Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

21. (3) Заяц соревновался в скорости бега на 100 м с черепахой. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до финиша еще 90 м. На сколько нужно отодвинуть стартовую линию для зайца, чтобы оба бегуна пришли к финишу одновременно?

Для решения этой задачи нам необходимо сначала определить соотношение скоростей зайца и черепахи. Пусть $v_з$ — это скорость зайца, а $v_ч$ — скорость черепахи. Длина дистанции забега составляет $S = 100$ м.

Согласно условию, когда заяц пробежал всю дистанцию $S_з = 100$ м, черепахе оставалось до финиша еще 90 м. Это означает, что за то же самое время черепаха пробежала расстояние $S_ч = 100 \text{ м} - 90 \text{ м} = 10$ м. Так как время $t$ для них было одинаковым, мы можем записать следующее равенство, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

$\frac{S_з}{v_з} = \frac{S_ч}{v_ч}$

Подставим известные значения расстояний:

$\frac{100}{v_з} = \frac{10}{v_ч}$

Из этого соотношения мы можем найти, во сколько раз скорость зайца больше скорости черепахи:

$\frac{v_з}{v_ч} = \frac{100}{10} = 10$

Таким образом, заяц бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха.

Теперь найдем, на какое расстояние нужно отодвинуть стартовую линию для зайца, чтобы они оба финишировали одновременно. В этом случае время их забега должно быть одинаковым. Черепаха должна пробежать всю дистанцию в 100 м. Время, которое ей для этого потребуется, обозначим как $t_{нов}$:

$t_{нов} = \frac{100 \text{ м}}{v_ч}$

За это же время $t_{нов}$ заяц тоже должен достичь финишной черты. Давайте рассчитаем, какое расстояние $S_з'$ заяц пробежит за это время, зная, что его скорость в 10 раз больше ($v_з = 10 \cdot v_ч$):

$S_з' = v_з \cdot t_{нов} = (10 \cdot v_ч) \cdot \frac{100 \text{ м}}{v_ч} = 1000$ м

Итак, чтобы финишировать одновременно с черепахой, которая бежит 100 м, заяц должен пробежать 1000 м. Стандартная дистанция составляет 100 м от старта до финиша. Чтобы общее расстояние для зайца стало 1000 м, его стартовую линию нужно отодвинуть назад от первоначальной на разницу между необходимой и стандартной дистанцией:

Расстояние сдвига = $1000 \text{ м} - 100 \text{ м} = 900$ м.

Ответ: стартовую линию для зайца нужно отодвинуть на 900 м.

22. (2)
Одно число равно 0.5, второе число 0.3. Сколько процентов составляет второе число от разности первого и второго чисел?

22. (2)
Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия: найти разность между первым и вторым числом, а затем вычислить, какую долю в процентах составляет второе число от этой разности.

1. Находим разность первого и второго чисел.
Первое число: $0.5$
Второе число: $0.3$
Разность = Первое число - Второе число
$0.5 - 0.3 = 0.2$
Таким образом, разность чисел равна $0.2$.

2. Теперь определим, сколько процентов составляет второе число ($0.3$) от найденной разности ($0.2$).
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число (часть) на второе (целое) и умножить результат на $100\%$.
В данном случае:
Часть = Второе число = $0.3$
Целое = Разность = $0.2$

Процентное соотношение = $(\frac{\text{Часть}}{\text{Целое}}) \times 100\%$
Процентное соотношение = $(\frac{0.3}{0.2}) \times 100\%$

Вычисляем отношение:
$\frac{0.3}{0.2} = 1.5$

Умножаем результат на 100, чтобы перевести в проценты:
$1.5 \times 100\% = 150\%$

Ответ: второе число составляет 150% от разности первого и второго чисел.

23. (3)

Дан металлический стержень длины 120 мм. От него отпиливают куски длиной 10 мм, при этом отходы на металлургические опилки составляют 1 мм длины на один распил. Какое максимальное количество кусков можно получить? Варианты ответов:

A) 9; B) 10; C) 11; D) 12; E) 13.

Для решения задачи определим все параметры.

Общая длина металлического стержня: $L_{общ} = 120$ мм.
Длина одного получаемого куска: $L_{куска} = 10$ мм.
Потери материала на один распил (длина опилок): $L_{распила} = 1$ мм.

Пусть $N$ — это максимальное количество кусков, которое можно получить. Чтобы получить $N$ кусков из одного цельного стержня, необходимо сделать $N-1$ распилов. Например, для получения двух кусков нужен один распил, для трех — два, и так далее.

Суммарная длина всех полученных кусков и всех потерь на распилы не может превышать общую длину стержня. Это можно выразить следующей формулой:

$N \cdot L_{куска} + (N-1) \cdot L_{распила} \le L_{общ}$

Подставим известные значения в неравенство и решим его относительно $N$:

$N \cdot 10 + (N-1) \cdot 1 \le 120$

$10N + N - 1 \le 120$

$11N - 1 \le 120$

$11N \le 120 + 1$

$11N \le 121$

$N \le \frac{121}{11}$

$N \le 11$

Таким образом, максимальное целое количество кусков, которое можно получить, равно 11. Проверим это: 11 кусков по 10 мм — это 110 мм. Для их получения нужно сделать $11-1=10$ распилов, что даст $10 \cdot 1 = 10$ мм потерь. Общая затраченная длина составит $110 + 10 = 120$ мм, что в точности равно длине стержня.

Ответ: 11.

24. (2) Упростите: $cos^2 (\pi - \alpha) + cos^2 (\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством.

Сначала упростим первое слагаемое $cos^2(\pi - \alpha)$.

Используем формулу приведения для косинуса: $cos(\pi - \alpha)$. Угол $\pi$ находится на горизонтальной оси, поэтому функция не меняется (остается косинус). Угол $(\pi - \alpha)$ принадлежит второй координатной четверти (при условии, что $\alpha$ — острый угол), где косинус имеет отрицательный знак. Таким образом, $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Теперь возведем результат в квадрат:

$cos^2(\pi - \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.

Далее упростим второе слагаемое $cos^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.

Используем формулу приведения: $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Угол $\frac{3\pi}{2}$ находится на вертикальной оси, поэтому функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ принадлежит третьей координатной четверти, где косинус имеет отрицательный знак. Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Возведем результат в квадрат:

$cos^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное равенство:

$cos^2(\pi - \alpha) + cos^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha)$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Следовательно, выражение равно 1.

Ответ: 1