представить как пересечение двух множеств на числовой прямой, что даёт нам объединение двух интервалов: $[0, 0.6] \cup [1, 1.6]$.

Ответ: $[0; 0.6] \cup [1; 1.6]$.

в) (3)

Решим неравенство $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) \ge \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = \arcsin(t)$ монотонно возрастает, данное неравенство с учётом области определения $t \in [-1, 1]$ равносильно системе:

$\sin(\frac{\pi}{6}) \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Подставим значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$:

$0.5 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Разобьём это на систему из двух неравенств:

1) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \ge 0.5$

2) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Решим первое неравенство:

$2.5x^2 - 4x \ge 0$

Корни уравнения $2.5x^2 - 4x = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1.6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1.6, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$2.5x^2 - 4x - 0.5 \le 0$

Умножим на 2: $5x^2 - 8x - 1 \le 0$.

Найдём корни уравнения $5x^2 - 8x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 64 + 20 = 84$.

Корни: $x_3 = \frac{8 - \sqrt{84}}{10} = \frac{8 - 2\sqrt{21}}{10} = \frac{4 - \sqrt{21}}{5}$ и $x_4 = \frac{8 + \sqrt{84}}{10} = \frac{4 + \sqrt{21}}{5}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0] \cup [1.6, \infty)) \cap [\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Для определения интервалов сравним значения. $4 < \sqrt{21} < 5$, поэтому $\frac{4 - \sqrt{21}}{5}$ это отрицательное число (примерно $-0.12$), а $\frac{4 + \sqrt{21}}{5}$ больше $1.6$ (примерно $1.72$).

Пересечение даёт два интервала:

1. $(-\infty, 0]$ с $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$ даёт $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, 0]$.

2. $[1.6, \infty)$ с $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$ даёт $[1.6, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}; 0] \cup [1.6; \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.