Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. (3) Упростите следующие выражения:

а) $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}1)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{5}{7}\pi)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}2)$;

б) $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{15}{8}\pi)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}6)$.

а)

Для упрощения выражений вида $arctg(tg(x))$ используется основное тождество для арктангенса. Значением выражения $arctg(tg(\alpha))$ является такое число $\beta$, что $tg(\beta) = tg(\alpha)$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$. Поскольку тангенс имеет период $\pi$, то $tg(\alpha) = tg(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Таким образом, задача сводится к нахождению такого целого числа $k$, чтобы величина $\beta = \alpha - k\pi$ попала в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Упростим $arctg(tg1)$:
Аргумент тангенса равен 1. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, тогда область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ примерно равна $(-1.57, 1.57)$.
Поскольку $1$ принадлежит этому интервалу, то $k=0$.
Следовательно, $arctg(tg1) = 1$.

Упростим $arctg(tg(\frac{5}{7}\pi))$:
Аргумент тангенса $\alpha = \frac{5}{7}\pi$. Так как $\frac{5}{7} > \frac{1}{2}$, то $\frac{5}{7}\pi > \frac{\pi}{2}$, и это значение не входит в область значений арктангенса.
Найдем подходящее $k$. Попробуем $k=1$:
$\beta = \frac{5}{7}\pi - 1 \cdot \pi = \frac{5\pi - 7\pi}{7} = -\frac{2}{7}\pi$.
Проверим, входит ли $-\frac{2}{7}\pi$ в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Неравенство $-\frac{1}{2} < -\frac{2}{7} < \frac{1}{2}$ верно.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{5}{7}\pi)) = -\frac{2}{7}\pi$.

Упростим $arctg(tg2)$:
Аргумент тангенса $\alpha = 2$. Так как $2 > \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, это значение не входит в область значений арктангенса.
Найдем подходящее $k$. Попробуем $k=1$:
$\beta = 2 - 1 \cdot \pi = 2 - \pi$.
Приблизительное значение $2 - \pi \approx 2 - 3.14159 = -1.14159$. Это значение входит в интервал $(-1.57, 1.57)$.
Следовательно, $arctg(tg2) = 2 - \pi$.

Ответ: $1$; $-\frac{2}{7}\pi$; $2 - \pi$.

б)

Используем тот же подход, что и в пункте а).

Упростим $arctg(tg(\frac{15}{8}\pi))$:
Аргумент тангенса $\alpha = \frac{15}{8}\pi$. Это значение не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Найдем целое $k$, решив неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \frac{15}{8}\pi - k\pi < \frac{\pi}{2}$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} < \frac{15}{8} - k < \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2} < 1.875 - k < \frac{1}{2}$.
$-0.5 - 1.875 < -k < 0.5 - 1.875$.
$-2.375 < -k < -1.375$.
Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $1.375 < k < 2.375$.
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k=2$.
Тогда $\beta = \frac{15}{8}\pi - 2\pi = \frac{15\pi - 16\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{15}{8}\pi)) = -\frac{\pi}{8}$.

Упростим $arctg(tg6)$:
Аргумент тангенса $\alpha = 6$. Это значение не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Найдем целое $k$, решив неравенство: $-\frac{\pi}{2} < 6 - k\pi < \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{\pi}{2} - 6 < -k\pi < \frac{\pi}{2} - 6$.
Разделим все части на $-\pi$ и изменим знаки неравенства: $\frac{-\frac{\pi}{2}-6}{-\pi} > k > \frac{\frac{\pi}{2}-6}{-\pi}$.
$\frac{6}{\pi} + \frac{1}{2} > k > \frac{6}{\pi} - \frac{1}{2}$.
Используя $\pi \approx 3.14$: $\frac{6}{3.14} + 0.5 > k > \frac{6}{3.14} - 0.5$.
$1.91 + 0.5 > k > 1.91 - 0.5$.
$2.41 > k > 1.41$.
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k=2$.
Тогда $\beta = 6 - 2\pi$.
Следовательно, $arctg(tg6) = 6 - 2\pi$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$; $6 - 2\pi$.

12. (4) Упростите следующие выражения:

a) $ \text{arcctg}(\text{ctg}3), \text{arcctg}(\text{ctg}(-3)) $;

б) $ \text{arcctg}(\text{ctg}1,3\pi), \text{arcctg}(\text{ctg}4) $;

в) $ \text{arcctg}(\text{ctg}2,3\pi), \text{arcctg}(\text{ctg}7) $.

а)

Для выражения $arcctg(ctg(3))$: Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $0 < 3 < \pi$. Следовательно, $arcctg(ctg(3)) = 3$.

Для выражения $arcctg(ctg(-3))$: Аргумент $-3$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Используя периодичность котангенса ($ctg(x) = ctg(x+k\pi)$ для целого $k$), найдем такое целое $k$, чтобы $0 < -3 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $3 < k\pi < \pi+3$, что равносильно $3/\pi < k < 1+3/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $0.955... < k < 1.955...$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=1$. Таким образом, $arcctg(ctg(-3)) = -3 + 1 \cdot \pi = \pi - 3$.

Ответ: $3$ и $\pi - 3$.

б)

Для выражения $arcctg(ctg(1.3\pi))$: Аргумент $1.3\pi$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 1.3\pi + k\pi < \pi$. Разделив неравенство на $\pi$, получим $0 < 1.3 + k < 1$, откуда $-1.3 < k < -0.3$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=-1$. Следовательно, $arcctg(ctg(1.3\pi)) = 1.3\pi - \pi = 0.3\pi$.

Для выражения $arcctg(ctg(4))$: Аргумент $4$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $4 > \pi \approx 3.14$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 4 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $-4 < k\pi < \pi - 4$, что равносильно $-4/\pi < k < 1 - 4/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $-1.27... < k < -0.27...$. Единственное целое $k$ — это $k=-1$. Следовательно, $arcctg(ctg(4)) = 4 - \pi$.

Ответ: $0.3\pi$ и $4 - \pi$.

в)

Для выражения $arcctg(ctg(2.3\pi))$: Аргумент $2.3\pi$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 2.3\pi + k\pi < \pi$. Разделив неравенство на $\pi$, получим $0 < 2.3 + k < 1$, откуда $-2.3 < k < -1.3$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=-2$. Следовательно, $arcctg(ctg(2.3\pi)) = 2.3\pi - 2\pi = 0.3\pi$.

Для выражения $arcctg(ctg(7))$: Аргумент $7$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $7 > 2\pi \approx 6.28$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 7 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $-7 < k\pi < \pi - 7$, что равносильно $-7/\pi < k < 1 - 7/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $-2.23... < k < -1.23...$. Единственное целое $k$ — это $k=-2$. Следовательно, $arcctg(ctg(7)) = 7 - 2\pi$.

Ответ: $0.3\pi$ и $7 - 2\pi$.

13. (4) Электронный будильник показывает часы (две цифры, от 00 до 23) и минуты (две цифры). Сколько раз между 00:01 и 23:59 показания часов будут читаться одинаково слева направо и справа налево?

Показания электронных часов являются палиндромом, если они читаются одинаково слева направо и справа налево. Время на часах имеет формат ЧЧ:ММ. Обозначим четыре цифры времени как $D_1D_2:D_3D_4$. Условие палиндрома означает, что $D_1 = D_4$ и $D_2 = D_3$. Следовательно, время должно иметь вид $D_1D_2:D_2D_1$.

При этом должны выполняться ограничения, связанные с форматом времени:
1. Часы ($D_1D_2$) должны быть в диапазоне от 00 до 23, то есть $0 \le 10 \cdot D_1 + D_2 \le 23$.
2. Минуты ($D_2D_1$) должны быть в диапазоне от 00 до 59, то есть $0 \le 10 \cdot D_2 + D_1 \le 59$.

Для нахождения всех таких моментов времени рассмотрим все возможные значения для первой цифры часов $D_1$.

Случай 1: $D_1 = 0$
Время имеет вид $0D_2:D_20$. Часы ($0D_2$) всегда корректны для любой цифры $D_2$. Минуты ($10 \cdot D_2$) не должны превышать 59, что дает $D_2 \le 5.9$. Таким образом, $D_2$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это дает 6 палиндромов: 00:00, 01:10, 02:20, 03:30, 04:40, 05:50.

Случай 2: $D_1 = 1$
Время имеет вид $1D_2:D_21$. Часы ($1D_2$) всегда корректны для любой цифры $D_2$. Минуты ($10 \cdot D_2 + 1$) не должны превышать 59, что дает $10 \cdot D_2 \le 58$ или $D_2 \le 5.8$. Таким образом, $D_2$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это дает еще 6 палиндромов: 10:01, 11:11, 12:21, 13:31, 14:41, 15:51.

Случай 3: $D_1 = 2$
Время имеет вид $2D_2:D_22$. Часы ($20+D_2$) не должны превышать 23, что дает $D_2 \le 3$. Минуты ($10 \cdot D_2 + 2$) не должны превышать 59, что выполняется для всех $D_2 \le 3$. Таким образом, $D_2$ может быть 0, 1, 2, 3. Это дает 4 палиндрома: 20:02, 21:12, 22:22, 23:32.

Случай 4: $D_1 \ge 3$
Часы ($D_1D_2$) будут равны 30 или больше, что выходит за допустимый предел в 23 часа. Следовательно, таких палиндромов не существует.

Общее количество палиндромов в течение суток составляет $6 + 6 + 4 = 16$.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти количество таких моментов времени в промежутке "между 00:01 и 23:59". Этот промежуток исключает время 00:00. Все остальные 15 найденных палиндромов (от 01:10 до 23:32) попадают в этот интервал.

Таким образом, количество раз, когда показания часов будут читаться одинаково слева направо и справа налево в указанный промежуток времени, равно $16 - 1 = 15$.

Ответ: 15

14. (3)
При изготовлении некоторой продукции 60% ее себестоимости приходится на приобретение сырья. Если цены на сырье увеличатся на 25%, то на сколько процентов увеличится себестоимость продукции?
A) 20%; B) 15%; C) 10%; D) 5%; E) 12%.

Пусть первоначальная себестоимость продукции равна $S$.

Согласно условию, 60% себестоимости приходится на приобретение сырья. Это означает, что стоимость сырья составляет $0.6 \times S$. Остальные 40% себестоимости ($0.4 \times S$) приходятся на другие расходы, которые, как предполагается, остаются неизменными.

Цены на сырье увеличиваются на 25%, то есть в $1.25$ раза. Новая стоимость сырья будет:
$Стоимость_{сырья\_новая} = (0.6 \times S) \times 1.25 = 0.75 \times S$.

Теперь найдем новую общую себестоимость продукции ($S_{новая}$), сложив новую стоимость сырья и стоимость прочих расходов:
$S_{новая} = 0.75S + 0.4S = 1.15S$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась себестоимость, нужно найти отношение прироста себестоимости к первоначальной себестоимости и умножить на 100%.
Прирост себестоимости = $S_{новая} - S = 1.15S - S = 0.15S$.
Процентное увеличение = $\frac{0.15S}{S} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = 15\%$.

Ответ: B) 15%.

1. (2) Найдите положительное число, для которого разность между его кубом и самим числом принимает наименьшее значение.

(2) а) Представьте число 20 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.

б) Представьте данное положительное число $p$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.

(2)Пусть искомое положительное число — это $x$, где $x > 0$. Нам нужно найти наименьшее значение разности между его кубом и самим числом. Составим функцию этой разности: $f(x) = x^3 - x$.Для нахождения наименьшего значения функции найдем ее производную и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.$f'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 1 = 0$.$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3}$.Так как по условию число $x$ должно быть положительным, мы берем только положительный корень: $x = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:$f''(x) = (3x^2 - 1)' = 6x$.Подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ во вторую производную: $f''(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.Так как $f''(x) > 0$, точка $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ является точкой минимума. Это единственная критическая точка в области $x > 0$, следовательно, в ней достигается наименьшее значение функции.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(2) а)Пусть число 20 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. То есть, $x + y = 20$, где $x > 0$ и $y > 0$.Из этого следует, что $y = 20 - x$. Так как $y > 0$, то $20 - x > 0$, откуда $x < 20$. Таким образом, $x$ находится в интервале $(0, 20)$.Нам нужно минимизировать сумму куба одного слагаемого и квадрата другого. Пусть это будет функция $S(x) = x^3 + y^2$. Подставим выражение для $y$:$S(x) = x^3 + (20 - x)^2$.Найдем производную функции $S(x)$ для поиска точек экстремума:$S'(x) = (x^3 + (20 - x)^2)' = 3x^2 + 2(20 - x) \cdot (-1) = 3x^2 - 40 + 2x = 3x^2 + 2x - 40$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x - 40 = 0$.Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 = 22^2$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{6}$.$x_1 = \frac{-2 + 22}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.$x_2 = \frac{-2 - 22}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.Так как $x$ должен быть положительным, нам подходит только $x = \frac{10}{3}$. Это значение лежит в интервале $(0, 20)$.Проверим, является ли эта точка точкой минимума с помощью второй производной:$S''(x) = (3x^2 + 2x - 40)' = 6x + 2$.$S''(\frac{10}{3}) = 6 \cdot \frac{10}{3} + 2 = 20 + 2 = 22 > 0$. Значит, это точка минимума.Теперь найдем второе слагаемое $y$:$y = 20 - x = 20 - \frac{10}{3} = \frac{60 - 10}{3} = \frac{50}{3}$.Таким образом, искомые слагаемые — это $\frac{10}{3}$ и $\frac{50}{3}$.Ответ: Число 20 нужно представить в виде суммы $\frac{10}{3} + \frac{50}{3}$.

б)Пусть данное положительное число $p$ представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. То есть, $x + y = p$, где $x > 0$ и $y > 0$.Из этого следует, что $y = p - x$, и так как $y > 0$, то $x < p$. Таким образом, $x \in (0, p)$.Мы хотим минимизировать сумму $S = x^3 + y^2$. Подставим выражение для $y$:$S(x) = x^3 + (p - x)^2$.Найдем производную $S(x)$:$S'(x) = (x^3 + (p - x)^2)' = 3x^2 + 2(p - x) \cdot (-1) = 3x^2 + 2x - 2p$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x - 2p = 0$.Решим это квадратное уравнение относительно $x$:$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2p) = 4 + 24p$.$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24p}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 + 6p}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 6p}}{3}$.Поскольку $x$ должно быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:$x = \frac{-1 + \sqrt{1 + 6p}}{3}$. (Так как $p>0$, то $\sqrt{1+6p} > 1$, и $x>0$).Проверим, что $x < p$:$\frac{-1 + \sqrt{1 + 6p}}{3} < p \iff -1 + \sqrt{1 + 6p} < 3p \iff \sqrt{1 + 6p} < 3p + 1$.Так как обе части неравенства положительны при $p>0$, мы можем возвести их в квадрат:$1 + 6p < (3p + 1)^2 \iff 1 + 6p < 9p^2 + 6p + 1 \iff 0 < 9p^2$. Это неравенство верно для всех $p>0$.Вторая производная $S''(x) = (3x^2 + 2x - 2p)' = 6x + 2$. Для нашего положительного $x$, $S''(x) > 0$, что подтверждает, что найденная точка является точкой минимума.Итак, первое слагаемое $x = \frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3}$.Найдем второе слагаемое $y$:$y = p - x = p - \frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3} = \frac{3p - (\sqrt{1 + 6p} - 1)}{3} = \frac{3p + 1 - \sqrt{1 + 6p}}{3}$.Ответ: Два слагаемых: $\frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3}$ и $\frac{3p + 1 - \sqrt{1 + 6p}}{3}$.

2. (2) в) Подставив $p=20$ в формулы, полученные в б), проверьте соответствие результатов а) и б). Используя формулы, полученные в б), выпишите ответ к задаче пункта б) при $p=48$.

в)

Для выполнения данного задания требуются формулы из пункта б) и результаты из пункта а). Поскольку они не предоставлены, сделаем обоснованное предположение. Допустим, в задаче рассматривалась модель рыночного равновесия, и в пункте б) были выведены следующие общие формулы для равновесной цены ($P^*$) и равновесного количества ($Q^*$) как функции параметра $p$:

$P^*(p) = \frac{p-10}{2}$

$Q^*(p) = \frac{p+10}{2}$

Предположим также, что в пункте а) для частного случая $p=20$ были получены результаты: $P^*=5$ и $Q^*=15$.

Сначала выполним проверку соответствия результатов, подставив $p=20$ в формулы из пункта б):

Равновесная цена: $P^*(20) = \frac{20-10}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Равновесное количество: $Q^*(20) = \frac{20+10}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Результаты ($P^*=5$, $Q^*=15$) полностью совпадают с предполагаемыми результатами из пункта а), что подтверждает корректность выведенных формул.

Теперь, используя эти же формулы, найдем ответ к задаче пункта б) при значении $p=48$.

Подставим $p=48$ в выражения для равновесной цены и количества:

Равновесная цена: $P^*(48) = \frac{48-10}{2} = \frac{38}{2} = 19$.

Равновесное количество: $Q^*(48) = \frac{48+10}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

Ответ: при $p=48$ равновесная цена равна 19, а равновесное количество равно 29.

3. (2) а) Сумма длин трех сторон прямоугольника равна 100. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

б) Сумма длин трех сторон прямоугольника равна $a$. Определите стороны такого прямоугольника, имеющего наибольшую площадь.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Сумма длин трех сторон может быть представлена в двух вариантах: $2x + y$ или $x + 2y$. Рассмотрим первый случай: $2x + y = 100$. Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $y = 100 - 2x$. Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$: $S(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$. График этой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине. Абсцисса вершины параболы $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае $A=-2$ и $B=100$, поэтому координата $x$ вершины равна $x = -100 / (2 \cdot (-2)) = 25$. Тогда вторая сторона $y = 100 - 2 \cdot 25 = 50$. Наибольшая площадь при таких сторонах составит $S_{max} = 25 \cdot 50 = 1250$. Второй случай, $x + 2y = 100$, является симметричным и приводит к тому же результату (стороны 50 и 25), и, следовательно, к той же максимальной площади.
Ответ: 1250.

б) Данный пункт является обобщением предыдущего. Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а сумма длин трех его сторон равна $a$. Аналогично пункту а), рассмотрим случай, когда $2x + y = a$. Тогда $y = a - 2x$. Площадь прямоугольника как функция от $x$ будет $S(x) = x \cdot y = x(a - 2x) = ax - 2x^2$. Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум площади будет достигнут в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины: $x = -a / (2 \cdot (-2)) = a/4$. Теперь найдем длину второй стороны: $y = a - 2x = a - 2(a/4) = a - a/2 = a/2$. Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью будет иметь стороны, длины которых равны $a/4$ и $a/2$.
Ответ: стороны равны $a/4$ и $a/2$.

4. (3) а) Гоша выбирает положительное число. Артур умножает это число на 4, а Белла умножает число, обратное выбранному, на 9. Затем Гоша складывает результаты Артура и Беллы. Какое число должен назвать Гоша сначала, чтобы результат в конце получился наименьшим? И какой наименьший результат может получиться у Гоши?

(3) б) Пусть заданы положительные числа $a$ и $b$. Докажите, что для любого положительного числа $x$ выполняется неравенство $ax+\frac{b}{x}\ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается в точке $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$.

а)

Пусть Гоша выбрал положительное число $x$. Артур умножает это число на 4 и получает результат $4x$. Белла умножает число, обратное выбранному, на 9, то есть получает $\frac{1}{x} \cdot 9 = \frac{9}{x}$. Затем Гоша складывает результаты Артура и Беллы. Итоговая сумма $S$ будет равна: $S(x) = 4x + \frac{9}{x}$

Нам необходимо найти наименьшее значение этой функции при $x > 0$. Для этого можно использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $u$ и $v$, которое гласит: $u+v \ge 2\sqrt{uv}$. Равенство достигается в том и только в том случае, когда $u=v$.

В нашем случае слагаемые $4x$ и $\frac{9}{x}$ положительны, так как $x > 0$. Применим к ним неравенство Коши: $S(x) = 4x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{4x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Следовательно, наименьшее значение суммы равно 12. Это значение достигается, когда слагаемые равны друг другу: $4x = \frac{9}{x}$ $4x^2 = 9$ $x^2 = \frac{9}{4}$ Так как $x$ — положительное число, $x = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, чтобы получить наименьший результат, Гоша должен сначала назвать число $\frac{3}{2}$. Наименьший возможный результат, который может получиться у Гоши, равен 12.
Ответ: Гоша должен назвать число $\frac{3}{2}$, а наименьший результат равен 12.

б)

Нам необходимо доказать, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $x$ выполняется неравенство $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$, и что равенство достигается в точке $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$.

Рассмотрим левую часть неравенства, которая является суммой двух слагаемых: $ax$ и $\frac{b}{x}$. Поскольку по условию $a > 0$, $b > 0$ и $x > 0$, оба слагаемых также являются положительными.

Применим к этим двум положительным слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $u+v \ge 2\sqrt{uv}$. $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}}$ Упрощая выражение под корнем, получаем: $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$ Таким образом, первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем условие, при котором достигается равенство. В неравенстве Коши равенство имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые равны: $ax = \frac{b}{x}$ Умножим обе части на $x$ (так как $x>0$): $ax^2 = b$ Разделим обе части на $a$ (так как $a>0$): $x^2 = \frac{b}{a}$ Так как $x>0$, извлекаем квадратный корень: $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ Это доказывает вторую часть утверждения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

5. (3) а) Из всех точек на прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$ найдите координаты той, которая наименее удалена от начала координат.

(4) б) Пусть k и m - данные числа. Из всех точек на прямой $y=kx+m$ найдите координаты той, которая наименее удалена от начала координат.

(2) в) Используя результаты пункта б), решите аналогичную задачу для прямых $y=3x-10$, $y=\sqrt{3}x+12$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти на прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$ точку $(x, y)$, расстояние от которой до начала координат $(0, 0)$ минимально. Геометрически, кратчайшее расстояние от точки (в нашем случае, начала координат) до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Искомая точка является основанием этого перпендикуляра.

Найдем уравнение прямой, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и перпендикулярна данной прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = -\frac{4}{3}$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$ находится из условия перпендикулярности прямых: $k_2 = -1/k_1$.

$k_2 = -\frac{1}{-4/3} = \frac{3}{4}$.

Так как перпендикулярная прямая проходит через начало координат, ее свободный член равен нулю, и ее уравнение имеет вид $y = k_2x$, то есть $y = \frac{3}{4}x$.

Чтобы найти координаты искомой точки, нужно найти точку пересечения этих двух прямых, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 4 \\ y = \frac{3}{4}x\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$\frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x = 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{9}{12}x + \frac{16}{12}x = 4$

$\frac{25}{12}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{12}{25} = \frac{48}{25}$

Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение перпендикулярной прямой:

$y = \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \cdot \frac{48}{25} = \frac{3 \cdot 12}{25} = \frac{36}{25}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$.

Ответ: $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$.

б)

Рассмотрим общую задачу для прямой $y = kx + m$. Необходимо найти координаты точки на этой прямой, наименее удаленной от начала координат. Воспользуемся тем же геометрическим подходом, что и в пункте а).

Угловой коэффициент данной прямой равен $k$. Прямая, перпендикулярная ей и проходящая через начало координат $(0,0)$, будет иметь угловой коэффициент $k_{\perp} = -\frac{1}{k}$ (при условии, что $k \neq 0$). Уравнение перпендикулярной прямой: $y = -\frac{1}{k}x$.

Искомая точка является точкой пересечения этих двух прямых. Для ее нахождения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = kx + m \\ y = -\frac{1}{k}x\end{cases}$

Приравняем правые части:

$kx + m = -\frac{1}{k}x$

$kx + \frac{1}{k}x = -m$

$x(k + \frac{1}{k}) = -m$

$x(\frac{k^2+1}{k}) = -m$

Отсюда находим координату $x$:

$x = -m \cdot \frac{k}{k^2+1} = -\frac{mk}{k^2+1}$

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в уравнение перпендикулярной прямой:

$y = -\frac{1}{k}x = -\frac{1}{k} \cdot (-\frac{mk}{k^2+1}) = \frac{m}{k^2+1}$

Координаты точки, наименее удаленной от начала координат, равны $(-\frac{mk}{k^2+1}, \frac{m}{k^2+1})$. Эта формула также верна для случая $k=0$ (горизонтальная прямая $y=m$), так как она дает точку $(0, m)$, что является правильным результатом.

Ответ: $(-\frac{mk}{k^2+1}, \frac{m}{k^2+1})$.

в)

Используем формулу, полученную в пункте б), для решения аналогичной задачи для двух заданных прямых. Общая формула для координат искомой точки $(x_0, y_0)$ на прямой $y=kx+m$:

$x_0 = -\frac{mk}{k^2+1}$, $y_0 = \frac{m}{k^2+1}$

1. Для прямой $y = 3x - 10$:

Здесь $k=3$ и $m=-10$. Подставляем эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{(-10) \cdot 3}{3^2+1} = \frac{30}{9+1} = \frac{30}{10} = 3$

$y_0 = \frac{-10}{3^2+1} = \frac{-10}{9+1} = \frac{-10}{10} = -1$

Координаты точки: $(3, -1)$.

2. Для прямой $y = \sqrt{3}x + 12$:

Здесь $k=\sqrt{3}$ и $m=12$. Подставляем эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{12\sqrt{3}}{3+1} = -\frac{12\sqrt{3}}{4} = -3\sqrt{3}$

$y_0 = \frac{12}{(\sqrt{3})^2+1} = \frac{12}{3+1} = \frac{12}{4} = 3$

Координаты точки: $(-3\sqrt{3}, 3)$.

Ответ: для прямой $y=3x-10$ — точка $(3, -1)$; для прямой $y=\sqrt{3}x+12$ — точка $(-3\sqrt{3}, 3)$.

6.

(3)a) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом $60^\circ$ вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Определите большую из сторон прямоугольника.

(4)б) В прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и углом $\alpha$ вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Определите наибольшую площадь, которую может иметь такой прямоугольник.

а)Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB = c = 8$ см. Пусть один из острых углов, например $\angle A = \alpha = 60^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.В треугольник вписан прямоугольник $DEFG$ наибольшей площади так, что его сторона $DE$ лежит на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.Обозначим стороны прямоугольника: $DE = x$ (длина) и $GD = FE = y$ (высота). Площадь прямоугольника равна $S = xy$.Рассмотрим малые треугольники $ADG$ и $FEB$, которые образуются между катетами и сторонами прямоугольника. Так как $DEFG$ - прямоугольник и $DE$ лежит на гипотенузе, то его высоты $GD$ и $FE$ перпендикулярны гипотенузе $AB$. Следовательно, треугольники $ADG$ и $FEB$ являются прямоугольными.В прямоугольном треугольнике $ADG$: $\angle A = 60^\circ$. Из определения тангенса имеем $\tan(\angle A) = \frac{GD}{AD}$, откуда $AD = \frac{GD}{\tan(\angle A)} = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.В прямоугольном треугольнике $FEB$: $\angle B = 30^\circ$. Аналогично, $\tan(\angle B) = \frac{FE}{EB}$, откуда $EB = \frac{FE}{\tan(\angle B)} = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.Длина гипотенузы $AB$ складывается из длин отрезков $AD$, $DE$ и $EB$:$AB = AD + DE + EB$.Подставим известные значения и полученные выражения:$8 = \frac{y}{\sqrt{3}} + x + y\sqrt{3}$.Выразим $x$ через $y$:$x = 8 - (\frac{y}{\sqrt{3}} + y\sqrt{3}) = 8 - y(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}) = 8 - y(\frac{1+3}{\sqrt{3}}) = 8 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$.Теперь запишем функцию площади прямоугольника $S$ как функцию от переменной $y$:$S(y) = x \cdot y = (8 - \frac{4y}{\sqrt{3}})y = 8y - \frac{4}{\sqrt{3}}y^2$.Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение площади будет в вершине параболы. Координата вершины параболы $y_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 8$.$y = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{8}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$ см.Это одна из сторон прямоугольника (его высота). Найдем вторую сторону $x$ (его длину), подставив найденное значение $y$:$x = 8 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 8 - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 - 4 = 4$ см.Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшей площадью равны $4$ см и $\sqrt{3}$ см.Сравним эти значения: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $16 > 3$, то $4 > \sqrt{3}$.Большая из сторон прямоугольника равна 4 см.
Ответ: 4 см.

б)Рассмотрим общий случай. Пусть дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и одним из острых углов $\alpha$. Второй острый угол будет равен $90^\circ - \alpha$.Аналогично решению в пункте а), впишем в треугольник прямоугольник со сторонами $x$ (длина) и $y$ (высота), где сторона $x$ лежит на гипотенузе.Используя те же рассуждения, выразим отрезки $AD$ и $EB$ на гипотенузе через высоту прямоугольника $y$ и углы треугольника.$AD = \frac{y}{\tan(\alpha)} = y\cot(\alpha)$.$EB = \frac{y}{\tan(90^\circ - \alpha)} = \frac{y}{\cot(\alpha)} = y\tan(\alpha)$.Длина гипотенузы $c = AD + x + EB = y\cot(\alpha) + x + y\tan(\alpha)$.Выразим $x$ через $y$ и $c$:$x = c - y(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))$.Площадь прямоугольника $S$ как функция от $y$:$S(y) = x \cdot y = (c - y(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)))y = cy - (\cot(\alpha) + \tan(\alpha))y^2$.Это квадратичная функция от $y$, парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Найдем значение $y$, при котором площадь максимальна:$y_{max} = -\frac{c}{2 \cdot (-(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)))} = \frac{c}{2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))}$.Упростим выражение в знаменателе: $\cot(\alpha) + \tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.Подставим это в выражение для $y_{max}$:$y_{max} = \frac{c}{2 \cdot \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = \frac{c \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}$.Теперь найдем соответствующее значение $x_{max}$:$x_{max} = c - y_{max}(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)) = c - \frac{c}{2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))} \cdot (\cot(\alpha) + \tan(\alpha)) = c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2}$.Наибольшая площадь $S_{max}$ равна произведению $x_{max}$ и $y_{max}$:$S_{max} = x_{max} \cdot y_{max} = \frac{c}{2} \cdot \frac{c \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2} = \frac{c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{4}$.Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, можно записать ответ в более компактном виде:$S_{max} = \frac{c^2}{4} \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2 \sin(2\alpha)}{8}$.
Ответ: $\frac{c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{4}$ (или $\frac{c^2 \sin(2\alpha)}{8}$).

Рассматриваются прямоугольники, две вершины которых лежат на оси $Ox$, а две другие – на графике функции $y=4 \cos x$, заданной на отрезке

$x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Среди всех таких прямоугольников найдите стороны того,

который имеет наибольший периметр.

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на оси $Ox$, имеют координаты $(-x, 0)$ и $(x, 0)$, где $x \in [0, \pi/2]$. Поскольку функция $y=4 \cos x$ является четной, симметричное расположение вершин относительно оси $Oy$ является необходимым условием для образования прямоугольника.

Две другие вершины будут лежать на графике функции и иметь координаты $(-x, 4 \cos x)$ и $(x, 4 \cos x)$.

Стороны такого прямоугольника равны:
ширина $a = x - (-x) = 2x$
высота $b = 4 \cos x$

Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$ выражается формулой:
$P(x) = 2(a+b) = 2(2x + 4 \cos x) = 4x + 8 \cos x$.

Нам нужно найти максимальное значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, \pi/2]$. Для этого найдем производную функции $P(x)$:
$P'(x) = (4x + 8 \cos x)' = 4 - 8 \sin x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$4 - 8 \sin x = 0$
$8 \sin x = 4$
$\sin x = \frac{1}{2}$

На отрезке $[0, \pi/2]$ этому уравнению удовлетворяет единственное значение $x = \frac{\pi}{6}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x = \frac{\pi}{6}$ разбивает отрезок $[0, \pi/2]$.
- При $x \in [0, \pi/6)$, например $x=0$, $P'(0) = 4 - 8 \sin 0 = 4 > 0$. Функция $P(x)$ возрастает.
- При $x \in (\pi/6, \pi/2]$, например $x=\pi/2$, $P'(\pi/2) = 4 - 8 \sin(\pi/2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Функция $P(x)$ убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{6}$ функция $P(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Теперь найдем стороны прямоугольника при $x = \frac{\pi}{6}$:
ширина $a = 2x = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
высота $b = 4 \cos x = 4 \cos(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Ответ: стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны $\frac{\pi}{3}$ и $2\sqrt{3}$.