Страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

12. (3) Решите уравнения:

а) $9\arccos^2 x = 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

б) $9\arcsin^2 x = 9\pi \arcsin x - 2\pi^2$.

а) $9\arccos^2 x = 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$. Учитывая область значений функции арккосинус, должно выполняться условие $y \in [0, \pi]$. После замены уравнение принимает вид:

$9y^2 - 9\pi y + 2\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9\pi - 3\pi}{18} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9\pi + 3\pi}{18} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$

Проверим, принадлежат ли найденные значения $y$ области значений арккосинуса $[0, \pi]$.

Для $y_1 = \frac{\pi}{3}$: $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$. Это верное неравенство.

Для $y_2 = \frac{2\pi}{3}$: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Это также верное неравенство.

Оба корня подходят. Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\arccos x = y_1 = \frac{\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

2) $\arccos x = y_2 = \frac{2\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $9\arcsin^2 x = 9\pi \arcsin x - 2\pi^2$

Аналогично предыдущему пункту, перенесем все члены в левую часть:

$9\arcsin^2 x - 9\pi \arcsin x + 2\pi^2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \arcsin x$. Область значений функции арксинус: $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Уравнение примет вид:

$9z^2 - 9\pi z + 2\pi^2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а), поэтому его корни:

$z_1 = \frac{\pi}{3}$ и $z_2 = \frac{2\pi}{3}$

Теперь необходимо проверить, входят ли эти значения в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

1) Проверка для $z_1 = \frac{\pi}{3}$: неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$ является верным (так как $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$). Следовательно, этот корень подходит.

2) Проверка для $z_2 = \frac{2\pi}{3}$: неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$ является неверным, поскольку $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$). Этот корень является посторонним и не ведет к решению.

Таким образом, у нас остается только один подходящий корень $z = \frac{\pi}{3}$. Выполним обратную замену:

$\arcsin x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

13. (4) Решите неравенства:

а) $9 \arccos^2 x < 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

б) $9 \arccos^2 x > 9\pi \arccos x - 2\pi^2$.

а) $9\arccos^2 x < 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 < 0$

Это квадратное неравенство относительно $\arccos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arccos x$. При этом необходимо учесть область значений арккосинуса: $0 \le t \le \pi$.

Получаем неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{9\pi - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 9} = \frac{9\pi - 3\pi}{18} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$.

$t_2 = \frac{9\pi + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 9} = \frac{9\pi + 3\pi}{18} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку ветви параболы $y = 9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2$ направлены вверх, неравенство $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[0, \pi]$, так что это решение для $t$ допустимо.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\frac{\pi}{3} < \arccos x < \frac{2\pi}{3}$.

Функция $y=\cos(x)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\cos(\frac{\pi}{3}) > \cos(\arccos x) > \cos(\frac{2\pi}{3})$.

$\frac{1}{2} > x > -\frac{1}{2}$.

Запишем в стандартном виде:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

Этот интервал полностью входит в область определения арккосинуса $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

б) $9\arccos^2 x > 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 > 0$.

Сделаем замену $t = \arccos x$, где $0 \le t \le \pi$.

Получаем неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 > 0$.

Корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$ были найдены в пункте а): $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t < \frac{\pi}{3}$ или $t > \frac{2\pi}{3}$.

Учитывая область значений $t \in [0, \pi]$, получаем совокупность двух систем неравенств:

1) $0 \le t < \frac{\pi}{3}$

2) $\frac{2\pi}{3} < t \le \pi$

Возвращаемся к исходной переменной $x$.

1) $0 \le \arccos x < \frac{\pi}{3}$.

Применяем убывающую функцию $\cos$ ко всем частям, меняя знаки неравенства:

$\cos(0) \ge \cos(\arccos x) > \cos(\frac{\pi}{3})$.

$1 \ge x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, 1]$.

2) $\frac{2\pi}{3} < \arccos x \le \pi$.

Применяем убывающую функцию $\cos$ ко всем частям, меняя знаки неравенства:

$\cos(\frac{2\pi}{3}) > \cos(\arccos x) \ge \cos(\pi)$.

$-\frac{1}{2} > x \ge -1$, то есть $x \in [-1, -\frac{1}{2})$.

Объединяем решения из обоих случаев:

$x \in [-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-1; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1]$.

14. a) (3) Решите уравнение $arctg(-x^2 + 5x - 4) = \frac{\pi}{2}$;

б) (4) Решите неравенство $arctg(-x^2 + 5x - 4) \geq \frac{\pi}{2}$;

в) (5) Решите неравенство $arctg(-x^2 + 5x - 4) \leq \frac{\pi}{2}$.

a) Решим уравнение $arcctg(-x^2+5x-4)=\frac{\pi}{2}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $a = ctg(b)$. Область значений функции $y=arcctg(x)$ является интервал $(0; \pi)$, и значение $\frac{\pi}{2}$ входит в этот интервал.

Применим котангенс к обеим частям уравнения:

$-x^2+5x-4 = ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем квадратное уравнение:

$-x^2+5x-4 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2-5x+4 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$

Область определения функции $arcctg(t)$ — все действительные числа, поэтому выражение $-x^2+5x-4$ может принимать любые значения. Дополнительных ограничений нет.

Ответ: $x=1, x=4$.

б) Решим неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \ge \frac{\pi}{2}$.

Функция $y=arcctg(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 < t_2$, то $arcctg(t_1) > arcctg(t_2)$.

Следовательно, при переходе от неравенства для арккотангенсов к неравенству для их аргументов, знак неравенства меняется на противоположный.

Исходное неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \ge \frac{\pi}{2}$ равносильно следующему:

$-x^2+5x-4 \le ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$-x^2+5x-4 \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2-5x+4 \ge 0$

Корни квадратного трехчлена $x^2-5x+4$ мы нашли в пункте а): $x_1=1$ и $x_2=4$. Графиком функции $y=x^2-5x+4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Также учтем, что область значений функции $arcctg(t)$ есть $(0, \pi)$, поэтому неравенство $arcctg(...) \ge \frac{\pi}{2}$ также подразумевает, что $arcctg(...) < \pi$, что выполняется для любого конечного аргумента.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \le \frac{\pi}{2}$.

Аналогично пункту б), воспользуемся свойством монотонного убывания функции $y=arcctg(t)$. Применяя к обеим частям неравенства операцию, соответствующую убывающей функции (в данном случае, взятие котангенса), мы должны изменить знак неравенства на противоположный.

Исходное неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \le \frac{\pi}{2}$ равносильно следующему:

$-x^2+5x-4 \ge ctg(\frac{\pi}{2})$

$-x^2+5x-4 \ge 0$

Умножим на -1 и снова изменим знак неравенства:

$x^2-5x+4 \le 0$

Корни трехчлена $x^2-5x+4$ равны 1 и 4. Парабола $y=x^2-5x+4$ с ветвями вверх принимает неположительные (меньше или равные нулю) значения на отрезке между корнями.

Следовательно, решением является отрезок $[1; 4]$.

Также учтем, что область значений функции $arcctg(t)$ есть $(0, \pi)$, поэтому неравенство $arcctg(...) \le \frac{\pi}{2}$ также подразумевает, что $arcctg(...) > 0$, что выполняется для любого конечного аргумента.

Ответ: $x \in [1; 4]$.

15. Решите уравнения:

a)

(2) $4\operatorname{arctg}^2x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg}x$

б)

(3) $4\operatorname{arctg}^2x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg}x$

а)

Дано уравнение: $4\operatorname{arcctg}^2 x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arcctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\operatorname{arcctg} x$:
$4\operatorname{arcctg}^2 x - 5\pi \operatorname{arcctg} x + \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \operatorname{arcctg} x$. Уравнение примет вид:
$4y^2 - 5\pi y + \pi^2 = 0$.
Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $y$, используя формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-5\pi)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \pi^2 = 25\pi^2 - 16\pi^2 = 9\pi^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-5\pi) + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi + 3\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi$.
$y_2 = \frac{-(-5\pi) - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi - 3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь выполним обратную замену и проверим полученные корни. Область значений функции арккотангенс - это интервал $(0, \pi)$.
1. $\operatorname{arcctg} x = y_1 = \pi$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\pi$ не входит в область значений функции $\operatorname{arcctg} x$.
2. $\operatorname{arcctg} x = y_2 = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, поэтому это допустимый корень. Найдем $x$:
$x = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение: $4\operatorname{arctg}^2 x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$4\operatorname{arctg}^2 x - 5\pi \operatorname{arctg} x + \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = \operatorname{arctg} x$. Уравнение примет вид:
$4z^2 - 5\pi z + \pi^2 = 0$.
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а). Его корни:
$z_1 = \pi$ и $z_2 = \frac{\pi}{4}$.
Выполним обратную замену. Область значений функции арктангенс - это интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
1. $\operatorname{arctg} x = z_1 = \pi$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\pi$ не входит в область значений функции $\operatorname{arctg} x$ (поскольку $\pi > \frac{\pi}{2}$).
2. $\operatorname{arctg} x = z_2 = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, поэтому это допустимый корень. Найдем $x$:
$x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x=1$.

16. (4) Решите неравенства:

a) $4\text{arcctg}^2 x+\pi^2\ge 5\pi\text{arcctg}x$;

б) $4\text{arcctg}^2 x+\pi^2\ge 5\pi\text{arcctg}x$.

а) $4\operatorname{arcctg}^2 x + \pi^2 \ge 5\pi\operatorname{arcctg}x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$4\operatorname{arcctg}^2 x - 5\pi\operatorname{arcctg}x + \pi^2 \ge 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\operatorname{arcctg}x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg}x$.

При этом необходимо учесть область значений функции арккотангенс: $t \in (0, \pi)$.

После замены получаем квадратное неравенство: $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 \ge 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5\pi)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \pi^2 = 25\pi^2 - 16\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5\pi) - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi - 3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

$t_2 = \frac{-(-5\pi) + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi + 3\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi$

Парабола $y = 4t^2 - 5\pi t + \pi^2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

Таким образом, получаем совокупность неравенств: $t \le \frac{\pi}{4}$ или $t \ge \pi$.

Теперь выполним обратную замену $t = \operatorname{arcctg}x$ и учтем область значений $0 < \operatorname{arcctg}x < \pi$.

1. $\operatorname{arcctg}x \le \frac{\pi}{4}$. Совмещая с областью значений, получаем систему: $0 < \operatorname{arcctg}x \le \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = \operatorname{ctg}(u)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, изменив знаки неравенств на противоположные:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) \le \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}x) < \lim_{u \to 0^+} \operatorname{ctg}(u)$

Поскольку $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}x) = x$ и $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, а предел котангенса при стремлении аргумента к нулю справа равен $+\infty$, получаем:

$1 \le x < +\infty$

2. $\operatorname{arcctg}x \ge \pi$. Данное неравенство не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс $(0, \pi)$ не включает значений, равных или больших $\pi$.

Объединяя полученные результаты, приходим к окончательному решению.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $4\operatorname{arctg}^2 x + \pi^2 \ge 5\pi\operatorname{arctg}x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4\operatorname{arctg}^2 x - 5\pi\operatorname{arctg}x + \pi^2 \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно $\operatorname{arctg}x$. Сделаем замену переменной. Пусть $u = \operatorname{arctg}x$.

Область значений функции арктангенс: $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Получаем квадратное неравенство: $4u^2 - 5\pi u + \pi^2 \ge 0$.

Это то же самое квадратное выражение, что и в пункте а). Его корни равны $u_1 = \frac{\pi}{4}$ и $u_2 = \pi$.

Решением неравенства $4u^2 - 5\pi u + \pi^2 \ge 0$ является совокупность $u \le \frac{\pi}{4}$ или $u \ge \pi$.

Выполним обратную замену $u = \operatorname{arctg}x$ и учтем область значений $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}x < \frac{\pi}{2}$.

1. $\operatorname{arctg}x \le \frac{\pi}{4}$. Совмещая с областью значений, получаем двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}x \le \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = \operatorname{tg}(v)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применим ее ко всем частям неравенства, сохраняя знаки неравенств:

$\lim_{v \to -\frac{\pi}{2}^+} \operatorname{tg}(v) < \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) \le \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$

Поскольку $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) = x$ и $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, а предел тангенса при стремлении аргумента к $-\frac{\pi}{2}$ справа равен $-\infty$, получаем:

$-\infty < x \le 1$

2. $\operatorname{arctg}x \ge \pi$. Это неравенство не имеет решений, так как $\pi \approx 3.14$, а верхняя граница области значений арктангенса $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Значение $\operatorname{arctg}x$ не может быть больше $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, решением является только результат из первого случая.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

17. (3) Определите операцию $ \otimes $ следующим образом: $a \otimes b = a^2 - ab + b^2$, где $a$ и $b$ произвольные числа. Вычислите $2 \otimes (1 \otimes 0)$.

17.(3) В задаче определена новая бинарная операция $ \otimes $ по правилу $a \otimes b = a^2 - ab + b^2$. Требуется вычислить значение выражения $2 \otimes (1 \otimes 0)$. Согласно порядку выполнения математических операций, в первую очередь необходимо вычислить значение выражения в скобках.

1. Вычислим значение выражения в скобках: $1 \otimes 0$.
Для этого в формулу $a \otimes b = a^2 - ab + b^2$ подставим значения $a=1$ и $b=0$:
$1 \otimes 0 = 1^2 - 1 \cdot 0 + 0^2 = 1 - 0 + 0 = 1$.

2. Теперь, зная результат операции в скобках, мы можем вычислить исходное выражение, которое теперь выглядит как $2 \otimes 1$.
Снова применим заданную формулу, но уже для значений $a=2$ и $b=1$:
$2 \otimes 1 = 2^2 - 2 \cdot 1 + 1^2 = 4 - 2 + 1 = 3$.

Таким образом, итоговый результат вычисления выражения $2 \otimes (1 \otimes 0)$ равен 3.
Ответ: 3

18. (2)

Пусть даны числа $a$ и $b$, про которые известно, что $01$. Среди следующих пяти чисел укажите наименьшее: $ab$, $a$, $a:b$, $b$, $a+b$.

По условию задачи даны числа $a$ и $b$, такие что $0 < a < 1$ и $b > 1$. Нам нужно сравнить пять чисел: $ab$, $a$, $a:b$, $b$ и $a+b$, и найти среди них наименьшее.

Для решения задачи будем последовательно сравнивать числа друг с другом, используя свойства неравенств. В качестве точки отсчета для сравнения удобно выбрать число $a$.

Сравнение $a$ и $ab$. Поскольку $b > 1$ и $a$ является положительным числом ($a > 0$), то произведение $a$ на число, большее единицы, будет больше самого числа $a$. Математически это можно показать так: $ab - a = a(b-1)$. Так как $a > 0$ и $(b-1) > 0$, то их произведение $a(b-1) > 0$, следовательно, $ab > a$.

Сравнение $a$ и $b$. Из условий $0 < a < 1$ и $b > 1$ напрямую следует, что $a < b$.

Сравнение $a$ и $a+b$. Поскольку $b > 1$, то $b$ является положительным числом. Прибавление положительного числа $b$ к числу $a$ дает сумму, которая очевидно больше $a$. Следовательно, $a+b > a$.

Сравнение $a$ и $a:b$. Выражение $a:b$ означает частное $\frac{a}{b}$. Так как по условию $b > 1$, то обратное ему число $\frac{1}{b}$ будет удовлетворять неравенству $0 < \frac{1}{b} < 1$. Умножение положительного числа $a$ на положительное число $\frac{1}{b}$ (которое меньше единицы) дает произведение, меньшее $a$. Математически: $a - \frac{a}{b} = a(1 - \frac{1}{b})$. Так как $a > 0$ и $(1 - \frac{1}{b}) > 0$, то их произведение $a(1-\frac{1}{b}) > 0$, следовательно, $a > \frac{a}{b}$.

Итог. В результате сравнений мы получили следующую цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < a < b$, $\frac{a}{b} < a < ab$ и $\frac{a}{b} < a < a+b$. Из этого следует, что число $\frac{a}{b}$ меньше всех остальных четырех чисел. Таким образом, наименьшим из всех пяти предложенных чисел является $a:b$.

Для наглядности можно проверить это на конкретном примере. Пусть $a = 0.5$ и $b = 2$. Тогда получим следующие значения: $ab = 0.5 \cdot 2 = 1$; $a = 0.5$; $a:b = 0.5 : 2 = 0.25$; $b = 2$; $a+b = 0.5 + 2 = 2.5$. Сравнивая полученные числа $1; 0.5; 0.25; 2; 2.5$, мы видим, что наименьшим из них является $0.25$, которое соответствует значению $a:b$.

Ответ: $a:b$.

19. (4)

Асан на мотоцикле и Усен на ослике стартуют одновременно из одной точки кругового шоссе в одном направлении и двигаются с постоянными скоростями. Через 2 часа они впервые снова оказались одновременно в точке старта, причем за это время Асана 99 раз обгонял Усена. Во сколько раз средняя скорость мотоцикла больше скорости ослика, если Усен за 2 часа успел сделать ровно один круг?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ — длина одного круга шоссе.
• $v_А$ — скорость Асана на мотоцикле.
• $v_У$ — скорость Усена на ослике.
• $t = 2$ часа — время движения.

Из условия известно, что Усен за 2 часа успел сделать ровно один круг. Это означает, что расстояние, которое он проехал, равно $L$. Можем найти его скорость: $v_У = \frac{L}{t} = \frac{L}{2}$.

Тот факт, что через 2 часа они оба снова оказались в точке старта, означает, что каждый из них проехал целое число кругов. Пусть Асан проехал $N_А$ кругов, а Усен — $N_У$ кругов. $N_А$ и $N_У$ — целые числа. Из предыдущего пункта мы знаем, что $N_У = 1$.

Обгон на круговой трассе происходит тогда, когда более быстрый участник движения опережает более медленного на целую длину круга. По условию, Асан обогнал Усена 99 раз. Это значит, что за 2 часа Асан проехал на 99 кругов больше, чем Усен. Математически это можно записать как: $N_А - N_У = 99$.

Так как мы знаем, что Усен проехал 1 круг ($N_У = 1$), мы можем найти, сколько кругов проехал Асан: $N_А - 1 = 99$ $N_А = 100$ кругов.

Теперь мы можем вычислить скорость Асана. За 2 часа он проехал расстояние, равное 100 кругам ($100 \cdot L$). $v_А = \frac{100 \cdot L}{t} = \frac{100 \cdot L}{2}$.

Чтобы определить, во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости ослика, найдем отношение их скоростей $\frac{v_А}{v_У}$: $\frac{v_А}{v_У} = \frac{\frac{100 \cdot L}{2}}{\frac{L}{2}}$

В этом выражении можно сократить $\frac{L}{2}$: $\frac{v_А}{v_У} = 100$

Таким образом, скорость Асана на мотоцикле в 100 раз больше скорости Усена на ослике.

Ответ: в 100 раз.