Страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Число 200 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было максимальным.

Пусть искомые два положительных слагаемых — это $x$ и $y$.

По условию задачи их сумма равна 200. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 200$

Так как слагаемые положительные, то $x > 0$ и $y > 0$.

Нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было максимальным.

Для того чтобы решить эту задачу, выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 200 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения. Произведение $P$ станет функцией одной переменной $x$:

$P(x) = x \cdot (200 - x) = 200x - x^2$

Наша задача свелась к нахождению максимума функции $P(x) = -x^2 + 200x$. Условия $x > 0$ и $y > 0$ (то есть $200 - x > 0$) означают, что мы ищем максимум на интервале $0 < x < 200$.

Чтобы найти максимум функции, найдем ее производную и приравняем к нулю.

Производная функции $P(x)$ равна:

$P'(x) = (200x - x^2)' = 200 - 2x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$200 - 2x = 0$

$2x = 200$

$x = 100$

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, можно исследовать знак производной или найти вторую производную.

Найдем вторую производную:

$P''(x) = (200 - 2x)' = -2$

Поскольку вторая производная $P''(x) = -2$ отрицательна, точка $x=100$ является точкой максимума функции $P(x)$.

Теперь найдем второе слагаемое $y$:

$y = 200 - x = 200 - 100 = 100$

Таким образом, число 200 нужно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых равно 100.

Ответ: 100 и 100.

Упражнение 2

Из кирпича размером $20\times10\times5\text{ см}$ требуется сложить изгородь толщиной $10\text{ см}$ и высотой $0,5\text{ м}$, огораживающую прямоугольный участок. Каким образом надо строить изгородь, чтобы площадь участка оказалась максимальной, если количество кирпича ограничено?

Для решения этой задачи необходимо определить, как форма прямоугольного участка влияет на его площадь при фиксированном количестве строительного материала. Ограниченное количество кирпича означает, что общий объем, который можно построить, является постоянной величиной.

Пусть $V_{общий}$ — это общий объем всех имеющихся кирпичей. Этот объем постоянен. Изгородь имеет форму длинной стены с постоянной высотой $h$ и толщиной $t$. Объем изгороди можно выразить через ее периметр $P$, высоту $h$ и толщину $t$:$V_{изгороди} = P \times h \times t$.

Поскольку весь кирпич идет на изгородь ($V_{изгороди} = V_{общий}$), а высота и толщина заданы и постоянны ($h = 0,5 \text{ м} = 50 \text{ см}$, $t = 10 \text{ см}$), то периметр изгороди $P$ также должен быть постоянной величиной:$P = \frac{V_{общий}}{h \times t} = \frac{V_{общий}}{50 \times 10} = \frac{V_{общий}}{500} = \text{const}$.

Теперь задача сводится к классической геометрической задаче: найти прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре. Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$.Периметр: $P = 2(a + b)$.Площадь: $S = a \times b$.

Необходимо максимизировать $S$. Выразим одну из сторон через периметр $P$:$a + b = \frac{P}{2} \implies b = \frac{P}{2} - a$.Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:$S(a) = a \left(\frac{P}{2} - a\right) = \frac{P}{2}a - a^2$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине. Абсциссу вершины можно найти, взяв производную функции $S(a)$ по $a$ и приравняв ее к нулю:$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{P}{2}a - a^2\right) = \frac{P}{2} - 2a$.Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:$\frac{P}{2} - 2a = 0 \implies 2a = \frac{P}{2} \implies a = \frac{P}{4}$.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:$b = \frac{P}{2} - a = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$.Таким образом, максимальная площадь достигается, когда $a = b$. Это означает, что прямоугольный участок должен иметь форму квадрата.

Ответ: Чтобы площадь огораживаемого участка оказалась максимальной, изгородь необходимо строить в форме квадрата.

Упражнение 3

На координатной плоскости рассматриваются всевозможные треугольники $ABC$, у каждого из которых $\angle ABC = 90^\circ$, вершина $A$ имеет координаты $(-4; 0)$. Вершина $B$ лежит на отрезке $[0;4]$ оси $Ox$, а вершина $C$ лежит на параболе $y = 4x - x^2$. Какие координаты должна иметь вершина $C$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Обозначим координаты вершин треугольника в соответствии с условиями задачи. Вершина $A$ имеет фиксированные координаты $A(-4; 0)$. Вершина $B$ лежит на отрезке $[0; 4]$ оси $Ox$, следовательно, её координаты можно записать как $B(b; 0)$, где $0 \le b \le 4$. Вершина $C$ лежит на параболе $y = 4x - x^2$. Обозначим её координаты как $C(x_C; y_C)$.

В треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC$ прямой, то есть равен $90^\circ$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на оси абсцисс ($Ox$), сторона $AB$ является горизонтальным отрезком. Чтобы угол при вершине $B$ был прямым, сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$, а значит, должна быть вертикальным отрезком. Это условие выполняется, если абсциссы точек $B$ и $C$ совпадают. Таким образом, $x_C = b$.

Поскольку вершина $C(x_C, y_C)$ принадлежит параболе $y = 4x - x^2$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставив $x_C = b$, мы найдем ординату точки $C$: $y_C = 4b - b^2$. Итак, координаты вершин треугольника выражаются через один параметр $b$: $A(-4; 0)$, $B(b; 0)$, $C(b; 4b - b^2)$, причём $b \in [0; 4]$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения длин его катетов $AB$ и $BC$. Найдем длины этих катетов. Длина катета $AB$ — это расстояние между точками $A(-4; 0)$ и $B(b; 0)$: $AB = |b - (-4)| = |b+4|$. Так как по условию $b \ge 0$, то $b+4$ всегда положительно, следовательно, $AB = b+4$. Длина катета $BC$ — это расстояние между точками $B(b; 0)$ и $C(b; 4b - b^2)$: $BC = |(4b - b^2) - 0| = |4b - b^2|$. На отрезке $[0; 4]$ функция $f(b) = 4b - b^2 = b(4-b)$ неотрицательна, поэтому $BC = 4b - b^2$.

Теперь можно записать площадь треугольника как функцию от переменной $b$: $S(b) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2}(b+4)(4b - b^2)$. Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции $S(b)$ на отрезке $[0; 4]$. Для удобства дифференцирования раскроем скобки: $S(b) = \frac{1}{2}(4b^2 - b^3 + 16b - 4b^2) = \frac{1}{2}(16b - b^3) = 8b - \frac{1}{2}b^3$.

Для поиска точки максимума найдем производную функции $S(b)$ по $b$: $S'(b) = (8b - \frac{1}{2}b^3)' = 8 - \frac{1}{2} \cdot 3b^2 = 8 - \frac{3}{2}b^2$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $8 - \frac{3}{2}b^2 = 0$ $\frac{3}{2}b^2 = 8$ $3b^2 = 16$ $b^2 = \frac{16}{3}$ $b = \pm\sqrt{\frac{16}{3}} = \pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Из найденных значений нас интересует только то, которое принадлежит отрезку $[0; 4]$. Это $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Убедимся, что это значение находится в нужном интервале: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $b \approx \frac{4 \cdot 1.732}{3} \approx 2.309$, что действительно лежит в отрезке $[0; 4]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо сравнить её значения в критической точке и на концах отрезка. $S(0) = 8(0) - \frac{1}{2}(0)^3 = 0$. $S(4) = 8(4) - \frac{1}{2}(4)^3 = 32 - \frac{64}{2} = 32 - 32 = 0$. $S\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = 8\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{32\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{64 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{32\sqrt{3}}{3} - \frac{32\sqrt{3}}{9} = \frac{96\sqrt{3} - 32\sqrt{3}}{9} = \frac{64\sqrt{3}}{9}$. Поскольку $S\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) > 0$, а на концах отрезка площадь равна нулю, то максимальное значение площади достигается при $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Наконец, найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$, соответствующие этому значению $b$. Абсцисса вершины $C$: $x_C = b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Ордината вершины $C$: $y_C = 4b - b^2 = 4\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) - \frac{16}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}$. Таким образом, искомые координаты вершины $C$ равны $\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}\right)$.

Ответ: Координаты вершины $C$ должны быть $\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}\right)$.

Упражнение 4

Корабль стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С корабля можно послать матроса в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу, от ближайшей точки берега (лагерь расположен на берегу). Матрос передвигается по берегу со скоростью 5 км/ч, а на веслах – 4 км/ч. В каком пункте берега он должен причалить, чтобы оказаться в лагере в кратчайшее время?

Для решения этой оптимизационной задачи введем переменные и составим функцию, которую необходимо минимизировать.

Пусть:

• Точка A — ближайшая точка на берегу к кораблю.
• Точка К — местоположение корабля. Расстояние КА = 9 км.
• Точка Л — местоположение лагеря. Расстояние АЛ = 15 км. Берег считаем прямой линией.
• Точка П — точка на берегу, в которой причалит матрос.

Пусть расстояние от точки А до точки П равно $x$ км. Тогда матрос причалит в точке П, находящейся на отрезке АЛ. Расстояние, которое матрос пройдет пешком от точки П до лагеря Л, составит $15 - x$ км. Диапазон возможных значений для $x$ — от 0 до 15, то есть $x \in [0, 15]$.

Путь матроса состоит из двух частей:

1. Путь на веслах от корабля (К) до точки причала (П).
Этот путь является гипотенузой прямоугольного треугольника КАП с катетами КА = 9 км и АП = $x$ км. Длина этого пути $S_1$ по теореме Пифагора равна:
$S_1(x) = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км.
Скорость на веслах $v_1 = 4$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок:
$t_1(x) = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4}$ ч.

2. Путь пешком от точки причала (П) до лагеря (Л).
Длина этого пути $S_2$ равна:
$S_2(x) = 15 - x$ км.
Скорость пешком $v_2 = 5$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок:
$t_2(x) = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой времен $t_1$ и $t_2$:
$T(x) = t_1(x) + t_2(x) = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти значение $x$, при котором функция $T(x)$ достигает своего минимума на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left( \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (2x) - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$T'(x) = 0$
$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0$
$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{5}$
$5x = 4\sqrt{81 + x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (так как $x$ представляет расстояние, оно не может быть отрицательным, $x \ge 0$):
$(5x)^2 = (4\sqrt{81 + x^2})^2$
$25x^2 = 16(81 + x^2)$
$25x^2 = 1296 + 16x^2$
$25x^2 - 16x^2 = 1296$
$9x^2 = 1296$
$x^2 = \frac{1296}{9} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$

Мы нашли критическую точку $x = 12$. Это значение входит в наш интервал $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить знак производной слева и справа от $x=12$.
При $x < 12$, $T'(x) < 0$ (функция убывает).
При $x > 12$, $T'(x) > 0$ (функция возрастает).
Следовательно, $x=12$ является точкой минимума.
Таким образом, для достижения лагеря в кратчайшее время матрос должен причалить в точке, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к кораблю точки на берегу (точки А) в сторону лагеря.

Ответ: Матрос должен причалить в точке на берегу, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к кораблю точки, двигаясь в направлении лагеря.