Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

3. (1) Вычислите:

a) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1-\operatorname{arctg} 0-\arcsin(-1):$

б) $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arccos\left(-\frac{1}{2}\right).$

а) $arctg(-\sqrt{3})+arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin1-arctg0-arcsin(-1)$

Для решения данного выражения вычислим значение каждой обратной тригонометрической функции по отдельности, используя их определения и свойства.

1. $arctg(-\sqrt{3})$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем свойство нечетности арктангенса: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$. Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, поэтому $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Область значений арккосинуса - отрезок $[0; \pi]$. Для отрицательного аргумента используем формулу: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. $arcsin(1)$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Мы ищем угол из этого отрезка, синус которого равен 1. Это угол $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

4. $arctg(0)$. Мы ищем угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 0. Это угол 0.
Следовательно, $arctg(0) = 0$.

5. $arcsin(-1)$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство нечетности арксинуса: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-1) = -arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$arctg(-\sqrt{3})+arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(1)-arctg(0)-arcsin(-1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - 0 - (-\frac{\pi}{2})$
$= -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:
$= -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 6\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) $arcctg(-\sqrt{3})+arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})+arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+arccos(-\frac{1}{2})$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. $arcctg(-\sqrt{3})$. Область значений арккотангенса - интервал $(0; \pi)$. Используем формулу: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, поэтому $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

2. $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем свойство нечетности: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому $arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство нечетности: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

4. $arccos(-\frac{1}{2})$. Область значений арккосинуса - отрезок $[0; \pi]$. Используем формулу: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, поэтому $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь сложим все полученные значения:
$arcctg(-\sqrt{3})+arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})+arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{2\pi}{3}$
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$= \frac{4\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$.

4. (3) Упростите следующие выражения:

а) $\arccos (\cos \frac{\pi}{7})$, $\arccos (\cos (-\frac{\pi}{7}))$, $\arccos (\cos \frac{15\pi}{7})$, $\arccos (\cos 99\frac{6}{7}\pi)$;

б) $\arcsin (\sin \frac{\pi}{5})$, $\arcsin (\sin (-\frac{\pi}{5}))$, $\arcsin (\sin 5.2\pi)$, $\arcsin (\sin \frac{4\pi}{5})$;

в) $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (-\frac{\pi}{9}))$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} \frac{8\pi}{9})$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} \frac{9\pi}{5})$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (\frac{9\pi}{5}+2015\pi))$;

г) $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg} 0.3\pi)$, $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg} 0.7\pi)$,
$\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg}(-0.3\pi))$, $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg}(-0.7\pi))$.

а) Для упрощения выражений с арккосинусом, будем использовать тождество $arccos(cos(x)) = x$, которое верно для $x \in [0, \pi]$, и свойства функции косинус.

1. $arccos(cos(\frac{\pi}{7}))$.
Поскольку $\frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

2. $arccos(cos(-\frac{\pi}{7}))$.
Косинус - четная функция, поэтому $cos(-\frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
$arccos(cos(-\frac{\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

3. $arccos(cos(\frac{15\pi}{7}))$.
Аргумент $\frac{15\pi}{7}$ не входит в отрезок $[0, \pi]$. Используем периодичность косинуса (период $2\pi$):
$\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi + \pi}{7} = 2\pi + \frac{\pi}{7}$.
$cos(\frac{15\pi}{7}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
Следовательно, $arccos(cos(\frac{15\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

4. $arccos(cos(99\frac{6}{7}\pi))$.
Представим аргумент в виде $99\frac{6}{7}\pi = \frac{699\pi}{7}$.
$\frac{699\pi}{7} = \frac{700\pi - \pi}{7} = 100\pi - \frac{\pi}{7}$.
$cos(\frac{699\pi}{7}) = cos(100\pi - \frac{\pi}{7}) = cos(-\frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
Следовательно, $arccos(cos(99\frac{6}{7}\pi)) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}$.

б) Для упрощения выражений с арксинусом, будем использовать тождество $arcsin(sin(x)) = x$, которое верно для $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и свойства функции синус.

1. $arcsin(sin(\frac{\pi}{5}))$.
Поскольку $\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(\frac{\pi}{5})) = \frac{\pi}{5}$.

2. $arcsin(sin(-\frac{\pi}{5}))$.
Поскольку $-\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(-\frac{\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.

3. $arcsin(sin(5,2\pi))$.
Аргумент $5,2\pi$ не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$sin(5,2\pi) = sin(5,2\pi - 4\pi) = sin(1,2\pi)$.
Аргумент $1,2\pi$ также не входит в область значений арксинуса. Используем формулу приведения $sin(x) = sin(\pi - x)$:
$sin(1,2\pi) = sin(\pi - 1,2\pi) = sin(-0,2\pi)$.
Так как $-0,2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(5,2\pi)) = -0,2\pi$.

4. $arcsin(sin(\frac{4\pi}{5}))$.
Аргумент $\frac{4\pi}{5}$ не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем формулу приведения $sin(x) = sin(\pi - x)$:
$sin(\frac{4\pi}{5}) = sin(\pi - \frac{4\pi}{5}) = sin(\frac{\pi}{5})$.
Следовательно, $arcsin(sin(\frac{4\pi}{5})) = arcsin(sin(\frac{\pi}{5})) = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}; -\frac{\pi}{5}; -0,2\pi; \frac{\pi}{5}$.

в) Для упрощения выражений с арктангенсом, будем использовать тождество $arctg(tg(x)) = x$, которое верно для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и свойство периодичности тангенса.

1. $arctg(tg(-\frac{\pi}{9}))$.
Поскольку $-\frac{\pi}{9}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $arctg(tg(-\frac{\pi}{9})) = -\frac{\pi}{9}$.

2. $arctg(tg(\frac{8\pi}{9}))$.
Аргумент $\frac{8\pi}{9}$ не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$):
$tg(\frac{8\pi}{9}) = tg(\frac{8\pi}{9} - \pi) = tg(-\frac{\pi}{9})$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{8\pi}{9})) = arctg(tg(-\frac{\pi}{9})) = -\frac{\pi}{9}$.

3. $arctg(tg(\frac{9\pi}{5}))$.
Аргумент $\frac{9\pi}{5}$ не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используем периодичность тангенса:
$tg(\frac{9\pi}{5}) = tg(\frac{9\pi}{5} - 2\pi) = tg(\frac{9\pi - 10\pi}{5}) = tg(-\frac{\pi}{5})$.
Так как $-\frac{\pi}{5} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $arctg(tg(\frac{9\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.

4. $arctg(tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi))$.
Используем периодичность тангенса $tg(x + k\pi) = tg(x)$, где $k$ - целое число.
$tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi) = tg(\frac{9\pi}{5})$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi)) = arctg(tg(\frac{9\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{9}; -\frac{\pi}{9}; -\frac{\pi}{5}; -\frac{\pi}{5}$.

г) Для упрощения выражений с арккотангенсом, будем использовать тождество $arcctg(ctg(x)) = x$, которое верно для $x \in (0, \pi)$, и свойство периодичности котангенса.

1. $arcctg(ctg(0,3\pi))$.
Поскольку $0,3\pi$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $arcctg(ctg(0,3\pi)) = 0,3\pi$.

2. $arcctg(ctg(0,7\pi))$.
Поскольку $0,7\pi$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $arcctg(ctg(0,7\pi)) = 0,7\pi$.

3. $arcctg(ctg(-0,3\pi))$.
Аргумент $-0,3\pi$ не входит в интервал $(0, \pi)$. Используем периодичность котангенса (период $\pi$):
$ctg(-0,3\pi) = ctg(-0,3\pi + \pi) = ctg(0,7\pi)$.
Следовательно, $arcctg(ctg(-0,3\pi)) = arcctg(ctg(0,7\pi)) = 0,7\pi$.

4. $arcctg(ctg(-0,7\pi))$.
Аргумент $-0,7\pi$ не входит в интервал $(0, \pi)$. Используем периодичность котангенса:
$ctg(-0,7\pi) = ctg(-0,7\pi + \pi) = ctg(0,3\pi)$.
Следовательно, $arcctg(ctg(-0,7\pi)) = arcctg(ctg(0,3\pi)) = 0,3\pi$.
Ответ: $0,3\pi; 0,7\pi; 0,7\pi; 0,3\pi$.

5. (4) Упростите следующие выражения:

a) $ \arcsin(\sin(-1)), \arcsin\left(\sin\frac{7\pi}{8}\right), \arcsin(\sin3); $

б) $ \arcsin\left(\sin\frac{15\pi}{8}\right), \arcsin(\sin6). $

а)

Для выражения $\arcsin(\sin(-1))$: по определению, область значений функции арксинус есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что приблизительно равно $[-1.57, 1.57]$. Так как $-1$ принадлежит этому отрезку, то по свойству обратных функций $\arcsin(\sin(-1)) = -1$. Ответ: $-1$.

Для выражения $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{8}))$: угол $\frac{7\pi}{8}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поскольку $\frac{7\pi}{8} > \frac{\pi}{2}$. Используем тригонометрическое тождество $\sin(x) = \sin(\pi - x)$ для нахождения эквивалентного угла в требуемом диапазоне. Имеем $\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\pi - \frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$. Угол $\frac{\pi}{8}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{8})) = \frac{\pi}{8}$. Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\arcsin(\sin(3))$: угол $3$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Используем тождество $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Получаем $\sin(3) = \sin(\pi - 3)$. Значение $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $\arcsin(\sin(3)) = \pi - 3$. Ответ: $\pi - 3$.

б)

Для выражения $\arcsin(\sin(\frac{15\pi}{8}))$: угол $\frac{15\pi}{8}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Воспользуемся периодичностью функции синус, $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$. Вычтем из аргумента период $2\pi$: $\sin(\frac{15\pi}{8}) = \sin(\frac{15\pi}{8} - 2\pi) = \sin(\frac{15\pi - 16\pi}{8}) = \sin(-\frac{\pi}{8})$. Угол $-\frac{\pi}{8}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin(\sin(\frac{15\pi}{8})) = -\frac{\pi}{8}$. Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\arcsin(\sin(6))$: угол $6$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Используем периодичность синуса. Учитывая, что $2\pi \approx 6.28$, вычтем из аргумента $2\pi$: $\sin(6) = \sin(6 - 2\pi)$. Значение $6 - 2\pi \approx 6 - 6.28 = -0.28$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin(\sin(6)) = 6 - 2\pi$. Ответ: $6 - 2\pi$.

6. (4) Упростите следующие выражения:

a) $\arccos(\cos2)$, $\arccos(\cos(-2));$

б) $\arccos(\cos1.3\pi)$, $\arccos(\cos4);$

в) $\arccos(\cos2.3\pi)$, $\arccos(\cos7).$

а)

Для упрощения выражений вида $arccos(cos(x))$ используется основное тождество $arccos(cos(x)) = x$. Это тождество справедливо только в том случае, если аргумент $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть отрезку $[0, \pi]$. Если $x$ не принадлежит этому отрезку, необходимо найти такое значение $x'$, которое принадлежит отрезку $[0, \pi]$ и для которого выполняется равенство $cos(x) = cos(x')$. Для этого используются свойства четности функции косинус, $cos(-x) = cos(x)$, и ее периодичности, $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$.

Решение для $arccos(cos2)$:
Аргумент косинуса $x = 2$. Необходимо проверить, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем $0 < 2 < \pi$. Так как $2 \in [0, \pi]$, то $arccos(cos2) = 2$.

Решение для $arccos(cos(-2))$:
Аргумент косинуса $x = -2$. Это значение не входит в отрезок $[0, \pi]$. Воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(-2) = cos(2)$. Таким образом, выражение преобразуется к виду $arccos(cos(2))$. Как было показано выше, это выражение равно 2.

Ответ: $arccos(cos2) = 2$; $arccos(cos(-2)) = 2$.

б)

Решение для $arccos(cos(1.3\pi))$:
Аргумент косинуса $x = 1.3\pi$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поскольку $1.3\pi > \pi$. Необходимо найти эквивалентный угол в нужном диапазоне. Используем свойство $cos(x) = cos(2\pi - x)$.
$cos(1.3\pi) = cos(2\pi - 1.3\pi) = cos(0.7\pi)$.
Поскольку $0.7\pi \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(1.3\pi)) = arccos(cos(0.7\pi)) = 0.7\pi$.

Решение для $arccos(cos4)$:
Аргумент косинуса $x = 4$. Так как $\pi \approx 3.14$, значение $4$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Найдем такое $x' \in [0, \pi]$, что $cos(x')=cos(4)$. Используем формулу $cos(x) = cos(2\pi k - x)$. При $k=1$ получаем $x' = 2\pi - 4$. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi]$: $2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14 - 4 = 6.28 - 4 = 2.28$. Так как $0 < 2.28 < \pi$, значение $2\pi - 4$ подходит.
Следовательно, $arccos(cos4) = 2\pi - 4$.

Ответ: $arccos(cos(1.3\pi)) = 0.7\pi$; $arccos(cos4) = 2\pi - 4$.

в)

Решение для $arccos(cos(2.3\pi))$:
Аргумент косинуса $x = 2.3\pi$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Воспользуемся свойством периодичности косинуса, отняв период $2\pi$:
$cos(2.3\pi) = cos(2.3\pi - 2\pi) = cos(0.3\pi)$.
Поскольку $0.3\pi \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(2.3\pi)) = arccos(cos(0.3\pi)) = 0.3\pi$.

Решение для $arccos(cos7)$:
Аргумент косинуса $x = 7$. Так как $2\pi \approx 6.28$, значение $7$ больше $2\pi$ и не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Воспользуемся периодичностью косинуса: $cos(7) = cos(7 - 2\pi)$.
Оценим значение $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Следовательно, $arccos(cos7) = 7 - 2\pi$.

Ответ: $arccos(cos(2.3\pi)) = 0.3\pi$; $arccos(cos7) = 7 - 2\pi$.

7. (1) Используя элементарные преобразования P1-P8 (глава 1, $\S6$), постройте последовательно на одной координатной плоскости графики функций $f(x)=\arccos x$, $g(x)=\arccos2x$, $h(x)=\frac{1}{2}\arccos2x$, $u(x)=-\frac{1}{2}\arccos2x$, $v(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arccos2x$. Для каждой из функций определите область определения и множество значений.

$f(x) = \arccos x$
Это исходная функция, график которой является базовым для последующих построений.
Область определения: Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, область определения $D(f) = [-1, 1]$.
Множество значений: По определению, значения функции арккосинус лежат в отрезке от 0 до $\pi$. Таким образом, множество значений $E(f) = [0, \pi]$.
График функции — убывающая кривая, проходящая через ключевые точки $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(1, 0)$.
Ответ: Область определения $D(f) = [-1, 1]$, множество значений $E(f) = [0, \pi]$.

$g(x) = \arccos(2x)$
График функции $g(x)$ получается из графика $f(x) = \arccos x$ путем сжатия по горизонтали к оси Oy в 2 раза (преобразование вида $y=f(kx)$ при $k=2 > 1$).
Область определения: Аргумент функции $2x$ должен удовлетворять условию $-1 \le 2x \le 1$. Отсюда следует, что $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Таким образом, $D(g) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Горизонтальное сжатие не влияет на множество значений функции, поэтому $E(g) = [0, \pi]$.
Ключевые точки графика смещаются по оси Ox: $(-\frac{1}{2}, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Область определения $D(g) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(g) = [0, \pi]$.

$h(x) = \frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $h(x)$ получается из графика $g(x) = \arccos(2x)$ путем сжатия по вертикали к оси Ox в 2 раза (преобразование вида $y=Ag(x)$ при $A=\frac{1}{2}$, где $0 < A < 1$).
Область определения: Вертикальное сжатие не изменяет область определения, поэтому $D(h) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[0, \pi]$ функции $g(x)$ сжимается в 2 раза. Каждое значение умножается на $\frac{1}{2}$, поэтому $E(h) = [0 \cdot \frac{1}{2}, \pi \cdot \frac{1}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}]$.
Ключевые точки графика изменяют свои ординаты: $(-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(0, \frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Область определения $D(h) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(h) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

$u(x) = -\frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $u(x)$ получается из графика $h(x) = \frac{1}{2}\arccos(2x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox (преобразование вида $y=-h(x)$).
Область определения: Отражение не изменяет область определения: $D(u) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[0, \frac{\pi}{2}]$ функции $h(x)$ отражается относительно нуля. Каждое значение умножается на -1, поэтому $E(u) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
Ключевые точки графика отражаются относительно оси Ox: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\pi}{2})$, $(0, -\frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$. Изначально убывающая функция становится возрастающей.
Ответ: Область определения $D(u) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(u) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.

$v(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $v(x)$ получается из графика $u(x) = -\frac{1}{2}\arccos(2x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy вверх на $\frac{\pi}{2}$ (преобразование вида $y=u(x)+B$ при $B=\frac{\pi}{2} > 0$).
Область определения: Вертикальный сдвиг не изменяет область определения: $D(v) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ функции $u(x)$ сдвигается вверх на $\frac{\pi}{2}$. К каждому значению прибавляется $\frac{\pi}{2}$, поэтому $E(v) = [-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}, 0 + \frac{\pi}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}]$.
Ключевые точки графика сдвигаются вверх: $(-\frac{1}{2}, 0)$, $(0, \frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция остается возрастающей.
Ответ: Область определения $D(v) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(v) = [0, \frac{\pi}{2}]$.