Страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1) Для каждой из следующих функций определите наибольшее и наименьшее значения на отрезке $x \in [1;4]$:

а) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$;

б) $g(x) = -x^2 - 4x - 3$;

в) $h(x) = x^2 + 4x - 3$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке $[a, b]$ используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат отрезку $[a, b]$.

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка, то есть в точках $a$ и $b$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

а) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.

3. Критическая точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=2$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$f(1) = -(1)^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$
$f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$
$f(4) = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $1$, $-3$. Наибольшее значение равно $1$, наименьшее равно $-3$.
Ответ: Наибольшее значение функции $f_{наиб.} = f(2) = 1$, наименьшее значение функции $f_{наим.} = f(4) = -3$.

б) $g(x) = -x^2 - 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $g'(x) = (-x^2 - 4x - 3)' = -2x - 4$.

2. Находим критические точки:
$-2x - 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

3. Критическая точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$g(1) = -(1)^2 - 4(1) - 3 = -1 - 4 - 3 = -8$
$g(4) = -(4)^2 - 4(4) - 3 = -16 - 16 - 3 = -35$.

5. Сравниваем полученные значения: $-8$ и $-35$. Наибольшее значение равно $-8$, наименьшее равно $-35$.
Ответ: Наибольшее значение функции $g_{наиб.} = g(1) = -8$, наименьшее значение функции $g_{наим.} = g(4) = -35$.

в) $h(x) = x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $h'(x) = (x^2 + 4x - 3)' = 2x + 4$.

2. Находим критические точки:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

3. Критическая точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$h(1) = (1)^2 + 4(1) - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$
$h(4) = (4)^2 + 4(4) - 3 = 16 + 16 - 3 = 29$.

5. Сравниваем полученные значения: $2$ и $29$. Наибольшее значение равно $29$, наименьшее равно $2$.
Ответ: Наибольшее значение функции $h_{наиб.} = h(4) = 29$, наименьшее значение функции $h_{наим.} = h(1) = 2$.

2. (1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$ на каждом из отрезков:

a) $x \in [-3;-1];$

б) $x \in [0;2];$

в) $x \in [-3;3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Дана функция $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x + 1)' = 6x^2 + 6x - 12$.

Затем найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

Разделим обе части на 6:

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это критические точки функции.

а) $x \in [-3; -1]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = -3$, $x = -1$ и критическая точка $x = -2$ (точка $x = 1$ не принадлежит отрезку).

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) + 1 = 2(-27) + 3(9) + 36 + 1 = -54 + 27 + 36 + 1 = 10$.

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21$.

$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = 2(-1) + 3(1) + 12 + 1 = -2 + 3 + 12 + 1 = 14$.

Среди значений $\{10, 21, 14\}$ наименьшее равно 10, а наибольшее равно 21.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 10$, наибольшее значение $f_{наиб} = 21$.

б) $x \in [0; 2]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = 0$, $x = 2$ и критическая точка $x = 1$ (точка $x = -2$ не принадлежит отрезку).

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$.

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6$.

$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 2(8) + 3(4) - 24 + 1 = 16 + 12 - 24 + 1 = 5$.

Среди значений $\{1, -6, 5\}$ наименьшее равно -6, а наибольшее равно 5.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -6$, наибольшее значение $f_{наиб} = 5$.

в) $x \in [-3; 3]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = -3$, $x = 3$ и обе критические точки $x = -2$ и $x = 1$.

Вычислим значения функции в этих точках. Значения для $f(-3)$, $f(-2)$ и $f(1)$ уже известны из предыдущих пунктов.

$f(-3) = 10$.

$f(-2) = 21$.

$f(1) = -6$.

Осталось вычислить значение в точке $x = 3$:

$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) + 1 = 2(27) + 3(9) - 36 + 1 = 54 + 27 - 36 + 1 = 46$.

Среди значений $\{10, 21, -6, 46\}$ наименьшее равно -6, а наибольшее равно 46.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -6$, наибольшее значение $f_{наиб} = 46$.

3. (2) На отрезке $x \in [-1;2]$ задана функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. Найдите координаты точки графика данной функции, имеющей:

а) наибольшую ординату;

б) наименьшую ординату.

Для нахождения координат точки графика с наибольшей и наименьшей ординатой (значением $y$) на заданном отрезке, необходимо найти глобальные экстремумы функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $x \in [-1; 2]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$.

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x-1)(x+1) = 0$

Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Проверим, принадлежат ли эти точки заданному отрезку $[-1; 2]$. Все три точки ($0$, $1$, $-1$) входят в данный отрезок.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка (в точках $x=-1$ и $x=2$):

• $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• $f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$
• $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• $f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$

5. Сравним полученные значения: $2, 3, 2, 11$.

а) наибольшую ординату

Наибольшее значение функции на отрезке равно 11. Оно достигается в точке $x = 2$. Следовательно, координаты точки графика с наибольшей ординатой - это $(2; 11)$.

Ответ: $(2; 11)$.

б) наименьшую ординату

Наименьшее значение функции на отрезке равно 2. Оно достигается в двух точках: $x = -1$ и $x = 1$. Следовательно, координаты точек графика с наименьшей ординатой - это $(-1; 2)$ и $(1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$ и $(1; 2)$.

4. (2)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)=-x^3(x+2)$ на отрезке $x \in [-2;1]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом отрезке, нужно найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Заданная функция: $g(x) = -x^3(x+2)$.
Заданный отрезок: $x \in [-2; 1]$.

1. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде многочлена, раскрыв скобки:
$g(x) = -x^4 - 2x^3$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (-x^4 - 2x^3)' = -4x^3 - 6x^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:
$-4x^3 - 6x^2 = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $-2x^2$:
$-2x^2(2x + 3) = 0$
Это уравнение имеет два корня:
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -1.5$

4. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x_2 = -1.5$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
Следовательно, мы должны вычислить значения функции в четырех точках: на концах отрезка $x=-2$ и $x=1$, и в критических точках $x=0$ и $x=-1.5$.

5. Вычислим значения функции в этих точках:
- В точке $x = -2$:
$g(-2) = -(-2)^3(-2+2) = -(-8) \cdot 0 = 0$
- В точке $x = -1.5$:
$g(-1.5) = -(-1.5)^3(-1.5+2) = -(-3.375)(0.5) = 1.6875 = \frac{27}{16}$
- В точке $x = 0$:
$g(0) = -(0)^3(0+2) = 0$
- В точке $x = 1$:
$g(1) = -(1)^3(1+2) = -1 \cdot 3 = -3$

6. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{27}{16}$, $0$ и $-3$.
Наибольшее из этих значений равно $\frac{27}{16}$.
Наименьшее из этих значений равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно $\frac{27}{16}$, а наименьшее значение равно $-3$.