Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8. (1) Упростите следующие выражения:

a) arccos $\frac{1}{2}$ , arccos $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , arccos $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , arccos $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) arcsin $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}}$ , arcsin $\left(\sqrt{3}\sin \frac{19\pi}{6}\right)$ , arcsin $\left(\frac{\cos 2014\pi}{2}\right)$ , arcsin $\left(\frac{2-3\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}}\right)$;

В) arctg $\left(\frac{1-\text{tg}^2 15^\circ}{2\text{tg}15^\circ}\right)$ , arctg $\left(\frac{2\sqrt{3}\text{ctg}\frac{\pi}{8}}{1-\text{ctg}^2\frac{\pi}{8}}\right)$;

Г) arcctg $\frac{3^{-2}\cdot\sqrt{3}}{27\cdot 3^{-1}}$ , arcctg $\frac{\text{arccos}(-1)}{-\pi\sqrt{3}}$.

а)

Для выражения $arccos(\frac{1}{2})$:

По определению арккосинуса, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Это табличное значение.

$arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arccos(-\frac{1}{2})$:

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

Для выражения $arccos(\frac{1}{\sqrt{2}})$:

Аргумент можно записать как $\frac{\sqrt{2}}{2}$. По определению, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Для выражения $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б)

Для выражения $arcsin\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}}$:

Упростим аргумент функции. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{7})}{2(\sqrt{5}+\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcsin(\sqrt{3}sin\frac{19\pi}{6})$:

Сначала упростим $sin\frac{19\pi}{6}$.

$\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi+\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

$sin(\frac{19\pi}{6}) = sin(3\pi + \frac{\pi}{6}) = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение: $arcsin(\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})) = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Используя свойство $arcsin(-x) = -arcsin(x)$, получаем: $-arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcsin(\frac{cos2014\pi}{2})$:

Так как $2014$ - четное число, $cos(2014\pi) = cos(2k\pi) = 1$, где $k=1007$.

Выражение становится $arcsin(\frac{1}{2})$.

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Для выражения $arcsin(\frac{2-3\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}})$:

Упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(6+2\sqrt{2})$:

$\frac{(2-3\sqrt{2})(6+2\sqrt{2})}{(6-2\sqrt{2})(6+2\sqrt{2})} = \frac{12+4\sqrt{2}-18\sqrt{2}-6\cdot2}{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{12-14\sqrt{2}-12}{36-8} = \frac{-14\sqrt{2}}{28} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выражение равно $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

в)

Для выражения $arctg(\frac{1-tg^215^\circ}{2tg15^\circ})$:

Аргумент арктангенса напоминает формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$.

$\frac{1-tg^215^\circ}{2tg15^\circ} = \frac{1}{ \frac{2tg15^\circ}{1-tg^215^\circ} } = \frac{1}{tg(2 \cdot 15^\circ)} = \frac{1}{tg(30^\circ)} = ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$.

Таким образом, $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arctg(\frac{2\sqrt{3}ctg\frac{\pi}{8}}{1-ctg^2\frac{\pi}{8}})$:

Выразим котангенс через тангенс: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.

$\frac{2\sqrt{3}ctg\frac{\pi}{8}}{1-ctg^2\frac{\pi}{8}} = \frac{2\sqrt{3}\frac{1}{tg\frac{\pi}{8}}}{1-\frac{1}{tg^2\frac{\pi}{8}}} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{tg\frac{\pi}{8}}}{\frac{tg^2\frac{\pi}{8}-1}{tg^2\frac{\pi}{8}}} = \frac{2\sqrt{3}}{tg\frac{\pi}{8}} \cdot \frac{tg^2\frac{\pi}{8}}{tg^2\frac{\pi}{8}-1} = \frac{2\sqrt{3}tg\frac{\pi}{8}}{tg^2\frac{\pi}{8}-1}$.

Вынесем минус из знаменателя: $-\sqrt{3} \frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1-tg^2\frac{\pi}{8}} = -\sqrt{3} \cdot tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\sqrt{3} \cdot tg(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3} \cdot 1 = -\sqrt{3}$.

Выражение равно $arctg(-\sqrt{3})$.

$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г)

Для выражения $arcctg\frac{3^{-2}\cdot\sqrt{3}}{27\cdot3^{-4}}$:

(Примечание: в условии задачи символ между $3^{-2}$ и $\sqrt{3}$ неоднозначен. Решение приведено для знака умножения, так как в этом случае получается стандартный ответ).

Упростим аргумент арккотангенса. Сначала числитель: $3^{-2}\cdot\sqrt{3} = \frac{1}{9}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Теперь знаменатель: $27\cdot3^{-4} = 3^3\cdot3^{-4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Теперь вся дробь: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Выражение равно $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$).

$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcctg\frac{arccos(-1)}{-\pi\sqrt{3}}$:

Сначала вычислим числитель дроби в аргументе: $arccos(-1) = \pi$.

Подставим это значение: $arcctg(\frac{\pi}{-\pi\sqrt{3}}) = arcctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

9. (1) Упростите:

а)

$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} - \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \operatorname{arctg}(-1):$

б)

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \arccos 0 + \operatorname{arctg} 1 - \arcsin 1 - \operatorname{arctg}\sqrt{3}.$

а) $arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})+arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}})+arctg(-1)$

Для решения этого выражения необходимо найти значения каждой из обратных тригонометрических функций по отдельности.

1. $arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение арксинуса должно лежать в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и значение арккотангенса должно лежать в промежутке $(0, \pi)$. Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

3. $arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение арккосинуса должно лежать в промежутке $[0, \pi]$. Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

4. $arctg(-1)$. Используем свойство $arctg(-x) = -arctg(x)$. Мы знаем, что $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и значение арктангенса должно лежать в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = 0 + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 3}{12} - \frac{2\pi \cdot 4}{12} = \frac{9\pi - 8\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

б) $arcsin(\frac{1}{2})+arccos0+arctg1-arcsin1-arcctg\sqrt{3}$

Найдем значения каждой из функций по отдельности.

1. $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.

3. $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, так как $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

5. $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{4} = 0 + 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

10. (3) Упростите следующие выражения:

а) $arccos(cos 0.9\pi)$, $arccos(cos 0.1\pi)$, $arccos(cos(-0.9\pi))$, $arccos(cos 2016.1\pi)$;

б) $arcsin\left(sin\frac{3\pi}{7}\right)$, $arcsin\left(sin\frac{4\pi}{7}\right)$, $arcsin\left(sin\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\right)$, $arcsin\left(sin\left(-\frac{32\pi}{7}\right)\right)$;

в) $arctg\left(\text{tg}\frac{4\pi}{11}\right)$, $arctg\left(\text{tg}\left(-\frac{40\pi}{11}\right)\right)$, $arctg\left(\text{tg}\frac{40\pi}{11}\right)$, $arctg\left(\text{tg}\frac{73\pi}{11}\right)$;

г) $arcctg(ctg 1.2\pi)$, $arcctg(ctg(-1.2\pi))$, $arcctg(ctg(-2015.2\pi))$, $arcctg(ctg 777.7\pi)$.

а) Для упрощения выражений с арккосинусом используется его область значений $E(\arccos) = [0; \pi]$. Если аргумент косинуса $x$ находится в этом промежутке, то $\arccos(\cos x) = x$. В противном случае, необходимо найти такое $x'$, что $x' \in [0; \pi]$ и $\cos(x') = \cos(x)$. Для этого используются свойства четности $\cos(-x) = \cos(x)$ и периодичности $\cos(x+2k\pi) = \cos(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1. $\arccos(\cos 0,9\pi)$. Так как $0,9\pi \in [0; \pi]$, то $\arccos(\cos 0,9\pi) = 0,9\pi$.
2. $\arccos(\cos 0,1\pi)$. Так как $0,1\pi \in [0; \pi]$, то $\arccos(\cos 0,1\pi) = 0,1\pi$.
3. $\arccos(\cos(-0,9\pi))$. Аргумент $-0,9\pi \notin [0; \pi]$. Используем свойство четности: $\cos(-0,9\pi) = \cos(0,9\pi)$. Так как $0,9\pi \in [0; \pi]$, получаем $\arccos(\cos(-0,9\pi)) = 0,9\pi$.
4. $\arccos(\cos 2016,1\pi)$. Аргумент $2016,1\pi \notin [0; \pi]$. Используем свойство периодичности: $\cos(2016,1\pi) = \cos(2016\pi + 0,1\pi) = \cos(0,1\pi)$. Так как $0,1\pi \in [0; \pi]$, получаем $\arccos(\cos 2016,1\pi) = 0,1\pi$.
Ответ: $0,9\pi; 0,1\pi; 0,9\pi; 0,1\pi.$

б) Для функции $y = \arcsin(x)$ область значений $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin x) = x$. Иначе, ищем $x'$ из этого промежутка, для которого $\sin(x') = \sin(x)$, используя свойства $\sin(x) = \sin(\pi-x)$ и $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1. $\arcsin(\sin\frac{3\pi}{7})$. Так как $\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin\frac{3\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
2. $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7})$. Аргумент $\frac{4\pi}{7} \notin [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство $\sin(x) = \sin(\pi - x)$: $\sin(\frac{4\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{3\pi}{7})$. Так как $\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, получаем $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
3. $\arcsin(\sin(-\frac{4\pi}{7}))$. Аргумент $-\frac{4\pi}{7} \notin [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Преобразуем выражение: $\sin(-\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\pi-\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\frac{3\pi}{7}) = \sin(-\frac{3\pi}{7})$. Так как $-\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, получаем $\arcsin(\sin(-\frac{4\pi}{7})) = -\frac{3\pi}{7}$.
4. $\arcsin(\sin\frac{32\pi}{7})$. Используем периодичность: $\sin(\frac{32\pi}{7}) = \sin(\frac{28\pi+4\pi}{7}) = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{4\pi}{7})$. Как и во втором пункте, $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{7}; \frac{3\pi}{7}; -\frac{3\pi}{7}; \frac{3\pi}{7}.$

в) Для функции $y = \operatorname{arctg}(x)$ область значений $E(\operatorname{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Если $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$. Иначе, используем периодичность тангенса $\operatorname{tg}(x+k\pi) = \operatorname{tg}(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$, чтобы найти эквивалентный угол в нужном промежутке.
1. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{4\pi}{11})$. Так как $\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{4\pi}{11}) = \frac{4\pi}{11}$.
2. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11}))$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11} + 4\pi) = \operatorname{tg}(\frac{-40\pi+44\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{4\pi}{11})$. Так как $\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11})) = \frac{4\pi}{11}$.
3. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{40\pi}{11})$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(\frac{40\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{40\pi}{11} - 4\pi) = \operatorname{tg}(\frac{40\pi-44\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{4\pi}{11})$. Так как $-\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{40\pi}{11}) = -\frac{4\pi}{11}$.
4. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{73\pi}{11})$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(\frac{73\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{73\pi}{11} - 7\pi) = \operatorname{tg}(\frac{73\pi-77\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{4\pi}{11})$. Так как $-\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{73\pi}{11}) = -\frac{4\pi}{11}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{11}; \frac{4\pi}{11}; -\frac{4\pi}{11}; -\frac{4\pi}{11}.$

г) Для функции $y = \operatorname{arcctg}(x)$ область значений $E(\operatorname{arcctg}) = (0; \pi)$. Если $x \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$. Иначе, используем периодичность котангенса $\operatorname{ctg}(x+k\pi) = \operatorname{ctg}(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$, чтобы найти эквивалентный угол в нужном промежутке.
1. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 1,2\pi)$. Аргумент $1,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(1,2\pi) = \operatorname{ctg}(1,2\pi - \pi) = \operatorname{ctg}(0,2\pi)$. Так как $0,2\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 1,2\pi) = 0,2\pi$.
2. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-1,2\pi))$. Аргумент $-1,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(-1,2\pi) = \operatorname{ctg}(-1,2\pi + 2\pi) = \operatorname{ctg}(0,8\pi)$. Так как $0,8\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-1,2\pi)) = 0,8\pi$.
3. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-2015,2\pi))$. Аргумент $-2015,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(-2015,2\pi) = \operatorname{ctg}(-2015,2\pi + 2016\pi) = \operatorname{ctg}(0,8\pi)$. Так как $0,8\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-2015,2\pi)) = 0,8\pi$.
4. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 777,7\pi)$. Аргумент $777,7\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(777,7\pi) = \operatorname{ctg}(777,7\pi - 777\pi) = \operatorname{ctg}(0,7\pi)$. Так как $0,7\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 777,7\pi) = 0,7\pi$.
Ответ: $0,2\pi; 0,8\pi; 0,8\pi; 0,7\pi.$