Страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1)
Используя элементарные преобразования P1-P8 (глава 1, §6), постройте последовательно на одной координатной плоскости графики функций $f(x)=\arcsin x$, $g(x)=\arcsin\frac{1}{2}x$, $h(x)=3\arcsin\frac{1}{2}x$, $u(x)=3\arcsin\frac{1}{2}(x+4)$, $v(x)=3\arcsin\left(\frac{x}{2}+2\right)-\pi$. Для каждой из функций определите область определения и множество значений.

$f(x)=\arcsin x$. Это исходная функция. Ее график — это стандартная кривая арксинуса, симметричная относительно начала координат. Для построения графика отметим ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{2})$. Область определения $D(f)$ находится из условия, что аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$. Множество значений $E(f)$ для основной ветви арксинуса по определению является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: Область определения $D(f) = [-1, 1]$, множество значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$g(x)=\arcsin\frac{1}{2}x$. График этой функции получается из графика $f(x)$ путем его растяжения от оси $Oy$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза (горизонтальное растяжение). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $f(x)$ переходит в точку $(2x_0, y_0)$. Так, ключевые точки преобразуются: $(-1, -\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-2, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (2, \frac{\pi}{2})$.Область определения $D(g)$ находится из условия $-1 \le \frac{1}{2}x \le 1$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$. Множество значений $E(g)$ не меняется при горизонтальном растяжении и остается таким же, как у $f(x)$.
Ответ: Область определения $D(g) = [-2, 2]$, множество значений $E(g) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$h(x)=3\arcsin\frac{1}{2}x$. График этой функции получается из графика $g(x)$ путем его растяжения от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза (вертикальное растяжение). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $g(x)$ переходит в точку $(x_0, 3y_0)$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-2, -\frac{3\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (2, \frac{3\pi}{2})$.Область определения $D(h)$ совпадает с областью определения $g(x)$, так как вертикальное растяжение на нее не влияет. Множество значений $E(h)$ получается умножением каждой точки из множества значений $g(x)$ на 3: $[-\frac{\pi}{2} \cdot 3, \frac{\pi}{2} \cdot 3]$.
Ответ: Область определения $D(h) = [-2, 2]$, множество значений $E(h) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$u(x)=3\arcsin\frac{1}{2}(x+4)$. График этой функции получается из графика $h(x)$ путем его сдвига влево вдоль оси $Ox$ на 4 единицы (горизонтальный сдвиг). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $h(x)$ переходит в точку $(x_0-4, y_0)$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-6, -\frac{3\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (-4, 0)$, $(2, \frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-2, \frac{3\pi}{2})$.Область определения $D(u)$ получается сдвигом области определения $h(x)$ на 4 влево: $[-2-4, 2-4]$. Множество значений $E(u)$ при горизонтальном сдвиге не изменяется.
Ответ: Область определения $D(u) = [-6, -2]$, множество значений $E(u) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$v(x)=3\arcsin(\frac{x}{2}+2)-\pi$. Преобразуем эту функцию: $v(x) = 3\arcsin(\frac{1}{2}(x+4)) - \pi = u(x) - \pi$. График этой функции получается из графика $u(x)$ путем его сдвига вниз вдоль оси $Oy$ на $\pi$ (вертикальный сдвиг). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $u(x)$ переходит в точку $(x_0, y_0-\pi)$. Ключевые точки: $(-6, -\frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-6, -\frac{3\pi}{2}-\pi) = (-6, -\frac{5\pi}{2})$, $(-4, 0) \rightarrow (-4, -\pi)$, $(-2, \frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-2, \frac{3\pi}{2}-\pi) = (-2, \frac{\pi}{2})$.Область определения $D(v)$ совпадает с областью определения $u(x)$. Множество значений $E(v)$ получается сдвигом множества значений $u(x)$ на $\pi$ вниз: $[-\frac{3\pi}{2}-\pi, \frac{3\pi}{2}-\pi]$.
Ответ: Область определения $D(v) = [-6, -2]$, множество значений $E(v) = [-\frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. (1) Упростите следующие выражения:

а) $\arcsin 0$, $\arcsin 1$, $\arcsin (-1)$, $\arcsin \frac{1}{2}$, $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

б) $\arccos \left( (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)-2 \right)$, $\arccos (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$, $\arccos (-1)^{105}$, $\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{2} \right)$, $\arccos \left( \frac{1}{2}\text{tg}120^{\circ} \right)$;

В) $\text{arctg} \left( \cos \frac{53}{2}\pi \right)$, $\text{arctg} \left( \sin \frac{53}{2}\pi \right)$, $\text{arctg} \left( \sin \frac{55}{2}\pi \right)$, $\text{arctg} \left( \frac{4\cos15^{\circ}}{\sqrt{6}+3\sqrt{2}} \right)$, $\text{arctg} \left( \frac{4\sin15^{\circ}}{\sqrt{6}-3\sqrt{2}} \right)$;

Г) $\text{arctg} \left( \cos\beta+\cos(180^{\circ}-\beta) \right)$, $\text{arctg} \frac{\sin(180^{\circ}-\gamma)}{\sin\gamma}$ при $\sin\gamma \ne 0$. $\text{arctg} \frac{\cos93^{\circ}}{\sin3^{\circ}}$, $\text{arctg} \sqrt{\frac{3(1-\cos14^{\circ})}{2\sin^2 7^{\circ}}}$; $\text{arctg} (-\sqrt{3})$.

a)

$arcsin(0)$. По определению, это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Этим углом является 0.
Ответ: $0$.

$arcsin(1)$. Ищем угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$arcsin(-1)$. Ищем угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Этим углом является $-\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

$arcsin(\frac{1}{2})$. Ищем угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

$arcsin(-\frac{1}{2})$. Ищем угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

б)

$arccos((\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)-2)$. Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов: $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)-2 = ((\sqrt{3})^2-1^2)-2 = (3-1)-2 = 0$. Получаем $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$arccos(sin^2\alpha+cos^2\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$. Получаем $arccos(1) = 0$.
Ответ: $0$.

$arccos((-1)^{105})$. Поскольку 105 — нечетное число, $(-1)^{105} = -1$. Получаем $arccos(-1) = \pi$.
Ответ: $\pi$.

$arccos(\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{2})$. Упростим аргумент: $\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

$arccos(\frac{1}{2}tg120^\circ)$. Упростим аргумент: $tg120^\circ = tg(180^\circ-60^\circ)=-tg60^\circ=-\sqrt{3}$. Тогда $\frac{1}{2}tg120^\circ = \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

в)

$arctg(cos\frac{53}{2}\pi)$. Упростим аргумент: $cos(\frac{53\pi}{2}) = cos(26\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Получаем $arctg(0) = 0$.
Ответ: $0$.

$arctg(sin\frac{53}{2}\pi)$. Упростим аргумент: $sin(\frac{53\pi}{2}) = sin(26\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Получаем $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

$arctg(sin\frac{55}{2}\pi)$. Упростим аргумент: $sin(\frac{55\pi}{2}) = sin(28\pi - \frac{\pi}{2}) = sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Получаем $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

$arctg(\frac{4cos15^\circ}{\sqrt{6}+3\sqrt{2}})$. Упростим аргумент. $cos15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Знаменатель: $\sqrt{6}+3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{3}+3)$. Аргумент: $\frac{4(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)} = \frac{\sqrt{3}+1}{3+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Получаем $arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

$arctg(\frac{4sin15^\circ}{\sqrt{6}-3\sqrt{2}})$. Упростим аргумент. $sin15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Знаменатель: $\sqrt{6}-3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-3)$. Аргумент: $\frac{4(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3)} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3)} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-3} = \frac{\sqrt{3}-1}{-(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Получаем $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

г)

$arcctg(cos\beta+cos(180^\circ-\beta))$. По формуле приведения $cos(180^\circ-\beta)=-cos\beta$. Тогда аргумент равен $cos\beta-cos\beta = 0$. Получаем $arcctg(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$arcctg(\frac{sin(180^\circ-\gamma)}{sin\gamma})$ при $sin\gamma \neq 0$. По формуле приведения $sin(180^\circ-\gamma)=sin\gamma$. Тогда аргумент равен $\frac{sin\gamma}{sin\gamma} = 1$. Получаем $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

$arcctg(\frac{cos93^\circ}{sin3^\circ})$. По формуле приведения $cos93^\circ = cos(90^\circ+3^\circ) = -sin3^\circ$. Тогда аргумент равен $\frac{-sin3^\circ}{sin3^\circ} = -1$. Получаем $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

$arcctg\sqrt{\frac{3(1-cos14^\circ)}{2sin^27^\circ}}$. По формуле двойного угла $1-cos14^\circ = 2sin^27^\circ$. Тогда выражение под корнем равно $\frac{3(2sin^27^\circ)}{2sin^27^\circ} = 3$. Получаем $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

$arcctg(-\sqrt{3})$. Используем свойство арккотангенса: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.