Страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Докажите теорему 2 по аналогии с доказательством теоремы 1.

ТЕОРЕМА 1.

Для любого числа $a \in [-1;1]$ выполняется равенство

$arcsin \, a + arccos \, a = \frac{\pi}{2}$

Доказательство. Рассмотрим сначала случай $a \in (0;1)$. Пусть $ABC$ – прямоугольный треугольник, $\angle B = 90^\circ$, $AB = a$, $AC = 1$. Тогда

$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{1} = a$, $\angle C = arcsin \, a$. Аналогично, $\angle A = arccos \, a$.

Следовательно, $arcsin \, a + arccos \, a = \angle A + \angle C = \pi - \angle B = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Пусть теперь $a \in (-1;0)$. Так как $a < 0$, то $-a > 0$, и для положительного числа $-a$ только что доказано, что $arcsin(-a) + arccos(-a) = \frac{\pi}{2}$.

С другой стороны, по формулам упражнения 1 имеем $arcsin(-a) + arccos(-a) = -arcsin \, a + \pi - arccos \, a = \pi - (arcsin \, a + arccos \, a)$.

Отсюда следует, что $\pi - (arcsin \, a + arccos \, a) = \frac{\pi}{2}$, то есть $arcsin \, a + arccos \, a = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, теорема 1 доказана для всех значений $a \in (-1;0) \cup (0;1)$. Оставшиеся частные случаи $a = -1, 0, 1$ тривиальны. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2.

Для любого числа $a$ выполняется равенство $arctg \, a + arcctg \, a = \frac{\pi}{2}$.

Докажем теорему 2, согласно которой для любого числа $a$ выполняется равенство $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \frac{\pi}{2}$. Доказательство будет построено по аналогии с доказательством теоремы 1, путем рассмотрения трех случаев.

1. Случай, когда $a > 0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = \frac{\pi}{2}$). Пусть длины катетов этого треугольника равны $AC = 1$ и $BC = a$.

Исходя из определений тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, мы можем записать:

$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{1} = a$

$\operatorname{ctg} B = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{1} = a$

Так как по условию $a > 0$, углы $A$ и $B$ являются острыми. Это позволяет нам выразить их через обратные тригонометрические функции:

$\angle A = \operatorname{arctg} a$

$\angle B = \operatorname{arcctg} a$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $\frac{\pi}{2}$, то есть $\angle A + \angle B = \frac{\pi}{2}$.

Подставив в это равенство полученные выражения для углов $A$ и $B$, мы приходим к доказываемому тождеству для случая $a > 0$:

$\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \frac{\pi}{2}$

2. Случай, когда $a < 0$

Пусть $a$ — отрицательное число. В таком случае число $-a$ будет положительным ($-a > 0$). Для положительного числа $-a$ справедливость тождества уже была доказана в предыдущем пункте:

$\operatorname{arctg}(-a) + \operatorname{arcctg}(-a) = \frac{\pi}{2}$

Теперь воспользуемся известными формулами для обратных тригонометрических функций от отрицательного аргумента, которые аналогичны тем, что используются в доказательстве теоремы 1:

$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$

$\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg} a$

Подставим эти соотношения в равенство для $-a$:

$(-\operatorname{arctg} a) + (\pi - \operatorname{arcctg} a) = \frac{\pi}{2}$

Преобразуем полученное выражение:

$\pi - (\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a) = \frac{\pi}{2}$

Из этого уравнения выразим искомую сумму:

$\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Таким образом, тождество доказано и для случая $a < 0$.

3. Случай, когда $a = 0$

Этот частный случай является тривиальным и проверяется прямой подстановкой значений:

$\operatorname{arctg}(0) = 0$

$\operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$

Складывая эти значения, получаем:

$\operatorname{arctg}(0) + \operatorname{arcctg}(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Равенство выполняется.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи ($a > 0$, $a < 0$ и $a = 0$), теорема доказана для любого действительного числа $a$.

Ответ: Теорема доказана.

Берик представляет число 1 в виде суммы двух не обязательно положительных слагаемых. Серик возводит первое из слагаемых в квадрат и умножает на 3, второе также возводит в квадрат и умножает на 6, а затем складывает результаты умножений. На какие слагаемые должен разбить Берик число 1, чтобы у Серика получился наименьший результат из возможных?

Пусть даны положительные числа $a$ и $b$. Найдите наименьшее значение выражения $ax^2+b(1-x)^2$, если $x \in (-\infty + \infty)$.

а)

Пусть Берик представляет число 1 в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. По условию, $x+y=1$. Отсюда можно выразить одно слагаемое через другое: $y=1-x$.

Серик вычисляет значение выражения $S = 3x^2 + 6y^2$. Нам нужно найти $x$ и $y$, при которых значение $S$ будет наименьшим.

Подставим выражение для $y$ в формулу для $S$:

$S(x) = 3x^2 + 6(1-x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратичную функцию от $x$:

$S(x) = 3x^2 + 6(1 - 2x + x^2) = 3x^2 + 6 - 12x + 6x^2 = 9x^2 - 12x + 6$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = 9x^2 - 12x + 6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 9) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $f(x) = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=9$ и $b=-12$. Найдем значение $x$, при котором $S$ минимально:

$x = -\frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Это первое слагаемое. Теперь найдем второе слагаемое $y$:

$y = 1-x = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Таким образом, для получения наименьшего результата у Серика, Берик должен разбить число 1 на слагаемые $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Ответ: слагаемые должны быть равны $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

б)

Нам нужно найти наименьшее значение выражения $E(x) = ax^2 + b(1-x)^2$, где $a > 0$, $b > 0$, и $x \in (-\infty, +\infty)$.

Это задача на нахождение минимума функции. Преобразуем выражение, раскрыв скобки:

$E(x) = ax^2 + b(1 - 2x + x^2) = ax^2 + b - 2bx + bx^2$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$:

$E(x) = (a+b)x^2 - 2bx + b$

Это квадратичная функция от $x$. Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, то коэффициент при $x^2$, равный $(a+b)$, также положителен. Следовательно, график функции $E(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Абсцисса вершины параболы $f(x) = Ax^2+Bx+C$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = a+b$, $B = -2b$. Найдем значение $x$, в котором достигается минимум:

$x_{min} = -\frac{-2b}{2(a+b)} = \frac{2b}{2(a+b)} = \frac{b}{a+b}$

Чтобы найти наименьшее значение выражения, подставим найденное значение $x_{min}$ в исходную функцию $E(x)$:

$E_{min} = a\left(\frac{b}{a+b}\right)^2 + b\left(1 - \frac{b}{a+b}\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{b}{a+b} = \frac{a+b-b}{a+b} = \frac{a}{a+b}$

Подставим обратно в формулу для $E_{min}$:

$E_{min} = a\left(\frac{b^2}{(a+b)^2}\right) + b\left(\frac{a^2}{(a+b)^2}\right) = \frac{ab^2}{(a+b)^2} + \frac{a^2b}{(a+b)^2}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$E_{min} = \frac{ab^2 + a^2b}{(a+b)^2}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе:

$E_{min} = \frac{ab(b+a)}{(a+b)^2}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$E_{min} = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: наименьшее значение выражения равно $\frac{ab}{a+b}$.

15. (3) Мастерская шьет детские костюмы. Себестоимость каждого костюма составляет 20 у.е. Известно, что если костюмы продаются по цене $p$ у.е., то покупатели приобретают $1560-12p$ костюмов в месяц. Какое количество костюмов в месяц необходимо производить, чтобы прибыль мастерской оказалась максимальной?

Для решения задачи необходимо найти максимальное значение функции прибыли. Прибыль — это разница между общей выручкой и общими затратами.

Пусть $p$ — цена продажи одного костюма в условных единицах (у.е.). Себестоимость одного костюма составляет 20 у.е. Прибыль от продажи одного костюма равна $p - 20$.

Количество костюмов, которое покупатели приобретают в месяц по цене $p$, задается формулой $q(p) = 1560 - 12p$. Предполагаем, что мастерская производит ровно столько костюмов, сколько может продать, то есть количество произведенных костюмов равно $q$.

Общая прибыль за месяц, обозначим ее как $\Pi$, является функцией от цены $p$. Она вычисляется как произведение прибыли с одного костюма на количество проданных костюмов: $\Pi(p) = (p - 20) \cdot (1560 - 12p)$.

Раскроем скобки, чтобы получить явный вид квадратичной функции: $\Pi(p) = 1560p - 12p^2 - 20 \cdot 1560 + 20 \cdot 12p$ $\Pi(p) = 1560p - 12p^2 - 31200 + 240p$ $\Pi(p) = -12p^2 + 1800p - 31200$

Полученная функция прибыли $\Pi(p)$ является квадратичной параболой. Коэффициент при $p^2$ отрицателен ($a = -12 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем цену $p_0$, при которой достигается максимум, используя формулу для координаты вершины параболы $p_0 = -\frac{b}{2a}$: $p_0 = -\frac{1800}{2 \cdot (-12)} = -\frac{1800}{-24} = 75$.

Итак, максимальная прибыль будет получена, если установить цену на костюм в размере 75 у.е.

В задаче требуется найти не цену, а количество костюмов, которое необходимо производить для получения максимальной прибыли. Для этого подставим найденную оптимальную цену $p = 75$ в формулу спроса: $q = 1560 - 12p = 1560 - 12 \cdot 75 = 1560 - 900 = 660$.

Таким образом, чтобы прибыль мастерской была максимальной, необходимо производить 660 костюмов в месяц.

Ответ: 660.

16. (3) а) Дан прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6. Прямоугольник вписан в треугольник таким образом, что одна его вершина лежит на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а две оставшиеся вершины лежат по одной на каждом катете. Определите наибольшую площадь, которую может иметь такой прямоугольник.

(3) б) Решите задачу пункта а) для произвольного прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$.

(2) в) Используя результаты пункта б), решить аналогичную задачу для треугольника с катетами $\sqrt{13-3}$ и $\sqrt{13+3}$.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a=8$ и $b=6$. Поместим его в систему координат так, чтобы вершина прямого угла совпадала с началом координат $(0,0)$, а катеты лежали на осях. Тогда вершины треугольника будут в точках $(0,0)$, $(8,0)$ и $(0,6)$.

Прямоугольник, вписанный в треугольник по условию, имеет одну вершину в точке $(0,0)$. Пусть противоположная ей вершина, лежащая на гипотенузе, имеет координаты $(x, y)$. Тогда стороны прямоугольника будут равны $x$ и $y$, а его площадь $S = xy$.

Вершина $(x, y)$ лежит на гипотенузе. Уравнение прямой, проходящей через точки $(8,0)$ и $(0,6)$ (гипотенуза), имеет вид: $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$.

Выразим $y$ из этого уравнения: $\frac{y}{6} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = 6(1 - \frac{x}{8}) = 6 - \frac{3}{4}x$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию от $x$: $S(x) = x \cdot y = x(6 - \frac{3}{4}x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Максимальное значение функции достигается в ее вершине. Координата $x$ вершины параболы $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -\frac{3}{4}$ и $B = 6$. $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = -\frac{6}{-\frac{3}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$.

При $x=4$ вторая сторона прямоугольника равна $y = 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 = 6 - 3 = 3$.

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника равна $S_{max} = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

б)

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Аналогично пункту а), поместим его в систему координат с вершинами в точках $(0,0)$, $(a,0)$ и $(0,b)$.

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны $x$ и $y$. Уравнение гипотенузы, проходящей через точки $(a,0)$ и $(0,b)$, имеет вид: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Выразим $y$ через $x$: $y = b(1 - \frac{x}{a})$.

Площадь прямоугольника $S$ как функция от $x$: $S(x) = xy = x \cdot b(1 - \frac{x}{a}) = bx - \frac{b}{a}x^2$.

Для нахождения максимума этой квадратичной функции найдем координату $x$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{b}{2(-\frac{b}{a})} = \frac{a}{2}$.

Найдем соответствующее значение $y_0$: $y_0 = b(1 - \frac{x_0}{a}) = b(1 - \frac{a/2}{a}) = b(1 - \frac{1}{2}) = \frac{b}{2}$.

Следовательно, наибольшая площадь, которую может иметь такой прямоугольник, равна: $S_{max} = x_0 \cdot y_0 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$.

Ответ: $\frac{ab}{4}$

в)

Используем результат, полученный в пункте б). Для треугольника с катетами $a$ и $b$ наибольшая площадь вписанного прямоугольника равна $S_{max} = \frac{ab}{4}$.

В данной задаче катеты равны $a = \sqrt{13}-3$ и $b = \sqrt{13}+3$.

Найдем их произведение $ab$: $ab = (\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $ab = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$.

Теперь подставим это значение в формулу для максимальной площади: $S_{max} = \frac{ab}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1

17. (3)

Рассматриваются прямоугольники, две вершины которых лежат на оси $x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, а две другие – на графике функции $y=\sin 4x$, заданной на отрезке $x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. Среди всех таких прямоугольников найдите стороны того, который имеет наибольший периметр.

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $(x_1, 0)$, $(x_2, 0)$, $(x_2, y)$ и $(x_1, y)$, где $x_1, x_2 \in [0; \frac{\pi}{4}]$ и $y > 0$. Две верхние вершины лежат на графике функции $y = \sin(4x)$, поэтому их ордината $y$ должна удовлетворять условиям $y = \sin(4x_1)$ и $y = \sin(4x_2)$.

Так как на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$ аргумент функции синуса $4x$ пробегает значения от $0$ до $\pi$, то $\sin(4x) \ge 0$. Условие $\sin(4x_1) = \sin(4x_2)$ при $x_1 \neq x_2$ на этом отрезке означает, что точки $4x_1$ и $4x_2$ симметричны относительно $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $4x_1 + 4x_2 = \pi$, откуда $x_2 = \frac{\pi}{4} - x_1$. Будем считать, что $x_1 < x_2$, что означает $x_1 < \frac{\pi}{4} - x_1$, или $2x_1 < \frac{\pi}{4}$, то есть $x_1 < \frac{\pi}{8}$. Таким образом, $x_1$ может принимать значения из отрезка $[0; \frac{\pi}{8}]$.

Обозначим $x_1$ через $x$ для удобства. Тогда $x \in [0; \frac{\pi}{8}]$.

Стороны прямоугольника:

Высота $h$ равна ординате верхних вершин: $h = y = \sin(4x)$.

Ширина $w$ равна разности абсцисс: $w = x_2 - x_1 = (\frac{\pi}{4} - x) - x = \frac{\pi}{4} - 2x$.

Периметр прямоугольника $P$ является функцией от $x$:
$P(x) = 2(w + h) = 2 \left( \frac{\pi}{4} - 2x + \sin(4x) \right)$.

Нам необходимо найти максимальное значение функции $P(x)$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{8}]$. Для этого найдем производную функции $P(x)$ по $x$:

$P'(x) = 2 \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - 2x + \sin(4x) \right) = 2(-2 + 4\cos(4x)) = 8\cos(4x) - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8\cos(4x) - 4 = 0$

$\cos(4x) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Поскольку $x \in [0; \frac{\pi}{8}]$, то $4x \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Единственное решение уравнения $\cos(t) = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ — это $t = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $4x = \frac{\pi}{3}$, откуда $x = \frac{\pi}{12}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{8}]$, так как $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{8}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$P''(x) = (8\cos(4x) - 4)' = -8\sin(4x) \cdot 4 = -32\sin(4x)$.

При $x = \frac{\pi}{12}$ значение второй производной:

$P''\left(\frac{\pi}{12}\right) = -32\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -16\sqrt{3} < 0$.

Так как вторая производная отрицательна, точка $x = \frac{\pi}{12}$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале $(0; \frac{\pi}{8})$, то в ней достигается наибольшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{8}]$.

Теперь найдем стороны прямоугольника при $x = \frac{\pi}{12}$:

Ширина: $w = \frac{\pi}{4} - 2x = \frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Высота: $h = \sin(4x) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны $\frac{\pi}{12}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

18. (4) a) В двух различных сосудах находятся растворы соли, причем в первом находится 10 кг, а во втором 15 кг. При испарении воды содержание соли в первом сосуде увеличилось в $p$ раз, а во втором в $q$ раз. Известно, что $pq=6$. Какая наименьшая суммарная масса растворов могла остаться в обоих сосудах?

(4) б) решить задачу пункта а) при условии, что в первом сосуде находится первоначально $m_1$ кг, во втором $m_2$ кг, $pq=c$, где $m_1$, $m_2$ и $c$ – данные положительные числа, $y=x^2$.

а)Обозначим начальные массы растворов в первом и втором сосудах как $m_{1и} = 10$ кг и $m_{2и} = 15$ кг соответственно. Пусть $s_1$ и $s_2$ — это массы соли в каждом сосуде, которые остаются неизменными в процессе испарения. Начальная концентрация в первом сосуде равна $C_{1и} = s_1/m_{1и}$, а во втором $C_{2и} = s_2/m_{2и}$.
После испарения воды конечные массы растворов стали $m_{1к}$ и $m_{2к}$, а конечные концентрации — $C_{1к} = s_1/m_{1к}$ и $C_{2к} = s_2/m_{2к}$.
По условию задачи, $C_{1к} = p \cdot C_{1и}$ и $C_{2к} = q \cdot C_{2и}$. Отсюда мы можем выразить конечные массы через начальные:
$s_1/m_{1к} = p \cdot (s_1/m_{1и}) \implies m_{1к} = m_{1и}/p = 10/p$.
$s_2/m_{2к} = q \cdot (s_2/m_{2и}) \implies m_{2к} = m_{2и}/q = 15/q$.
Суммарная масса растворов после испарения составляет $M = m_{1к} + m_{2к} = 10/p + 15/q$.
Нам дано, что $pq=6$, откуда можно выразить $q = 6/p$. Подставим это в формулу для суммарной массы:
$M(p) = 10/p + 15/(6/p) = 10/p + 15p/6 = 10/p + 2.5p$.
Поскольку концентрация увеличилась, то $p > 1$ и $q > 1$. Из $q=6/p > 1$ следует, что $p < 6$. Таким образом, мы ищем наименьшее значение функции $M(p)$ на интервале $p \in (1, 6)$.
Для нахождения минимума функции найдем ее производную по $p$:
$M'(p) = (10/p + 2.5p)' = -10/p^2 + 2.5$.
Приравняем производную к нулю: $-10/p^2 + 2.5 = 0 \implies 2.5 = 10/p^2 \implies p^2 = 10/2.5 = 4$.
Так как $p>1$, то $p=2$. Это значение попадает в наш интервал $(1, 6)$.
Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную: $M''(p) = (-10p^{-2})' = 20p^{-3} = 20/p^3$. При $p=2$, $M''(2) = 20/8 > 0$, что подтверждает, что при $p=2$ функция достигает своего минимума.
Вычислим это минимальное значение:
$M_{min} = M(2) = 10/2 + 2.5 \cdot 2 = 5 + 5 = 10$ кг.
Ответ: 10 кг.

б)Эта задача является обобщением пункта а). Пусть начальные массы равны $m_1$ и $m_2$, и известно, что $pq=c$.
Аналогично предыдущему пункту, конечные массы растворов равны $m_{1к} = m_1/p$ и $m_{2к} = m_2/q$.
Суммарная конечная масса $M = m_1/p + m_2/q$. Используя соотношение $q=c/p$, получаем функцию суммарной массы от одной переменной $p$:
$M(p) = m_1/p + m_2/(c/p) = m_1/p + \frac{m_2}{c}p$.
Из условия, что концентрации увеличиваются, следует $p \ge 1$ и $q \ge 1$. Из $q = c/p \ge 1$ получаем $p \le c$. Таким образом, необходимо найти наименьшее значение функции $M(p)$ на отрезке $[1, c]$.
Найдем производную функции $M(p)$:
$M'(p) = -m_1/p^2 + m_2/c$.
Приравняв производную к нулю, найдем стационарную точку: $m_2/c = m_1/p^2 \implies p^2 = \frac{m_1 c}{m_2} \implies p_0 = \sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}}$.
Вторая производная $M''(p) = 2m_1/p^3$ положительна для $p>0$ (так как $m_1, c > 0$), следовательно, $p_0$ является точкой минимума функции $M(p)$ на всей области определения $p>0$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[1, c]$ зависит от того, где находится точка $p_0$ по отношению к этому отрезку. Рассмотрим три случая:
1. Точка минимума $p_0$ находится на отрезке $[1, c]$, то есть $1 \le \sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} \le c$. Это условие эквивалентно $\frac{m_2}{c} \le m_1 \le m_2 c$. В этом случае наименьшее значение функции на отрезке совпадает с ее значением в точке минимума:
$M_{min} = M(p_0) = m_1/\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} + \frac{m_2}{c}\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}} + \sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}} = 2\sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}}$.
2. Точка минимума $p_0$ находится левее отрезка $[1, c]$, то есть $\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} < 1$, что эквивалентно $m_1 < \frac{m_2}{c}$. В этом случае функция $M(p)$ возрастает на всем отрезке $[1, c]$, и ее наименьшее значение достигается на левой границе, при $p=1$.
$M_{min} = M(1) = m_1/1 + m_2/c = m_1 + m_2/c$.
3. Точка минимума $p_0$ находится правее отрезка $[1, c]$, то есть $\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} > c$, что эквивалентно $m_1 > m_2 c$. В этом случае функция $M(p)$ убывает на всем отрезке $[1, c]$, и ее наименьшее значение достигается на правой границе, при $p=c$.
$M_{min} = M(c) = m_1/c + \frac{m_2}{c} \cdot c = m_1/c + m_2$.
Ответ: Наименьшая суммарная масса растворов равна:
$2\sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}}$, если $\frac{m_2}{c} \le m_1 \le m_2 c$;
$m_1 + \frac{m_2}{c}$, если $m_1 < \frac{m_2}{c}$;
$\frac{m_1}{c} + m_2$, если $m_1 > m_2 c$.

19. (4) В фигуру, ограниченную линиями $y=x^2$, $y=2x^2$, $x=6$ вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой $x=6$, а две другие - на параболах $y=x^2$, $y=2x^2$. Найдите эту площадь.

Пусть параллелограмм имеет вершины A, B, C и D. По условию, две вершины лежат на прямой $x=6$, а две другие — на параболах $y=x^2$ и $y=2x^2$.

Пусть сторона параллелограмма, соединяющая вершины на прямой $x=6$, является вертикальным отрезком. Тогда противоположная ей сторона, соединяющая вершины на параболах, также должна быть вертикальным отрезком. Это означает, что эти две вершины должны иметь одинаковую абсциссу, обозначим ее за $x$.

Пусть вершина A лежит на параболе $y=x^2$, тогда ее координаты $A(x, x^2)$.
Пусть вершина B лежит на параболе $y=2x^2$, тогда ее координаты $B(x, 2x^2)$.

Очевидно, что для нахождения внутри заданной фигуры, абсцисса $x$ должна удовлетворять условию $0 < x < 6$.

Две другие вершины C и D лежат на прямой $x=6$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем сторону, соединяющую вершины на параболах. Длина этого основания равна разности их ординат:
$a = |2x^2 - x^2| = x^2$.

Высотой параллелограмма будет перпендикулярное расстояние между сторонами, то есть расстояние между прямыми $x' = x$ и $x' = 6$.
$h = 6 - x$.

Таким образом, площадь параллелограмма является функцией от $x$:
$S(x) = a \cdot h = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$.

Чтобы найти наибольшую площадь, нужно найти максимум функции $S(x)$ на интервале $(0, 6)$. Для этого найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.

$S'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$:
$12x - 3x^2 = 0$
$3x(4 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Точка $x=0$ не входит в наш интервал $(0, 6)$ и при ней площадь равна нулю. Точка $x=4$ принадлежит интервалу. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x$.

Подставим значение $x=4$ во вторую производную:
$S''(4) = 12 - 6 \cdot 4 = 12 - 24 = -12$.

Поскольку $S''(4) < 0$, точка $x=4$ является точкой максимума.

Теперь найдем наибольшую площадь, подставив $x=4$ в функцию площади $S(x)$:
$S(4) = 4^2 \cdot (6 - 4) = 16 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32.

20. (6)

Требуется построить несколько одинаковых домов общей жилой площадью 40 000 м². Затраты на постройку одного дома общей жилой площадью S складываются из стоимости фундамента, пропорциональной $ \sqrt{S} $, и стоимости наземной части, пропорциональной $ S\sqrt{S} $. При строительстве дома жилой площадью 400 м² 80% затрат идет на фундамент. Сколько надо построить домов, чтобы затраты были наименьшими?

Пусть $n$ — количество строящихся домов, а $S$ — жилая площадь одного дома. Общая жилая площадь составляет $40000$ м², поэтому площадь одного дома равна $S = \frac{40000}{n}$.

Затраты на постройку одного дома $C(S)$ складываются из стоимости фундамента, пропорциональной $\sqrt{S}$, и стоимости наземной части, пропорциональной $S\sqrt{S}$. Введем коэффициенты пропорциональности $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$:
$C(S) = k_1\sqrt{S} + k_2 S\sqrt{S}$.

По условию, при строительстве дома с $S = 400$ м², затраты на фундамент составляют 80% от общих затрат на дом. Запишем это в виде уравнения:
$k_1\sqrt{400} = 0.8 \cdot (k_1\sqrt{400} + k_2 \cdot 400\sqrt{400})$
$k_1 \cdot 20 = 0.8 \cdot (k_1 \cdot 20 + k_2 \cdot 400 \cdot 20)$
$20k_1 = 0.8 \cdot (20k_1 + 8000k_2)$
$20k_1 = 16k_1 + 6400k_2$
$4k_1 = 6400k_2$
$k_1 = 1600k_2$.
Это соотношение между коэффициентами затрат.

Общие затраты на постройку всех $n$ домов $C_{общ}(n)$ равны произведению количества домов на стоимость одного дома:
$C_{общ}(n) = n \cdot C(S) = n \cdot (k_1\sqrt{S} + k_2 S\sqrt{S})$.
Подставим в эту формулу $S = \frac{40000}{n}$:
$C_{общ}(n) = n \cdot \left(k_1\sqrt{\frac{40000}{n}} + k_2 \frac{40000}{n}\sqrt{\frac{40000}{n}}\right)$
$C_{общ}(n) = n \cdot \left(k_1\frac{200}{\sqrt{n}} + k_2 \frac{40000}{n}\frac{200}{\sqrt{n}}\right)$
$C_{общ}(n) = 200k_1\sqrt{n} + \frac{8000000k_2}{\sqrt{n}}$.
Теперь используем соотношение $k_1 = 1600k_2$, чтобы выразить затраты через один коэффициент $k_2$:
$C_{общ}(n) = 200(1600k_2)\sqrt{n} + \frac{8000000k_2}{\sqrt{n}} = k_2 \left(320000\sqrt{n} + \frac{8000000}{\sqrt{n}}\right)$.

Чтобы найти количество домов $n$, при котором затраты будут наименьшими, нужно найти точку минимума функции $C_{общ}(n)$. Так как $k_2$ является положительной константой, это эквивалентно нахождению минимума функции $f(n) = 320000\sqrt{n} + \frac{8000000}{\sqrt{n}}$. Найдем производную $f'(n)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(n) = \left(320000n^{1/2} + 8000000n^{-1/2}\right)' = 320000 \cdot \frac{1}{2}n^{-1/2} + 8000000 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)n^{-3/2}$
$f'(n) = 160000n^{-1/2} - 4000000n^{-3/2} = \frac{160000}{\sqrt{n}} - \frac{4000000}{n\sqrt{n}}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{160000}{\sqrt{n}} - \frac{4000000}{n\sqrt{n}} = 0 \implies \frac{160000}{\sqrt{n}} = \frac{4000000}{n\sqrt{n}}$
Учитывая, что $n > 0$, умножим обе части на $n\sqrt{n}$:
$160000n = 4000000$
$n = \frac{4000000}{160000} = \frac{400}{16} = 25$.
Это точка экстремума. Исследование знака производной показывает, что при переходе через точку $n=25$ она меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Таким образом, для минимизации затрат необходимо построить 25 домов.
Ответ: 25.