Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8. (3) Рассматриваются прямоугольные треугольники $ABC$, у которых вершина $A$ имеет координаты $(-3\frac{1}{2};0)$, вершина $C$ лежит на отрезке $[-1;1]$ оси $Ox$, вершина $B$ лежит на единичной окружности с центром в начале координат, угол $ACB$ прямой. Какую наибольшую площадь может иметь такой треугольник $ABC$?

Обозначим координаты вершин треугольника $ABC$. Согласно условию, вершина $A$ имеет координаты $A(-\frac{7}{2}; 0)$. Вершина $C$ лежит на отрезке $[-1; 1]$ оси $Ox$, следовательно, её координаты $C(c; 0)$, где $-1 \le c \le 1$. Вершина $B$ лежит на единичной окружности с центром в начале координат, поэтому её координаты $B(x_B; y_B)$ удовлетворяют уравнению $x_B^2 + y_B^2 = 1$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю. Найдем координаты этих векторов: $\vec{CA} = (-\frac{7}{2} - c; 0 - 0) = (-\frac{7}{2} - c; 0)$. $\vec{CB} = (x_B - c; y_B - 0) = (x_B - c; y_B)$.

Скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$: $(-\frac{7}{2} - c)(x_B - c) + 0 \cdot y_B = 0$, что упрощается до $(-\frac{7}{2} - c)(x_B - c) = 0$. Поскольку $c \in [-1; 1]$, множитель $(-\frac{7}{2} - c)$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство $x_B - c = 0$, откуда $x_B = c$.

Теперь мы знаем, что абсцисса точки $B$ совпадает с абсциссой точки $C$. Подставим $x_B = c$ в уравнение единичной окружности: $c^2 + y_B^2 = 1$. Отсюда $y_B^2 = 1 - c^2$, и $y_B = \pm \sqrt{1 - c^2}$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения длин его катетов $AC$ и $BC$. Длина катета $AC$ находится как расстояние между точками $A(-\frac{7}{2}; 0)$ и $C(c; 0)$: $AC = |c - (-\frac{7}{2})| = |c + \frac{7}{2}|$. Так как $-1 \le c \le 1$, выражение $c + \frac{7}{2}$ всегда положительно, поэтому $AC = c + \frac{7}{2}$. Длина катета $BC$ находится как расстояние между точками $B(c; y_B)$ и $C(c; 0)$: $BC = \sqrt{(c - c)^2 + (y_B - 0)^2} = \sqrt{y_B^2} = |y_B| = \sqrt{1 - c^2}$.

Запишем площадь треугольника $S$ как функцию от $c$: $S(c) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - c^2}$. Нам нужно найти наибольшее значение этой функции на отрезке $c \in [-1; 1]$.

Для нахождения максимума исследуем функцию $S(c)$. Удобнее исследовать на максимум квадрат площади $f(c) = S^2(c)$, так как это избавляет от квадратного корня и не меняет точку максимума. $f(c) = \frac{1}{4} (c + \frac{7}{2})^2 (1 - c^2)$. Найдем производную $f'(c)$ по правилу произведения: $f'(c) = \frac{1}{4} \left[ 2(c + \frac{7}{2}) \cdot (1 - c^2) + (c + \frac{7}{2})^2 \cdot (-2c) \right]$. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}(c + \frac{7}{2})$: $f'(c) = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) \left[ (1 - c^2) - c(c + \frac{7}{2}) \right] = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) (1 - c^2 - c^2 - \frac{7}{2}c) = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) (-2c^2 - \frac{7}{2}c + 1)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(c) = 0$. Так как множитель $(c + \frac{7}{2})$ не равен нулю на отрезке $[-1; 1]$, приравниваем к нулю второй множитель: $-2c^2 - \frac{7}{2}c + 1 = 0$. Умножим на -2: $4c^2 + 7c - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$. $c = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{-7 \pm 9}{8}$. Корни: $c_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $c_2 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.

Корень $c_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Единственная критическая точка в рассматриваемом интервале — это $c = \frac{1}{4}$. Найдем значения площади $S(c)$ в критической точке и на концах отрезка. На концах отрезка: $S(-1) = \frac{1}{2} (-1 + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - (-1)^2} = 0$. $S(1) = \frac{1}{2} (1 + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - 1^2} = 0$. В критической точке: $S(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{2} (\frac{1+14}{4}) \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} \cdot \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{15}{8} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{32}$.

Сравнивая полученные значения ($0$, $0$ и $\frac{15\sqrt{15}}{32}$), заключаем, что наибольшая площадь треугольника достигается при $c = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{15\sqrt{15}}{32}$.

9. (4) Две точки движутся по осям координат в положительных направлениях с постоянными скоростями $v_1 = 2$ и $v_2 = 1$. В какой момент времени расстояние между двигающимися точками будет наименьшим, если в начальный момент они занимают положения $(-3;0)$ и $(0;-5)$ соответственно?

Пусть $t$ – время, прошедшее с начального момента. Определим координаты каждой точки в момент времени $t$.
Первая точка начинает движение из положения $(-3,0)$ и движется вдоль оси Ox в положительном направлении со скоростью $v_1=2$. Ее координаты в момент времени $t$ будут:
$x_1(t) = -3 + v_1 t = -3 + 2t$
$y_1(t) = 0$
Таким образом, положение первой точки в момент времени $t$ – $P_1(-3 + 2t, 0)$.
Вторая точка начинает движение из положения $(0,-5)$ и движется вдоль оси Oy в положительном направлении со скоростью $v_2=1$. Ее координаты в момент времени $t$ будут:
$x_2(t) = 0$
$y_2(t) = -5 + v_2 t = -5 + t$
Таким образом, положение второй точки в момент времени $t$ – $P_2(0, -5 + t)$.
Расстояние $d$ между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты наших точек как функции времени. Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2$, так как расстояние $d$ будет наименьшим тогда же, когда и его квадрат $d^2$.
$d^2(t) = (x_2(t) - x_1(t))^2 + (y_2(t) - y_1(t))^2$
$d^2(t) = (0 - (-3 + 2t))^2 + ((-5 + t) - 0)^2$
$d^2(t) = (3 - 2t)^2 + (-5 + t)^2$
Раскроем скобки:
$d^2(t) = (9 - 12t + 4t^2) + (25 - 10t + t^2)$
$d^2(t) = 5t^2 - 22t + 34$
Полученное выражение является квадратичной функцией от времени $t$. График этой функции – парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен: $5 > 0$). Следовательно, эта функция имеет точку минимума.
Координата вершины параболы $at^2+bt+c$ по оси абсцисс (в нашем случае по оси времени $t$) находится по формуле:
$t_{min} = -\frac{b}{2a}$
В нашем случае $a=5$ и $b=-22$.
$t_{min} = -\frac{-22}{2 \cdot 5} = \frac{22}{10} = 2.2$
Таким образом, расстояние между точками будет наименьшим в момент времени $t=2.2$.
Ответ: $2.2$

10. (3) Если фермер ухаживает не более чем за 20 яблонями, то он может получить по 600 яблок с каждого дерева. Если он ухаживает за более чем 20 яблонями, то потери с каждого дерева увеличиваются. Фактически, с добавлением каждого дополнительного дерева потери с каждой яблони увеличиваются на 15 яблок. За каким количеством яблонь нужно ухаживать фермеру, чтобы получать максимальное количество яблок?

Для решения этой задачи необходимо найти количество яблонь, при котором общий урожай будет максимальным. Обозначим общее количество яблонь, за которыми ухаживает фермер, через $n$.

Рассмотрим два сценария, описанных в условии.

1. Если фермер ухаживает за 20 или менее яблонями ($n \le 20$), то урожай с каждого дерева составляет 600 яблок. Общий урожай $Y(n)$ в этом случае вычисляется по формуле $Y(n) = n \cdot 600$. Это линейная функция, которая возрастает с увеличением $n$. Максимальное значение в этом диапазоне достигается при $n=20$ и составляет $Y(20) = 20 \cdot 600 = 12000$ яблок.

2. Если фермер ухаживает более чем за 20 яблонями ($n > 20$), то урожайность каждого дерева снижается. Пусть $x$ — это количество яблонь, посаженных сверх 20. Тогда общее количество яблонь $n = 20 + x$.

С добавлением каждого дополнительного дерева ($x$) урожай с каждой яблони уменьшается на 15 яблок. Таким образом, общие потери с одного дерева составят $15x$ яблок. Урожайность одного дерева будет равна $600 - 15x$ яблок.

Общий урожай $Y$ при $n > 20$ равен произведению общего количества деревьев на урожайность одного дерева:

$Y(x) = (\text{количество деревьев}) \times (\text{урожайность одного дерева})$

$Y(x) = (20 + x) \cdot (600 - 15x)$

Это функция от $x$. Чтобы найти ее максимум, раскроем скобки и получим квадратичное уравнение:

$Y(x) = 20 \cdot 600 - 20 \cdot 15x + 600x - 15x^2$

$Y(x) = 12000 + 300x - 15x^2$

$Y(x) = -15x^2 + 300x + 12000$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение функции находится в вершине параболы. Координату $x_v$ вершины можно найти по формуле $x_v = -b / (2a)$, где $a = -15$ и $b = 300$.

$x_v = -300 / (2 \cdot (-15)) = -300 / (-30) = 10$

Максимальный урожай достигается, когда количество яблонь сверх 20 равно 10. Таким образом, оптимальное общее количество яблонь $n$ равно:

$n = 20 + x_v = 20 + 10 = 30$

Найдем максимальный урожай при $n=30$:

Урожайность с одного дерева: $600 - 15 \cdot 10 = 600 - 150 = 450$ яблок.

Общий урожай: $30 \cdot 450 = 13500$ яблок.

Сравнивая максимальный урожай в обоих случаях ($12000$ яблок при $n=20$ и $13500$ яблок при $n=30$), мы видим, что наибольший урожай фермер получит, ухаживая за 30 яблонями.

Ответ: Чтобы получать максимальное количество яблок, фермеру нужно ухаживать за 30 яблонями.

11. (2) Найдите положительное число $x$, для которого разность между его кубом и числом $12x$ принимает наименьшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. Нам нужно найти такое значение $x > 0$, при котором разность между его кубом ($x^3$) и числом $12x$ будет наименьшей.

Составим функцию, представляющую эту разность: $f(x) = x^3 - 12x$.

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале ($x > 0$), мы должны найти ее точки экстремума. Для этого вычислим производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю.

Первая производная функции: $f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x^2 - 12 = 0$ $3x^2 = 12$ $x^2 = 4$ $x = \pm\sqrt{4}$

Мы получили две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Согласно условию задачи, искомое число $x$ должно быть положительным. Следовательно, мы рассматриваем только значение $x = 2$.

Теперь необходимо проверить, является ли точка $x = 2$ точкой минимума. Для этого можно использовать вторую производную.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 12)' = 6x$.

Вычислим значение второй производной в точке $x = 2$: $f''(2) = 6 \cdot 2 = 12$.

Так как значение второй производной в этой точке положительно ($f''(2) > 0$), то $x = 2$ является точкой локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка в области $x > 0$, то в ней функция $f(x)$ принимает свое наименьшее значение для всех положительных $x$.

Ответ: 2

12. (2) а) Сумма двух положительных чисел равна 30. Подберите эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого было наибольшим.

(2) б) Сумма двух положительных чисел равна $p$. Подберите эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого было наибольшим.

(2) в) Подставив $p=30$ в формулы, полученные в б), проверьте соответствие результатов а) и б). Используя формулы, полученные в б), выпишите ответ к задаче пункта б) при $p=3^{2014}$.

(2) а) Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 30, то есть $x + y = 30$. Нам нужно максимизировать произведение одного из них на квадрат другого. Без потери общности, будем максимизировать функцию $P = x \cdot y^2$.

Из условия $x + y = 30$ выразим $x = 30 - y$. Поскольку $x$ и $y$ – положительные числа, то $y \in (0, 30)$. Подставим выражение для $x$ в функцию $P$:

$P(y) = (30 - y)y^2 = 30y^2 - y^3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции, найдем ее производную по $y$ и приравняем к нулю:

$P'(y) = (30y^2 - y^3)' = 60y - 3y^2$.

$60y - 3y^2 = 0$

$3y(20 - y) = 0$.

Так как $y > 0$, то единственным решением является $y = 20$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$P''(y) = (60y - 3y^2)' = 60 - 6y$.

При $y=20$, $P''(20) = 60 - 6 \cdot 20 = 60 - 120 = -60$. Поскольку вторая производная отрицательна, $y=20$ является точкой максимума.

Теперь найдем $x$:

$x = 30 - y = 30 - 20 = 10$.

Таким образом, искомые числа – это 10 и 20.
Ответ: 10 и 20.

(2) б) Это обобщение предыдущей задачи. Пусть сумма двух положительных чисел $x$ и $y$ равна $p$: $x+y=p$. Нам нужно максимизировать произведение $P = x \cdot y^2$.

Выразим $x = p - y$. Учитывая, что $x>0$ и $y>0$, получаем $y \in (0, p)$. Подставим в функцию $P$:

$P(y) = (p - y)y^2 = py^2 - y^3$.

Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$P'(y) = 2py - 3y^2$.

$y(2p - 3y) = 0$.

Поскольку $y > 0$, единственная критическая точка – это $y$, для которого $2p - 3y = 0$, то есть $y = \frac{2p}{3}$.

Вторая производная $P''(y) = 2p - 6y$ в этой точке равна $P''(\frac{2p}{3}) = 2p - 6(\frac{2p}{3}) = 2p - 4p = -2p$. Так как $p$ (сумма положительных чисел) положительно, $P'' < 0$, что подтверждает, что это точка максимума.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = p - y = p - \frac{2p}{3} = \frac{p}{3}$.

Искомые числа – это $\frac{p}{3}$ и $\frac{2p}{3}$.
Ответ: $\frac{p}{3}$ и $\frac{2p}{3}$.

(2) в) Сначала проверим соответствие результатов для $p=30$. Используя формулы из пункта б), получаем:

Первое число: $\frac{p}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

Второе число: $\frac{2p}{3} = \frac{2 \cdot 30}{3} = 20$.

Эти числа (10 и 20) совпадают с результатом, полученным в пункте а).

Теперь, используя формулы из пункта б), найдем искомые числа для $p=3^{2014}$.

Первое число: $\frac{p}{3} = \frac{3^{2014}}{3} = 3^{2014-1} = 3^{2013}$.

Второе число: $\frac{2p}{3} = \frac{2 \cdot 3^{2014}}{3} = 2 \cdot 3^{2014-1} = 2 \cdot 3^{2013}$.

Ответ: При подстановке $p=30$ в формулы из пункта б) получаются числа 10 и 20, что соответствует результату пункта а). Для $p=3^{2014}$ искомые числа равны $3^{2013}$ и $2 \cdot 3^{2013}$.

13. (2) а) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты. Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина в два раза больше ширины, а сумма трех измерений равна 18.

(3) б) Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина в два раза больше ширины, а сумма трех измерений равна $a$.

а) Обозначим ширину прямоугольного параллелепипеда как $x$. Согласно условию, длина в два раза больше ширины, значит, длина равна $2x$. Обозначим высоту как $h$. Сумма трех измерений равна 18, следовательно, мы можем составить уравнение: $x + 2x + h = 18$, что упрощается до $3x + h = 18$. Отсюда выразим высоту через $x$: $h = 18 - 3x$.
Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$. Подставим наши выражения для измерений, чтобы получить объем как функцию от одной переменной $x$:
$V(x) = 2x \cdot x \cdot (18 - 3x) = 2x^2(18 - 3x) = 36x^2 - 6x^3$.
Для нахождения наибольшего объема необходимо найти максимум функции $V(x)$. Для этого найдем ее производную по $x$:
$V'(x) = (36x^2 - 6x^3)' = 72x - 18x^2$.
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$72x - 18x^2 = 0$
$18x(4 - x) = 0$
Критическими точками являются $x = 0$ и $x = 4$. Поскольку размеры должны быть положительными, то $x > 0$ и $h = 18 - 3x > 0$, откуда $x < 6$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $(0, 6)$. Точка $x=0$ не входит в данный интервал, поэтому мы рассматриваем только $x=4$.
Чтобы убедиться, что $x=4$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$V''(x) = (72x - 18x^2)' = 72 - 36x$.
При $x=4$, $V''(4) = 72 - 36 \cdot 4 = 72 - 144 = -72$. Так как вторая производная отрицательна, в этой точке функция достигает максимума.
Теперь вычислим измерения параллелепипеда и его максимальный объем:
Ширина: $x = 4$.
Длина: $2x = 2 \cdot 4 = 8$.
Высота: $h = 18 - 3x = 18 - 3 \cdot 4 = 18 - 12 = 6$.
Наибольший объем: $V = 4 \cdot 8 \cdot 6 = 192$.
Ответ: 192

б) Данный пункт является обобщением предыдущего. Пусть сумма трех измерений равна $a$. Обозначим ширину как $x$, тогда длина равна $2x$, а высоту обозначим как $h$.
Из условия о сумме измерений получаем: $x + 2x + h = a$, или $3x + h = a$. Отсюда высота $h = a - 3x$.
Объем как функция от $x$:
$V(x) = 2x \cdot x \cdot (a - 3x) = 2x^2(a - 3x) = 2ax^2 - 6x^3$.
Так как все измерения должны быть положительными, то $x > 0$ и $h = a - 3x > 0$, что означает $x < a/3$ (предполагая $a>0$). Мы ищем максимум функции на интервале $(0, a/3)$.
Найдем производную функции объема:
$V'(x) = (2ax^2 - 6x^3)' = 4ax - 18x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4ax - 18x^2 = 0$
$2x(2a - 9x) = 0$
Критические точки: $x = 0$ и $x = \frac{2a}{9}$. Точка $x=0$ не входит в рассматриваемый интервал. Точка $x = \frac{2a}{9}$ принадлежит интервалу $(0, a/3)$, поскольку $0 < \frac{2a}{9} < \frac{3a}{9} = \frac{a}{3}$.
Проверим знак второй производной, чтобы определить характер экстремума:
$V''(x) = (4ax - 18x^2)' = 4a - 36x$.
$V''(\frac{2a}{9}) = 4a - 36 \cdot \frac{2a}{9} = 4a - 4 \cdot 2a = -4a$.
Поскольку $a$ (сумма длин) является положительной величиной, $V''(\frac{2a}{9}) < 0$, что подтверждает, что при $x = \frac{2a}{9}$ объем максимален.
Найдем измерения и наибольший объем:
Ширина: $x = \frac{2a}{9}$.
Длина: $2x = \frac{4a}{9}$.
Высота: $h = a - 3x = a - 3 \cdot \frac{2a}{9} = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}$.
Наибольший объем: $V = \frac{2a}{9} \cdot \frac{4a}{9} \cdot \frac{a}{3} = \frac{8a^3}{243}$.
Ответ: $\frac{8a^3}{243}$