Страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

14. (3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x) = \frac{2x^3}{x^2-9}, x \in [4;6];$

б) $g(x) = \frac{x^3+2x^2}{x-2}, x \in [-1;1].$

а) $f(x) = \frac{2x^3}{x^2-9}, x \in [4; 6]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную, критические точки, а затем сравним значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x^3)'(x^2-9) - 2x^3(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{6x^2(x^2-9) - 2x^3(2x)}{(x^2-9)^2}$

$f'(x) = \frac{6x^4 - 54x^2 - 4x^4}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^4 - 54x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{2x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2} = 0$

Это уравнение равносильно $2x^2(x^2-27)=0$ при условии, что знаменатель не равен нулю ($x \neq \pm 3$).

Получаем два случая:

$2x^2 = 0 \implies x = 0$. Эта точка не принадлежит отрезку $[4; 6]$.

$x^2-27 = 0 \implies x^2 = 27 \implies x = \pm\sqrt{27} = \pm3\sqrt{3}$.

Отрицательный корень $x = -3\sqrt{3}$ не принадлежит отрезку $[4; 6]$.

Проверим, принадлежит ли $x = 3\sqrt{3}$ отрезку $[4; 6]$. Так как $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$, а $(3\sqrt{3})^2 = 27$, то $16 < 27 < 36$, следовательно $4 < 3\sqrt{3} < 6$. Точка $x=3\sqrt{3}$ принадлежит заданному отрезку.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=4$, $x=6$ и в критической точке $x=3\sqrt{3}$.

При $x=4$:

$f(4) = \frac{2 \cdot 4^3}{4^2-9} = \frac{2 \cdot 64}{16-9} = \frac{128}{7}$

При $x=6$:

$f(6) = \frac{2 \cdot 6^3}{6^2-9} = \frac{2 \cdot 216}{36-9} = \frac{432}{27} = 16$

При $x=3\sqrt{3}$:

$f(3\sqrt{3}) = \frac{2 \cdot (3\sqrt{3})^3}{(3\sqrt{3})^2-9} = \frac{2 \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3}}{27-9} = \frac{162\sqrt{3}}{18} = 9\sqrt{3}$

4. Сравним полученные значения: $\frac{128}{7}$, $16$ и $9\sqrt{3}$.

$\frac{128}{7} = 18\frac{2}{7}$.

Сравним $16$ и $9\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $16^2 = 256$, $(9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243$. Так как $256 > 243$, то $16 > 9\sqrt{3}$.

Таким образом, $18\frac{2}{7} > 16 > 9\sqrt{3}$.

Наибольшее значение функции равно $\frac{128}{7}$, а наименьшее – $9\sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции $9\sqrt{3}$, наибольшее значение функции $\frac{128}{7}$.

б) $g(x) = \frac{x^3+2x^2}{x-2}, x \in [-1; 1]$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = \frac{(x^3+2x^2)'(x-2) - (x^3+2x^2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{(3x^2+4x)(x-2) - (x^3+2x^2)(1)}{(x-2)^2}$

$g'(x) = \frac{3x^3 - 6x^2 + 4x^2 - 8x - x^3 - 2x^2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 4x^2 - 8x}{(x-2)^2} = \frac{2x(x^2-2x-4)}{(x-2)^2}$

2. Найдем критические точки из условия $g'(x) = 0$.

$\frac{2x(x^2-2x-4)}{(x-2)^2} = 0$

Условие $g'(x)=0$ выполняется, когда числитель равен нулю: $2x(x^2-2x-4)=0$.

Получаем два случая:

$2x=0 \implies x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

$x^2-2x-4=0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4+16=20$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.24$.

$x_1 = 1+\sqrt{5} \approx 3.24$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

$x_2 = 1-\sqrt{5} \approx -1.24$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Таким образом, единственная критическая точка в заданном отрезке — это $x=0$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-1$, $x=1$ и в критической точке $x=0$.

При $x=-1$:

$g(-1) = \frac{(-1)^3+2(-1)^2}{-1-2} = \frac{-1+2}{-3} = -\frac{1}{3}$

При $x=1$:

$g(1) = \frac{1^3+2 \cdot 1^2}{1-2} = \frac{1+2}{-1} = -3$

При $x=0$:

$g(0) = \frac{0^3+2 \cdot 0^2}{0-2} = \frac{0}{-2} = 0$

4. Сравним полученные значения: $-\frac{1}{3}$, $-3$ и $0$.

Очевидно, что $0 > -\frac{1}{3} > -3$.

Наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее – $-3$.

Ответ: наименьшее значение функции $-3$, наибольшее значение функции $0$.

15. (3) Дана функция $y = -x^3 + 26x$, имеющая область определения $x \in [-1;4]$.

Из всех точек графика данной функции определите ту, для которой сумма координат имеет:

а) наибольшее значение:

б) наименьшее значение.

Дана функция $y = -x^3 + 26x$ с областью определения $x \in [-1; 4]$.

Нам нужно найти точку на графике, для которой сумма координат $S = x + y$ будет наибольшей или наименьшей. Выразим сумму $S$ как функцию от переменной $x$:

$S(x) = x + y = x + (-x^3 + 26x) = -x^3 + 27x$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $S(x) = -x^3 + 27x$ на отрезке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке нужно вычислить её значения в критических точках и на концах отрезка. Сначала найдем производную функции $S(x)$:

$S'(x) = (-x^3 + 27x)' = -3x^2 + 27$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3x^2 + 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат заданному отрезку $x \in [-1; 4]$.

Точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$.

Точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 4]$, поэтому мы ее не рассматриваем.

Теперь вычислим значения функции $S(x)$ на концах отрезка (в точках $x=-1$ и $x=4$) и в критической точке $x=3$.

При $x = -1$:

$S(-1) = -(-1)^3 + 27(-1) = 1 - 27 = -26$.

При $x = 3$:

$S(3) = -(3)^3 + 27(3) = -27 + 81 = 54$.

При $x = 4$:

$S(4) = -(4)^3 + 27(4) = -64 + 108 = 44$.

Сравнивая полученные значения $S(-1)=-26$, $S(3)=54$ и $S(4)=44$, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения суммы координат.

а) наибольшее значение:

Наибольшее значение суммы $S_{max} = 54$ достигается при $x=3$. Теперь найдем соответствующую координату $y$, подставив $x=3$ в исходное уравнение функции:

$y = -(3)^3 + 26(3) = -27 + 78 = 51$.

Таким образом, точка с наибольшей суммой координат это $(3, 51)$.

Ответ: $(3, 51)$.

б) наименьшее значение:

Наименьшее значение суммы $S_{min} = -26$ достигается при $x=-1$. Найдем соответствующую координату $y$:

$y = -(-1)^3 + 26(-1) = -(-1) - 26 = 1 - 26 = -25$.

Таким образом, точка с наименьшей суммой координат это $(-1, -25)$.

Ответ: $(-1, -25)$.

16. (1) Используя замену $\cos x = t \in [-1;1]$, найдите наименьшее значение функции $f(x) = \cos^2 x + \cos x$. При каких значениях переменной $x$ функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения?

(1)

Дана функция $f(x) = \cos^2x + \cos x$. Для нахождения ее наименьшего значения воспользуемся предложенной заменой.

1. Введем замену переменной: $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинуса есть отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены функция $f(x)$ преобразуется в квадратичную функцию от $t$:

$g(t) = t^2 + t$.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$.

2. Графиком функции $g(t) = t^2 + t$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Свое наименьшее значение такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $t_в$ по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$:

$t_в = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку значение $t_в = -\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наименьшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Найдем это наименьшее значение, подставив $t_в$ в функцию $g(t)$:

$g_{наим} = g(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $-\frac{1}{4}$.

3. Теперь найдем значения переменной $x$, при которых функция достигает этого наименьшего значения. Это происходит при $t = -\frac{1}{2}$. Выполним обратную замену:

$\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{4}$; оно достигается при $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17. (3)

Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция $f(x)=3\cos 2x-4\sin x+2\sin^2 x+100$ принимает наибольшее значение.

Для нахождения всех значений $x$, при которых функция $f(x) = 3\cos2x - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100$ принимает наибольшее значение, мы преобразуем данное выражение, чтобы оно зависело только от одной тригонометрической функции.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = 3(1 - 2\sin^2 x) - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = 3 - 6\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100 = -4\sin^2 x - 4\sin x + 103$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего значения квадратичной функции $g(t) = -4t^2 - 4t + 103$ на отрезке $t \in [-1, 1]$.

Графиком функции $g(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, свое наибольшее значение такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-4}{-8} = -\frac{1}{2}$

Значение $t_0 = -1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, на котором мы рассматриваем функцию. Это означает, что наибольшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке достигается именно в вершине, то есть при $t = -1/2$.

Следовательно, исходная функция $f(x)$ принимает свое наибольшее значение тогда, когда $\sin x = -1/2$.

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Решениями являются две серии значений $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

18. (3) Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция

$f(x)=-4\sin^3 x-9\cos^2 x-6\sin x+1$ принимает:

а) наименьшее значение;

б) наибольшее значение.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(x) = -4\sin^3 x - 9\cos^2 x - 6\sin x + 1$ принимает наименьшее и наибольшее значения, мы сначала упростим выражение для функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы выразить функцию только через $\sin x$.
$f(x) = -4\sin^3 x - 9(1 - \sin^2 x) - 6\sin x + 1$
$f(x) = -4\sin^3 x - 9 + 9\sin^2 x - 6\sin x + 1$
$f(x) = -4\sin^3 x + 9\sin^2 x - 6\sin x - 8$
Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как значение синуса любого угла лежит в отрезке $[-1, 1]$, то переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению экстремумов (наименьшего и наибольшего значений) кубической функции $g(t) = -4t^3 + 9t^2 - 6t - 8$ на отрезке $[-1, 1]$.
Для этого найдем производную функции $g(t)$ по переменной $t$:
$g'(t) = (-4t^3 + 9t^2 - 6t - 8)' = -12t^2 + 18t - 6$
Найдем критические точки функции, решив уравнение $g'(t) = 0$:
$-12t^2 + 18t - 6 = 0$
Разделим все уравнение на $-6$ для упрощения:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или разложением на множители. Корнями уравнения являются:
$t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$
Обе критические точки $t = 1/2$ и $t = 1$ принадлежат рассматриваемому отрезку $[-1, 1]$.
Теперь найдем значения функции $g(t)$ в этих критических точках и на концах отрезка (в точках $t = -1$ и $t = 1$):
При $t = -1$: $g(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 4 + 9 + 6 - 8 = 11$
При $t = 1/2$: $g(\frac{1}{2}) = -4(\frac{1}{2})^3 + 9(\frac{1}{2})^2 - 6(\frac{1}{2}) - 8 = -4(\frac{1}{8}) + 9(\frac{1}{4}) - 3 - 8 = -\frac{1}{2} + \frac{9}{4} - 11 = -\frac{2}{4} + \frac{9}{4} - \frac{44}{4} = -\frac{37}{4} = -9,25$
При $t = 1$: $g(1) = -4(1)^3 + 9(1)^2 - 6(1) - 8 = -4 + 9 - 6 - 8 = -9$
Сравнивая вычисленные значения $g(-1) = 11$, $g(1/2) = -9,25$ и $g(1) = -9$, мы заключаем, что наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ равно $-9,25$ (достигается при $t=1/2$), а наибольшее значение равно $11$ (достигается при $t=-1$).

а) наименьшее значение;
Функция $f(x)$ принимает свое наименьшее значение, когда соответствующая переменная $t = \sin x$ равна значению, при котором функция $g(t)$ минимальна. Это значение $t = 1/2$.
Таким образом, нам необходимо найти все $x$, для которых выполняется равенство:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно также записать в виде двух серий решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) наибольшее значение.
Функция $f(x)$ принимает свое наибольшее значение, когда $t = \sin x$ равно значению, при котором функция $g(t)$ максимальна. Это значение $t = -1$.
Таким образом, нам необходимо найти все $x$, для которых выполняется равенство:
$\sin x = -1$
Общее решение этого уравнения:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

19. (4) Определите наибольшее и наименьшее значения функции $p(t)=|4t^2-15t+12|+5$ на отрезке $t \in [-1,2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $v(t) = |t|(4t^2 - 15t + 12) + 5$ на отрезке $t \in [-1, 2]$, необходимо исследовать значения функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих внутри этого отрезка.

Из-за наличия модуля $|t|$, рассмотрим функцию на двух подинтервалах: $[-1, 0)$ и $[0, 2]$.

1. На интервале $t \in [-1, 0)$, имеем $|t| = -t$. Функция принимает вид:

$v(t) = -t(4t^2 - 15t + 12) + 5 = -4t^3 + 15t^2 - 12t + 5$.

Найдем производную: $v'(t) = (-4t^3 + 15t^2 - 12t + 5)' = -12t^2 + 30t - 12$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $-12t^2 + 30t - 12 = 0$, что эквивалентно $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 0.5$ и $t_2 = 2$. Ни один из этих корней не принадлежит интервалу $(-1, 0)$, поэтому на этом интервале нет стационарных точек.

2. На отрезке $t \in [0, 2]$, имеем $|t| = t$. Функция принимает вид:

$v(t) = t(4t^2 - 15t + 12) + 5 = 4t^3 - 15t^2 + 12t + 5$.

Найдем производную: $v'(t) = (4t^3 - 15t^2 + 12t + 5)' = 12t^2 - 30t + 12$.

Приравняем производную к нулю: $12t^2 - 30t + 12 = 0$, что эквивалентно $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 0.5$ и $t_2 = 2$. Точка $t=0.5$ принадлежит интервалу $(0, 2)$ и является критической. Точка $t=2$ является концом отрезка.

3. Точка $t=0$ является точкой, где меняется определение функции (из-за модуля). В таких точках производная может не существовать, поэтому $t=0$ также является критической точкой.

4. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений, вычислим значения функции $v(t)$ в найденной критической точке $t=0.5$, в точке излома $t=0$ и на концах отрезка $t=-1$ и $t=2$.

При $t = -1$:

$v(-1) = |-1|(4(-1)^2 - 15(-1) + 12) + 5 = 1 \cdot (4 + 15 + 12) + 5 = 31 + 5 = 36$.

При $t = 0$:

$v(0) = |0|(4(0)^2 - 15(0) + 12) + 5 = 0 \cdot 12 + 5 = 5$.

При $t = 0.5$:

$v(0.5) = |0.5|(4(0.5)^2 - 15(0.5) + 12) + 5 = 0.5 \cdot (4 \cdot 0.25 - 7.5 + 12) + 5 = 0.5 \cdot (1 - 7.5 + 12) + 5 = 0.5 \cdot 5.5 + 5 = 2.75 + 5 = 7.75$.

При $t = 2$:

$v(2) = |2|(4(2)^2 - 15(2) + 12) + 5 = 2 \cdot (4 \cdot 4 - 30 + 12) + 5 = 2 \cdot (16 - 30 + 12) + 5 = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

5. Сравним полученные значения функции: $36, 5, 7.75, 1$.

Наибольшее значение функции

Сравнивая вычисленные значения $v(-1)=36$, $v(0)=5$, $v(0.5)=7.75$ и $v(2)=1$, находим, что наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно 36.

Ответ: 36.

Наименьшее значение функции

Сравнивая те же значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно 1.

Ответ: 1.

20. (4)

Определите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -\cot x - 2x$ на отрезке $x \in \left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Для того чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -\mathrm{ctg}\,x - 2x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

1. Нахождение производной.
Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (-\mathrm{ctg}\,x - 2x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) - 2 = \frac{1}{\sin^2 x} - 2$.

2. Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:$f'(x) = 0$$\frac{1}{\sin^2 x} - 2 = 0$$\frac{1}{\sin^2 x} = 2$$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$\sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Отбор критических точек.
Определим, какие из найденных точек принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке (первая координатная четверть) синус принимает только положительные значения, поэтому рассматриваем только уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Единственным решением этого уравнения на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ является $x = \frac{\pi}{4}$.Производная существует во всех точках данного отрезка, так как $\sin x \neq 0$ при $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.

4. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{\pi}{4}$ и на концах отрезка $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

• При $x = \frac{\pi}{6}$:$f(\frac{\pi}{6}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) - 2 \cdot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$
• При $x = \frac{\pi}{4}$:$f(\frac{\pi}{4}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 2 \cdot \frac{\pi}{4} = -1 - \frac{\pi}{2}$
• При $x = \frac{\pi}{2}$:$f(\frac{\pi}{2}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 0 - \pi = -\pi$

5. Сравнение значений и определение наибольшего и наименьшего.
Теперь сравним полученные значения: $-\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, $-1 - \frac{\pi}{2}$ и $-\pi$.Воспользуемся приблизительными значениями: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $f(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{3.14}{3} \approx -1.73 - 1.05 = -2.78$
• $f(\frac{\pi}{4}) = -1 - \frac{\pi}{2} \approx -1 - \frac{3.14}{2} = -1 - 1.57 = -2.57$
• $f(\frac{\pi}{2}) = -\pi \approx -3.14$

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$ равно $-1 - \frac{\pi}{2}$, а наименьшее значение равно $-\pi$.

У Аскара есть 20 разноцветных шариков: черного, синего, зеленого и желтого цветов. Из этих шариков 17 - не зелёные, 5 - чёрные, а 12 - не жёлтые. Сколько синих шариков у Аскара?

Для решения задачи определим количество шариков каждого цвета по отдельности.

Сначала найдем количество зеленых шариков. По условию, всего 20 шариков, из которых 17 — не зеленые. Это означает, что остальные шарики являются зелеными. Их количество:

$20 - 17 = 3$ (зеленых шарика).

Далее найдем количество желтых шариков. Из 20 шариков 12 — не желтые. Следовательно, количество желтых шариков равно:

$20 - 12 = 8$ (желтых шариков).

Из условия также известно, что черных шариков 5.

Теперь, зная количество черных, зеленых и желтых шариков, мы можем найти количество синих шариков. Для этого нужно из общего числа шариков вычесть сумму шариков всех остальных цветов:

$20 - (5 + 3 + 8) = 20 - 16 = 4$ (синих шарика).

Ответ: У Аскара 4 синих шарика.

22. Решите методом интервалов:

(1) а) $ \frac{3}{2x-1} > 0 $

(2) б) $ \frac{9-x^2}{3x+1} \ge \frac{2}{x} $

(3) в) $ x \ge \frac{25}{1-x} - 9 $. В ответе укажите наименьшее решение.

а)Решим неравенство $\frac{3}{2x-1} > 0$.
Это дробно-рациональное неравенство. Так как числитель дроби, равный 3, является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была больше нуля, необходимо, чтобы и знаменатель был больше нуля.
Составим и решим неравенство:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
Таким образом, решением неравенства является интервал от $\frac{1}{2}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (0.5; +\infty)$.

б)Решим неравенство $\frac{9-x^2}{3x+1} \geq \frac{2}{x}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:
$3x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$
$x \neq 0$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{9-x^2}{3x+1} - \frac{2}{x} \geq 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(3x+1)$:
$\frac{x(9-x^2) - 2(3x+1)}{x(3x+1)} \geq 0$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{9x-x^3 - 6x-2}{x(3x+1)} \geq 0$
$\frac{-x^3+3x-2}{x(3x+1)} \geq 0$
Для удобства умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x^3-3x+2}{x(3x+1)} \leq 0$
Разложим числитель $P(x) = x^3-3x+2$ на множители. Подбором находим корень $x=1$, так как $1^3-3(1)+2 = 0$. Значит, $(x-1)$ является одним из множителей. Разделим многочлен на $(x-1)$ и получим $x^2+x-2$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.
Таким образом, числитель равен $(x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-1)^2(x+2)}{x(3x+1)} \leq 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
Нули числителя: $(x-1)^2=0 \implies x=1$ (корень кратности 2); $x+2=0 \implies x=-2$.
Нули знаменателя: $x=0

23. (1)

Две материальные точки в момент времени $t=0$ начинают движение и движутся таким образом, что расстояние между ними описывается функцией от времени $S(t)=\sqrt{8t+36}$. Чему может быть равно наименьшее расстояние между ними?

A) недостаточно данных; B) 4; C) 5; D) 6; E) 0.

(1) Чтобы найти наименьшее расстояние между двумя материальными точками, нам необходимо найти минимальное значение функции расстояния $S(t) = \sqrt{8t + 36}$ при условии, что время $t \ge 0$.

Функция квадратного корня $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение всей функции. Следовательно, чтобы найти наименьшее значение функции $S(t)$, нам нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения $y(t) = 8t + 36$.

Выражение $y(t) = 8t + 36$ представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом (равным 8). Такая функция является возрастающей на всей своей области определения. Поскольку движение начинается в момент времени $t=0$, мы рассматриваем эту функцию на интервале $[0, +\infty)$.

Для возрастающей функции наименьшее значение на заданном интервале достигается в его начальной точке. В нашем случае начальная точка — это $t=0$.

Подставим значение $t=0$ в исходную функцию расстояния $S(t)$:

$S(0) = \sqrt{8 \cdot 0 + 36} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6$.

Таким образом, наименьшее расстояние между точками равно 6 и достигается в начальный момент времени $t=0$.

Ответ: 6.

24. (3) В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном магазине подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно. Сколько наборов продали за 7 дней, если во второй день продали 95 наборов, а в пятый день - 140?

Поскольку количество продаваемых подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Пусть $a_n$ — количество наборов, проданных в $n$-й день. Тогда $a_1$ — количество наборов, проданных в первый день, а $d$ — ежедневное увеличение количества проданных наборов (разность прогрессии).

Из условия задачи известно:

Количество наборов, проданных во второй день: $a_2 = 95$.

Количество наборов, проданных в пятый день: $a_5 = 140$.

Запишем эти условия, используя формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d \Rightarrow a_1 + d = 95$

$a_5 = a_1 + (5-1)d \Rightarrow a_1 + 4d = 140$

Мы получили систему двух линейных уравнений. Для ее решения вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 140 - 95$

$3d = 45$

$d = \frac{45}{3} = 15$

Таким образом, каждый день продажи увеличивались на 15 наборов.

Теперь найдем количество наборов, проданных в первый день ($a_1$), подставив значение $d=15$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 15 = 95$

$a_1 = 95 - 15 = 80$

В первый день было продано 80 наборов.

Для нахождения общего количества наборов, проданных за 7 дней ($S_7$), воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $n=7$, $a_1=80$ и $d=15$:

$S_7 = \frac{2 \cdot 80 + (7-1) \cdot 15}{2} \cdot 7$

$S_7 = \frac{160 + 6 \cdot 15}{2} \cdot 7$

$S_7 = \frac{160 + 90}{2} \cdot 7$

$S_7 = \frac{250}{2} \cdot 7$

$S_7 = 125 \cdot 7 = 875$

Ответ: 875.