Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

9. (2) Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

а) $y=\cos 2x$;

б) $y=2\cos 2x-1$;

в) $y=|\cos 3x|+4$;

г) $y=5\cos^2 x-3$.

а) Для нахождения множества значений функции $y=\cos 2x$ необходимо определить, какие значения может принимать функция при всех возможных значениях $x$.

Функция косинус, $f(t) = \cos t$, определена для всех действительных чисел $t$. Её множество значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого аргумента $t$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos t \le 1$.

В данном случае аргументом является выражение $2x$. Поскольку переменная $x$ может принимать любые действительные значения, то и выражение $2x$ также пробегает все действительные значения. Следовательно, умножение аргумента на 2 не изменяет множества значений функции косинус.

Таким образом, для функции $y=\cos 2x$ множество значений также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y=2\cos 2x - 1$ воспользуемся методом оценки, исходя из известного множества значений для $\cos 2x$.

Как мы установили в пункте а), значения $\cos 2x$ лежат в пределах от -1 до 1 включительно:

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Чтобы получить выражение $2\cos 2x$, умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2\cos 2x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$

Теперь, чтобы получить итоговое выражение $y$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 - 1 \le 2\cos 2x - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le y \le 1$

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 1]$.

в) Рассмотрим функцию $y=|\cos 3x| + 4$.

Сначала определим множество значений для выражения $\cos 3x$. Аналогично пункту а), оно равно отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Далее, рассмотрим модуль этого выражения, $|\cos 3x|$. Модуль любого числа из отрезка $[-1, 1]$ является неотрицательным и не превышает 1. Таким образом, множество значений для $|\cos 3x|$ — это отрезок $[0, 1]$:

$0 \le |\cos 3x| \le 1$

Наконец, чтобы получить $y$, прибавим 4 ко всем частям этого неравенства:

$0 + 4 \le |\cos 3x| + 4 \le 1 + 4$

$4 \le y \le 5$

Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[4, 5]$.

Ответ: $E(y) = [4, 5]$.

г) Найдем множество значений для функции $y=5\cos^2 x - 3$.

Начнем с множества значений для $\cos x$, которое равно отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Теперь возведем в квадрат. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Минимальное значение $(\cos x)^2$ равно 0 (когда $\cos x = 0$), а максимальное значение равно 1 (когда $\cos x = \pm 1$). Таким образом:

$0 \le \cos^2 x \le 1$

Умножим все части неравенства на 5:

$5 \cdot 0 \le 5\cos^2 x \le 5 \cdot 1$

$0 \le 5\cos^2 x \le 5$

И в завершение, вычтем 3 из всех частей неравенства:

$0 - 3 \le 5\cos^2 x - 3 \le 5 - 3$

$-3 \le y \le 2$

Следовательно, множество значений функции $y=5\cos^2 x - 3$ — это отрезок $[-3, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 2]$.

10. (2) Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

a) $y = 2\sin(100x)\cos(100x)$;

б) $y = (\sin(2x) + \cos(2x))^2$;

в) $y = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$.

а) Для нахождения множества значений функции $y=2\sin(100x)\cos(100x)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Положив $\alpha = 100x$, преобразуем функцию к виду $y = \sin(2 \cdot 100x) = \sin(200x)$. Известно, что множество значений функции синус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, искомое множество значений для $y=\sin(200x)$ также является $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Рассмотрим функцию $y=(\sin 2x + \cos 2x)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $y = \sin^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos^2(2x)$. Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. При $\alpha = 2x$ получаем: $y = (\sin^2(2x) + \cos^2(2x)) + 2\sin(2x)\cos(2x) = 1 + \sin(4x)$. Поскольку множество значений функции $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то минимальное значение $y$ будет $1+(-1)=0$, а максимальное $1+1=2$. Таким образом, множество значений функции есть отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos^4\frac{x}{2} - \sin^4\frac{x}{2}$. Выражение в правой части можно разложить как разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\frac{x}{2}$ и $b = \sin^2\frac{x}{2}$: $y = (\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2})(\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2})$. Применим два тригонометрических тождества. Первое, основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, так что вторая скобка равна 1. Второе, формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, так что первая скобка равна $\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos(x)$. В результате функция упрощается до $y = \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

11. (3) При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет корни?

а) $\sin 8x = a$;

б) $\sin x + |\sin x| = a$;

в) $\cos^2 x = a-3$;

г) $\sin 10x = a^2 - 2$.

а) Уравнение имеет вид $f(x) = g(a)$, где $f(x) = \sin(8x)$ и $g(a) = a$. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение правой части (параметра $a$) принадлежит области значений левой части (функции $f(x)$). Область значений функции синус для любого аргумента, $E(\sin t)$, это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $f(x) = \sin(8x)$ область значений также $E(f) = [-1; 1]$. Таким образом, для существования корней необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $-1 \le a \le 1$.
Ответ: $a \in [-1; 1]$.

б) Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = \sin x + |\sin x|$. Чтобы найти область значений этой функции, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $\sin x \ge 0$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. В этом случае функция принимает вид: $f(x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$. Так как в этом случае $0 \le \sin x \le 1$, то значения функции $f(x)$ будут находиться в промежутке $[2 \cdot 0; 2 \cdot 1]$, то есть $[0; 2]$.
2. Если $\sin x < 0$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. В этом случае функция принимает вид: $f(x) = \sin x + (-\sin x) = 0$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что область значений функции $f(x)$ является объединением множества $\{0\}$ и отрезка $[0; 2]$, что в итоге дает отрезок $E(f) = [0; 2]$. Уравнение имеет корни, если параметр $a$ принадлежит этой области значений, то есть $0 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [0; 2]$.

в) Уравнение имеет вид $\cos^2 x = a - 3$. Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \cos^2 x$. Известно, что область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$. При возведении в квадрат любого значения из отрезка $[-1; 1]$, результат будет находиться в отрезке $[0; 1]$. Например, $(\pm 1)^2 = 1$, $0^2=0$, и для любого $t \in (-1; 1)$, $0 \le t^2 < 1$. Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos^2 x$ есть $E(f) = [0; 1]$. Уравнение имеет корни, если значение выражения $a-3$ попадает в эту область: $0 \le a - 3 \le 1$. Чтобы найти значения $a$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $0 + 3 \le a - 3 + 3 \le 1 + 3$, что дает $3 \le a \le 4$.
Ответ: $a \in [3; 4]$.

г) Уравнение имеет вид $\sin(10x) = a^2 - 2$. Область значений функции в левой части, $f(x) = \sin(10x)$, есть отрезок $E(f) = [-1; 1]$. Уравнение будет иметь корни, если значение выражения в правой части, $a^2 - 2$, принадлежит этому отрезку: $-1 \le a^2 - 2 \le 1$. Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $$ \begin{cases} a^2 - 2 \ge -1 \\ a^2 - 2 \le 1 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы.
1. $a^2 - 2 \ge -1 \implies a^2 \ge 1$. Решением этого неравенства является объединение лучей $a \le -1$ и $a \ge 1$, то есть $a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
2. $a^2 - 2 \le 1 \implies a^2 \le 3$. Решением этого неравенства является отрезок $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$, то есть $a \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.
Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Это пересечение состоит из двух отрезков: $[-\sqrt{3}; -1]$ и $[1; \sqrt{3}]$.
Ответ: $a \in [-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$.

12. В условии указан вид функции $f(x)$ и множество ее значений. Найдите значение параметра А, если:

а) $f(x) = A\cos x$, $E(f):[-2;2]$

б) $f(x) = A\sin \left(3x-\frac{\pi}{7}\right)+6$, $E(f):[1;11]$

а) Дана функция $f(x) = A\cos x$ и ее множество значений $E(f) = [-2; 2]$. Множество значений для функции $\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. При умножении этого неравенства на параметр $A$, множество значений для выражения $A\cos x$ становится отрезком с концами $-|A|$ и $|A|$, то есть $[-|A|; |A|]$. Сопоставляя с данным в условии множеством значений $[-2; 2]$, получаем, что $|A| = 2$. Отсюда следует, что параметр $A$ может быть равен $2$ или $-2$.Ответ: $A = 2$ или $A = -2$.

б) Дана функция $f(x) = A\sin\left(3x-\frac{\pi}{7}\right)+6$ и ее множество значений $E(f) = [1; 11]$. Множество значений для функции синуса $\sin\left(3x-\frac{\pi}{7}\right)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, множество значений для выражения $A\sin\left(3x-\frac{\pi}{7}\right)$ — это отрезок $[-|A|; |A|]$. Прибавление константы $6$ сдвигает этот отрезок по оси ординат. Таким образом, итоговое множество значений для всей функции $f(x)$ будет $[6 - |A|; 6 + |A|]$. Согласно условию, это множество равно $[1; 11]$. Сопоставляя концы отрезков, получаем систему уравнений:$ \begin{cases} 6 - |A| = 1 \\ 6 + |A| = 11 \end{cases} $Из любого из этих уравнений находим, что $|A| = 5$. Следовательно, параметр $A$ может принимать значения $5$ или $-5$.Ответ: $A = 5$ или $A = -5$.

13. (3) В условии указан вид функции $f(x)$, множество ее значений и период. Найдите значения параметров $p, q, r$, если:

a) $f(x) = p \sin rx + q, E(f): [-2;4], T = \frac{\pi}{2};$

б) $f(x) = (p-2)\cos\left(\left(2r+\frac{1}{3}\right)x\right)+|q+1|, E(f): [6;10], T=6\pi.$

а) $f(x) = p\sin(rx)+q$, $E(f):[-2;4]$, $T=\frac{\pi}{2}$

1. Нахождение параметров $p$ и $q$ из множества значений $E(f)$.

Множество значений для функции вида $A\sin(kx)+B$ есть отрезок $[B - |A|, B + |A|]$. В нашем случае амплитуда равна $|p|$, а вертикальный сдвиг равен $q$.

Таким образом, минимальное и максимальное значения функции равны:

$\min(f) = q - |p| = -2$

$\max(f) = q + |p| = 4$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} q + |p| = 4 \\ q - |p| = -2 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(q + |p|) + (q - |p|) = 4 + (-2)$

$2q = 2$

$q = 1$

Подставим значение $q=1$ в первое уравнение:

$1 + |p| = 4$

$|p| = 3$

Это означает, что $p=3$ или $p=-3$.

2. Нахождение параметра $r$ из периода $T$.

Период функции вида $A\sin(kx)+B$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $r$.

По условию $T = \frac{\pi}{2}$, поэтому:

$\frac{2\pi}{|r|} = \frac{\pi}{2}$

Отсюда выразим $|r|$:

$|r| = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$

Это означает, что $r=4$ или $r=-4$.

Ответ: $q=1$, $|p|=3$, $|r|=4$. Например, можно выбрать $p=3, q=1, r=4$.

б) $f(x)=(p-2)\cos\left(\left(2r+\frac{1}{3}\right)x\right)+|q+1|$, $E(f):[6;10]$, $T=6\pi$

1. Нахождение параметров $p$ и $q$ из множества значений $E(f)$.

Функция имеет вид $A\cos(kx)+C$, где амплитуда равна $|A| = |p-2|$, а вертикальный сдвиг $C = |q+1|$.

Множество значений такой функции есть отрезок $[C-|A|; C+|A|]$.

$\min(f) = |q+1| - |p-2| = 6$

$\max(f) = |q+1| + |p-2| = 10$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |q+1| + |p-2| = 10 \\ |q+1| - |p-2| = 6 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(|q+1| + |p-2|) + (|q+1| - |p-2|) = 10 + 6$

$2|q+1| = 16$

$|q+1| = 8$

Отсюда следует, что $q+1=8$ или $q+1=-8$. Значит, $q=7$ или $q=-9$.

Подставим значение $|q+1|=8$ в первое уравнение системы:

$8 + |p-2| = 10$

$|p-2| = 2$

Отсюда следует, что $p-2=2$ или $p-2=-2$. Значит, $p=4$ или $p=0$.

2. Нахождение параметра $r$ из периода $T$.

Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ - коэффициент при $x$. В данном случае $k = 2r+\frac{1}{3}$.

По условию $T = 6\pi$, поэтому:

$\frac{2\pi}{|2r+\frac{1}{3}|} = 6\pi$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{1}{|2r+\frac{1}{3}|} = 3$

$|2r+\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

Случай 1: $2r+\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \implies 2r = 0 \implies r=0$.

Случай 2: $2r+\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \implies 2r = -\frac{2}{3} \implies r=-\frac{1}{3}$.

Ответ: Возможные значения параметров: $p \in \{0, 4\}$, $q \in \{7, -9\}$, $r \in \{0, -1/3\}$. Любая комбинация этих значений является решением, например, $p=4, q=7, r=0$.

14. (4)Уровень воды Капчагайского водохранилища описывается функцией $h(t)=475-3\cos\frac{\pi}{6}t$, где $h(t)$ – высота (в метрах) над уровнем моря,

$t$ – номер месяца.

а) Чему равно наибольшее значение уровня воды в водохранилище? В каком месяце оно достигается?

б) Чему равно наименьшее значение уровня воды в водохранилище? В каком месяце оно достигается?

а) Для нахождения наибольшего значения функции $h(t) = 475 - 3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ необходимо, чтобы вычитаемое выражение $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ было как можно меньше. Поскольку область значений функции косинуса находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$, наименьшее значение выражения $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ будет достигнуто, когда $\cos(\frac{\pi}{6}t)$ примет свое минимальное значение, равное -1.

Тогда наибольшее значение уровня воды $h_{max}$ будет равно:

$h_{max} = 475 - 3 \cdot (-1) = 475 + 3 = 478$ метров.

Чтобы найти, в каком месяце $t$ это происходит, решим уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}t) = -1$

Общее решение для этого тригонометрического уравнения имеет вид $\frac{\pi}{6}t = \pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Сократим на $\pi$: $\frac{t}{6} = 1 + 2k$.

Выразим $t$: $t = 6 + 12k$.

Поскольку $t$ – это номер месяца (положительное целое число), возьмем наименьшее подходящее значение, которое получается при $k=0$:

$t = 6 + 12 \cdot 0 = 6$.

Наибольший уровень воды достигается в 6-м месяце (июне).

Ответ: наибольшее значение уровня воды равно 478 метрам и достигается в 6-м месяце.

б) Для нахождения наименьшего значения функции $h(t) = 475 - 3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ необходимо, чтобы вычитаемое выражение $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ было как можно больше. Это произойдет, когда $\cos(\frac{\pi}{6}t)$ примет свое максимальное значение, равное 1.

Тогда наименьшее значение уровня воды $h_{min}$ будет равно:

$h_{min} = 475 - 3 \cdot 1 = 475 - 3 = 472$ метра.

Чтобы найти, в каком месяце $t$ это происходит, решим уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}t) = 1$

Общее решение для этого уравнения имеет вид $\frac{\pi}{6}t = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Сократим на $\pi$: $\frac{t}{6} = 2k$.

Выразим $t$: $t = 12k$.

Поскольку $t$ – это номер месяца, нам нужно найти наименьшее положительное целое решение. При $k=0$ получаем $t=0$, что не является номером месяца. При $k=1$ получаем:

$t = 12 \cdot 1 = 12$.

Наименьший уровень воды достигается в 12-м месяце (декабре).

Ответ: наименьшее значение уровня воды равно 472 метрам и достигается в 12-м месяце.

15. (1) Постройте графики функций:

а) $y = \text{ctg } x$

б) $y = \text{ctg } \frac{1}{2}x$

в) $y = 2\text{ctg } \frac{1}{2}x$

г) $y = 2\text{ctg } \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

а) Для построения графика функции $y=\cot x$ (котангенсоида) воспользуемся ее свойствами:
1. Область определения: все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Функция является периодической с основным периодом $T=\pi$.
4. Функция является нечетной: $\cot(-x) = -\cot(x)$. График симметричен относительно начала координат.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
6. Функция убывает на каждом из интервалов $( \pi k, \pi(k+1) )$.
Построение:
Сначала строим вертикальные асимптоты $x=0, x=\pi, x=-\pi, \dots$
На основном промежутке $(0, \pi)$ отметим контрольные точки:
- нуль функции: $(\frac{\pi}{2}, 0)$;
- $(\frac{\pi}{4}, 1)$;
- $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
Соединяем точки плавной кривой, которая убывает и стремится к $+\infty$ при $x \to 0^+$ и к $-\infty$ при $x \to \pi^-$.
Затем, используя периодичность, повторяем эту ветвь на других интервалах.
Ответ: Графиком функции является котангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) График функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ можно получить из графика функции $y = \cot x$ путем преобразований.
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(kx)$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{k} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Основные характеристики изменятся следующим образом:
1. Период функции увеличится в 2 раза: $T = 2 \cdot \pi = 2\pi$.
2. Вертикальные асимптоты сместятся. Если у $y=\cot x$ асимптоты были $x = \pi k$, то теперь асимптоты будут находиться в точках, где $\frac{1}{2}x = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Нули функции также сместятся. Если у $y=\cot x$ нули были $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то теперь нули будут в точках, где $\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, чтобы построить этот график, нужно взять график $y = \cot x$ и растянуть его от оси Oy в 2 раза.
Ответ: График функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ получается из графика функции $y = \cot x$ путем растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $2\pi$.

в) График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ можно получить из графика функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$, построенного в предыдущем пункте.
Преобразование имеет вид $f(x) \to A \cdot f(x)$. В данном случае $A=2$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси Oy с коэффициентом $2$.
1. Период, область определения, положение нулей и вертикальных асимптот не изменяются по сравнению с графиком из пункта б). Период $T = 2\pi$, асимптоты $x = 2\pi k$, нули $x = \pi + 2\pi k$.
2. Каждое значение функции (ординaта) умножается на 2. Например, если точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ принадлежала графику $y = \cot(\frac{1}{2}x)$, то точка $(\frac{\pi}{2}, 2)$ будет принадлежать графику $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$. Аналогично, точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
График станет "круче", то есть будет быстрее убывать.
Ответ: График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ получается из графика функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.

г) График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$ можно получить из графика функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$, построенного в пункте в).
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-c)$. В данном случае $c=\frac{\pi}{3}$. Это преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси Ox на $c$ единиц вправо.
1. Весь график из пункта в) сдвигается вправо на $\frac{\pi}{3}$.
2. Вертикальные асимптоты $x = 2\pi k$ смещаются и становятся $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Нули функции $x = \pi + 2\pi k$ смещаются и становятся $x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Период и форма графика остаются такими же, как у функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$.
Ответ: График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$ получается из графика функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ путем сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо.