Страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

22. (3) Укажите множество значений функции $y=f(x)$:

а) $y=\sin\frac{x}{2}$;

б) $y=-3\sin 2x+1$;

в) $y=-|\sin 4x|-10$;

г) $y=\pi \sin^2 4x+6$.

а) Множество значений стандартной функции синус, $y = \sin(t)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \sin(t) \le 1$. В данной функции $y = \sin(\frac{x}{2})$ аргумент $t = \frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, так как $x$ может быть любым действительным числом. Следовательно, множество значений функции $y = \sin(\frac{x}{2})$ совпадает с множеством значений стандартной функции синуса. Ответ: $[-1, 1]$

б) Для нахождения множества значений функции $y = -3\sin(2x) + 1$ будем исходить из множества значений синуса.
1. Известно, что множество значений функции $\sin(2x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
2. Умножим все части этого неравенства на $-3$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $(-1) \cdot (-3) \ge -3\sin(2x) \ge 1 \cdot (-3)$, что равносильно $3 \ge -3\sin(2x) \ge -3$, или в стандартном виде $-3 \le -3\sin(2x) \le 3$.
3. Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $-3 + 1 \le -3\sin(2x) + 1 \le 3 + 1$.
4. В результате получаем: $-2 \le y \le 4$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[-2, 4]$

в) Найдем множество значений функции $y = -|\sin(4x)| - 10$ последовательными преобразованиями.
1. Множество значений для $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
2. Модуль этого выражения, $|\sin(4x)|$, принимает значения из отрезка $[0, 1]$, так как $|t| \ge 0$ для любого $t$, и максимальное значение $|-1|$ или $|1|$ равно $1$. Итак, $0 \le |\sin(4x)| \le 1$.
3. Умножим неравенство на $-1$, меняя знаки на противоположные: $0 \ge -|\sin(4x)| \ge -1$, что можно записать как $-1 \le -|\sin(4x)| \le 0$.
4. Вычтем $10$ из всех частей неравенства: $-1 - 10 \le -|\sin(4x)| - 10 \le 0 - 10$.
5. Получаем итоговое неравенство: $-11 \le y \le -10$.
Множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[-11, -10]$

г) Рассмотрим функцию $y = \pi \sin^2(4x) + 6$.
1. Множество значений для $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
2. При возведении в квадрат любого числа из отрезка $[-1, 1]$ результат будет находиться в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \sin^2(4x) \le 1$.
3. Умножим все части неравенства на число $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются): $0 \cdot \pi \le \pi \sin^2(4x) \le 1 \cdot \pi$, что дает $0 \le \pi \sin^2(4x) \le \pi$.
4. Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $0 + 6 \le \pi \sin^2(4x) + 6 \le \pi + 6$.
5. В итоге получаем $6 \le y \le \pi + 6$.
Множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[6, \pi + 6]$

23. (3) Укажите множество значений функции $y=f(x)$:

а) $y=3\cos^2 x - 3\sin^2 x$;

б) $y=(2\cos 3x - 2\sin 3x)^2$;

в) $y=\sin^4 x + \cos^4 x$.

а)

Дана функция $y = 3\cos^2x - 3\sin^2x$.

Для нахождения множества значений, упростим выражение. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$y = 3(\cos^2x - \sin^2x)$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применив эту формулу, получим:

$y = 3\cos(2x)$

Множество значений функции косинус, $E(\cos(2x))$, является отрезок $[-1, 1]$.

Чтобы найти множество значений функции $y = 3\cos(2x)$, нужно умножить границы этого отрезка на 3:

$y_{min} = 3 \cdot (-1) = -3$

$y_{max} = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 3]$.

б)

Дана функция $y = (2\cos3x - 2\sin3x)^2$.

Сначала упростим выражение в скобках, вынеся общий множитель 2:

$y = (2(\cos3x - \sin3x))^2 = 4(\cos3x - \sin3x)^2$

Теперь раскроем квадрат разности:

$y = 4(\cos^23x - 2\sin3x\cos3x + \sin^23x)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$y = 4((\cos^23x + \sin^23x) - 2\sin3x\cos3x) = 4(1 - \sin(2 \cdot 3x)) = 4(1 - \sin(6x))$

Теперь найдем множество значений для функции $y = 4(1 - \sin(6x))$.

Множество значений функции синус, $E(\sin(6x))$, является отрезок $[-1, 1]$.

Найдем границы для выражения $1 - \sin(6x)$:

Минимальное значение: $1 - 1 = 0$ (когда $\sin(6x)=1$)

Максимальное значение: $1 - (-1) = 2$ (когда $\sin(6x)=-1$)

Значит, множество значений для $1 - \sin(6x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

Умножим границы этого отрезка на 4, чтобы найти множество значений $y$:

$y_{min} = 4 \cdot 0 = 0$

$y_{max} = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[0, 8]$.

Ответ: $E(y) = [0, 8]$.

в)

Дана функция $y = \sin^4x + \cos^4x$.

Для упрощения выражения представим его как сумму квадратов и дополним до полного квадрата суммы:

$y = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$y = 1^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2(\sin x\cos x)^2$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, из которой следует, что $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим это в наше выражение:

$y = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Найдем множество значений для полученной функции $y = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Множество значений функции $\sin(2x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.

При возведении в квадрат, множество значений для $\sin^2(2x)$ становится отрезком $[0, 1]$.

Найдем границы для выражения $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$:

Минимальное значение $y$ достигается при максимальном значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x) = 1$:

$y_{min} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Максимальное значение $y$ достигается при минимальном значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x) = 0$:

$y_{max} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}, 1]$.

24. (3) При каких значениях параметра a уравнение имеет корни?

а) $\cos\frac{x}{2}=\frac{a}{2}$;

б) $|\cos x|-\cos x=a$;

в) $\sin 3x=\cos a$;

г) $|\sin x|=3a^2+2a$.

а) Уравнение $cos(\frac{x}{2}) = \frac{a}{2}$ является тригонометрическим уравнением вида $cos(t) = C$. Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение в правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Аргумент косинуса $\frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, поэтому область значений функции $y=cos(\frac{x}{2})$ равна $[-1, 1]$. Таким образом, для существования корней должно выполняться двойное неравенство: $-1 \le \frac{a}{2} \le 1$. Умножив все части этого неравенства на 2, получим искомые значения для параметра $a$: $-2 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [-2; 2]$.

б) Рассмотрим левую часть уравнения $f(x) = |cos(x)| - cos(x)$. Необходимо найти область значений этой функции, так как уравнение будет иметь корни только в том случае, если параметр $a$ принадлежит этой области.
1. Если $cos(x) \ge 0$, то по определению модуля $|cos(x)| = cos(x)$. В этом случае выражение равно $f(x) = cos(x) - cos(x) = 0$.
2. Если $cos(x) < 0$, то по определению модуля $|cos(x)| = -cos(x)$. В этом случае выражение равно $f(x) = -cos(x) - cos(x) = -2cos(x)$. Так как в этом случае выполняется условие $-1 \le cos(x) < 0$, то для выражения $-2cos(x)$ мы получаем: $0 < -2cos(x) \le 2$.
Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что область значений функции $f(x) = |cos(x)| - cos(x)$ является объединением множества $\{0\}$ и полуинтервала $(0, 2]$, что дает отрезок $[0, 2]$. Следовательно, уравнение имеет корни при $a \in [0, 2]$.
Ответ: $a \in [0; 2]$.

в) Уравнение $sin(8x) = cos(a)$ можно рассматривать как уравнение вида $sin(t) = C$, где $t = 8x$, а $C = cos(a)$. Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда правая часть $C$ принадлежит области значений синуса, то есть $-1 \le C \le 1$. В нашем случае это означает, что должно выполняться условие $-1 \le cos(a) \le 1$. Это неравенство является верным для любого действительного значения параметра $a$, так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, при любом значении $a$ правая часть уравнения будет находиться в пределах от -1 до 1, и уравнение будет иметь корни.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г) Область значений функции, стоящей в левой части уравнения, $y = |sin(x)|$, есть отрезок $[0, 1]$, так как $sin(x)$ принимает значения от -1 до 1. Следовательно, данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда выражение в правой части принадлежит отрезку $[0, 1]$. Это приводит к системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} 3a^2 + 2a \ge 0 \\ 3a^2 + 2a \le 1 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $3a^2 + 2a \ge 0$. Вынесем $a$ за скобки: $a(3a + 2) \ge 0$. Корнями соответствующего уравнения $a(3a+2)=0$ являются $a=0$ и $a=-2/3$. Поскольку ветви параболы $y=3a^2+2a$ направлены вверх, решение неравенства: $a \in (-\infty; -2/3] \cup [0; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $3a^2 + 2a \le 1$, или $3a^2 + 2a - 1 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $3a^2 + 2a - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни $a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$. Получаем $a_1 = -1$ и $a_2 = 1/3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $a \in [-1; 1/3]$.
Для нахождения итогового решения необходимо найти пересечение множеств, полученных при решении двух неравенств: $( (-\infty; -2/3] \cup [0; +\infty) ) \cap [-1; 1/3]$. Это пересечение состоит из двух отрезков: $[-1; -2/3]$ и $[0; 1/3]$.
Ответ: $a \in [-1; -2/3] \cup [0; 1/3]$.

25. (3) В условии указан вид функции $f(x)$ и множество ее значений. Найдите значения параметров $p$ и $q$, если:

а) $f(x)=p\sin(2x+\frac{\pi}{3})+q$, $E(f):[-10;20]$;

б) $f(x)=p|\cos x|+q$, $E(f):[4;12]$.

а)

Область значений функции синус, $y = \sin(\alpha)$, — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin(2x+\frac{\pi}{3}) \le 1$.

При умножении на параметр $p$, выражение $p \sin(2x+\frac{\pi}{3})$ будет принимать значения в диапазоне от $-|p|$ до $|p|$. После вертикального сдвига на $q$, вся функция $f(x)$ принимает значения в диапазоне от $-|p|+q$ до $|p|+q$.

Следовательно, область значений $E(f)$ — это отрезок $[-|p|+q; |p|+q]$.

Согласно условию, $E(f) = [-10; 20]$. Приравнивая концы отрезков, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} -|p| + q = -10 \\ |p| + q = 20 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(-|p|+q) + (|p|+q) = -10+20$, что дает $2q=10$, откуда $q=5$.

Подставим значение $q=5$ во второе уравнение: $|p|+5 = 20$, откуда $|p|=15$.

Таким образом, возможные значения для $p$ — это $15$ и $-15$.

Ответ: $q=5$, $p=15$ или $p=-15$.

б)

Область значений функции $y = |\cos x|$ — это отрезок $[0; 1]$. То есть, $0 \le |\cos x| \le 1$.

Рассмотрим два возможных случая для знака параметра $p$.

Случай 1: $p > 0$.

При умножении на положительное число $p$, неравенство сохраняется: $0 \le p|\cos x| \le p$. После сдвига на $q$, область значений функции $f(x)$ становится $[q; p+q]$.

Сопоставляя с заданной областью значений $E(f) = [4; 12]$, получаем систему: $\begin{cases} q=4 \\ p+q=12 \end{cases}$.

Из системы находим $p=12-4=8$. Поскольку $p=8>0$, данная пара значений $(p=8, q=4)$ является решением.

Случай 2: $p < 0$.

При умножении на отрицательное число $p$, знаки неравенства меняются: $p \le p|\cos x| \le 0$. После сдвига на $q$, область значений функции $f(x)$ становится $[p+q; q]$.

Сопоставляя с заданной областью значений $E(f) = [4; 12]$, получаем систему: $\begin{cases} p+q=4 \\ q=12 \end{cases}$.

Из системы находим $p=4-12=-8$. Поскольку $p=-8<0$, данная пара значений $(p=-8, q=12)$ также является решением.

Ответ: $p=8, q=4$ или $p=-8, q=12$.

26. (3) В условии указан вид функции $f(x)$, множество ее значений и период. Найдите значения параметров $p, q, r$, если:

a) $f(x)=p\sin rx+q, E(f):[-10;0], T=4;$

б) $f(x)=(p+2)\sin((6-2r)x)+2q, E(f):[-6;8], T=\frac{\pi}{5}$.

а) Для функции общего вида $f(x) = A \sin(kx) + D$ множество значений $E(f)$ находится в пределах $[D - |A|, D + |A|]$, а период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае функция имеет вид $f(x) = p \sin(rx) + q$. Следовательно, амплитуда равна $|p|$, коэффициент при $x$ равен $r$, а вертикальный сдвиг равен $q$.

Дано множество значений $E(f) = [-10; 0]$ и период $T=4$.

1. Найдем $q$ и $p$ из множества значений.

Вертикальный сдвиг $q$ является центром отрезка $[-10; 0]$:

$q = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = \frac{0 + (-10)}{2} = -5$.

Амплитуда $|p|$ равна половине длины этого отрезка:

$|p| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{0 - (-10)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Отсюда следует, что $p=5$ или $p=-5$.

2. Найдем $r$ из периода.

Период $T = \frac{2\pi}{|r|}$. Подставим известное значение $T=4$:

$4 = \frac{2\pi}{|r|}$

$|r| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Отсюда следует, что $r=\frac{\pi}{2}$ или $r=-\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, мы получили все возможные значения для параметров $p, q, r$.

Ответ: $q=-5$; $p \in \{5, -5\}$; $r \in \{\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\}$.

б) Функция имеет вид $f(x) = (p+2)\sin((6-2r)x) + 2q$.

В данном случае амплитуда $A = p+2$, коэффициент при $x$ $k = 6-2r$, а вертикальный сдвиг $D = 2q$.

Дано множество значений $E(f) = [-6; 8]$ и период $T = \frac{\pi}{5}$.

1. Найдем параметры, связанные с множеством значений.

Вертикальный сдвиг $D = 2q$ является центром отрезка $[-6; 8]$:

$D = \frac{8 + (-6)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Следовательно, $2q = 1 \implies q = \frac{1}{2}$.

Амплитуда $|A| = |p+2|$ равна половине длины этого отрезка:

$|A| = \frac{8 - (-6)}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, $|p+2| = 7$. Решим это уравнение:

$p+2 = 7 \implies p=5$

или

$p+2 = -7 \implies p=-9$.

2. Найдем параметр $r$ из периода.

Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|6-2r|}$. Подставим известное значение $T=\frac{\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{|6-2r|}$

Разделив обе части на $\pi$, получим:

$\frac{1}{5} = \frac{2}{|6-2r|} \implies |6-2r| = 10$.

Решим это уравнение:

$6-2r = 10 \implies -2r = 4 \implies r=-2$

или

$6-2r = -10 \implies -2r = -16 \implies r=8$.

Мы получили одно значение для $q$, и по два возможных значения для $p$ и $r$.

Ответ: $q=\frac{1}{2}$; $p \in \{5, -9\}$; $r \in \{-2, 8\}$.

27. (5) Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу по очереди. Каждый раз одна из них играет, а остальные три поют. Оказалось, что Аня спела больше всех песен – 11, а Айжан спела меньше всех песен – 8. Сколько всего песен спели девочки?

Пусть $N$ – общее количество спетых песен. В исполнении каждой песни участвуют четыре девочки: одна аккомпанирует, а трое поют.

Следовательно, если всего было спето $N$ песен, то общее количество раз, когда девочки выступали в роли певиц, составляет $3 \times N$. Это число также должно быть равно сумме песен, спетых каждой из четырех девочек.

Обозначим количество песен, спетых Аней, как $S_{Аня}$, Айжан – как $S_{Айжан}$, и двумя другими девочками – как $S_3$ и $S_4$. Согласно условию задачи, $S_{Аня} = 11$ и $S_{Айжан} = 8$.

Составим уравнение, исходя из вышесказанного:
$S_{Аня} + S_{Айжан} + S_3 + S_4 = 3N$
Подставим известные значения:
$11 + 8 + S_3 + S_4 = 3N$
$19 + S_3 + S_4 = 3N$

Из этого уравнения следует, что сумма $19 + S_3 + S_4$ должна быть делима на 3 без остатка.

В условии сказано, что Аня спела больше всех песен (11), а Айжан – меньше всех (8). Это означает, что количество песен, спетых двумя другими девочками ($S_3$ и $S_4$), должно находиться строго в интервале между 8 и 11. Поскольку количество песен является целым числом, то $S_3$ и $S_4$ могут принимать значения только 9 или 10.

Рассмотрим возможные значения суммы $S_3 + S_4$:
– Если обе девочки спели по 9 песен: $S_3 + S_4 = 9 + 9 = 18$.
– Если одна спела 9, а другая 10 песен: $S_3 + S_4 = 9 + 10 = 19$.
– Если обе девочки спели по 10 песен: $S_3 + S_4 = 10 + 10 = 20$.

Теперь проверим, какой из этих вариантов суммы делает выражение $19 + S_3 + S_4$ кратным 3:
– При сумме 18: $19 + 18 = 37$ (не делится на 3).
– При сумме 19: $19 + 19 = 38$ (не делится на 3).
– При сумме 20: $19 + 20 = 39$ (делится на 3).

Единственный подходящий вариант – это когда сумма песен, спетых двумя другими девочками, равна 20. Это возможно только в том случае, если каждая из них спела по 10 песен.

Теперь мы можем найти общее количество песен $N$ из уравнения $3N = 39$:
$N = 39 / 3 = 13$

Для проверки убедимся, что все условия выполняются. Если всего было 13 песен, то количество раз, когда каждая девочка аккомпанировала, равно:
– Аня: $13 - 11 = 2$ раза.
– Айжан: $13 - 8 = 5$ раз.
– Третья девочка: $13 - 10 = 3$ раза.
– Четвертая девочка: $13 - 10 = 3$ раза.
Общее число аккомпанементов: $2 + 5 + 3 + 3 = 13$. Это совпадает с общим количеством песен, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 13.

28. (2) Решите уравнения:

а) $(x^2 - 4)\sqrt{x+1} = 0$;

б) $(x^2 + 5x)\sqrt{x-3} = 0$.

а) $(x^2 - 4)\sqrt{x+1} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Это означает, что мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

$x + 1 \geq 0$

$x \geq -1$

Таким образом, решения уравнения должны принадлежать промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: $x^2 - 4 = 0$.

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Второй множитель: $\sqrt{x+1} = 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 = 0$

$x_3 = -1$.

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \geq -1$), значит, он является решением уравнения.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < -1$), значит, это посторонний корень.

Корень $x_3 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \geq -1$), значит, он также является решением.

Ответ: $-1; 2$.

б) $(x^2 + 5x)\sqrt{x-3} = 0$

Уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Решим его, приравняв каждый множитель к нулю и учтя область допустимых значений.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком корня не может быть отрицательным:

$x - 3 \geq 0$

$x \geq 3$

Решения уравнения должны лежать в промежутке $[3; +\infty)$.

2. Решим уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

Первый множитель: $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Второй множитель: $\sqrt{x-3} = 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x-3 = 0$

$x_3 = 3$.

3. Соотнесем полученные корни с ОДЗ ($x \geq 3$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ($0 < 3$), следовательно, является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 3$), следовательно, также является посторонним корнем.

Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \geq 3$), значит, это единственное решение уравнения.

Ответ: $3$.

29. (5) Балтабай собирается заменить в своей квартире 10 обычных ламп накаливания на 10 энергосберегающих. Потребляемая мощность обычной лампы – 100 Вт, энергосберегающей – 10 Вт, стоимость энергосберегающей лампы – 1440 тенге, стоимость электроэнергии – 16 тенге за один киловатт-час. За какое время окупится покупка энергосберегающих ламп, если каждая лампа горит в среднем по 4 часа в сутки? (Будем считать, что энергосберегающие лампы не перегорают).

A) 250 дней; B) 300 дней; C) 320 дней; D) 1 год; E) 440 дней.

Для того чтобы определить, за какое время окупится покупка энергосберегающих ламп, необходимо рассчитать общую стоимость покупки, а затем найти ежедневную экономию от их использования. Срок окупаемости будет равен отношению общей стоимости к ежедневной экономии.

1. Расчет первоначальных затрат

Сначала рассчитаем общую стоимость покупки 10 энергосберегающих ламп. Стоимость одной лампы — 1440 тенге.

$10 \text{ ламп} \times 1440 \frac{\text{тенге}}{\text{лампа}} = 14400 \text{ тенге}$

Это общая сумма, которую необходимо окупить за счет экономии.

2. Расчет экономии мощности

Найдем разницу в потребляемой мощности между одной лампой накаливания и одной энергосберегающей лампой.

$100 \text{ Вт} - 10 \text{ Вт} = 90 \text{ Вт}$

Так как в квартире заменяют 10 ламп, общая экономия мощности составит:

$90 \frac{\text{Вт}}{\text{лампа}} \times 10 \text{ ламп} = 900 \text{ Вт}$

3. Расчет ежедневной экономии электроэнергии

Каждая лампа работает 4 часа в сутки. Переведем сэкономленную мощность из ватт (Вт) в киловатты (кВт), зная, что $1 \text{ кВт} = 1000 \text{ Вт}$.

$900 \text{ Вт} = 0,9 \text{ кВт}$

Теперь рассчитаем, сколько киловатт-часов (кВт·ч) экономится за один день:

$0,9 \text{ кВт} \times 4 \text{ часа} = 3,6 \text{ кВт} \cdot \text{ч}$

4. Расчет ежедневной экономии в деньгах

Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии составляет 16 тенге. Рассчитаем, сколько денег экономится каждый день:

$3,6 \text{ кВт} \cdot \text{ч} \times 16 \frac{\text{тенге}}{\text{кВт} \cdot \text{ч}} = 57,6 \text{ тенге}$

Таким образом, ежедневная экономия составляет 57,6 тенге.

5. Расчет срока окупаемости

Чтобы найти срок окупаемости в днях, разделим общую стоимость ламп на сумму ежедневной экономии:

$\frac{14400 \text{ тенге}}{57,6 \frac{\text{тенге}}{\text{день}}} = 250 \text{ дней}$

Следовательно, покупка энергосберегающих ламп окупится за 250 дней.

Ответ: A) 250 дней.

30. (2) Решите систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 4y = 18, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 4y = 18 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Для решения данной системы воспользуемся методом подстановки. Из первого, линейного, уравнения выразим переменную x через y:

$x = 18 - 4y$

Теперь подставим это выражение вместо x во второе, квадратное, уравнение системы:

$(18 - 4y)^2 + y^2 = 20$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 4y + (4y)^2 + y^2 = 20$

$324 - 144y + 16y^2 + y^2 = 20$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно y:

$17y^2 - 144y + 324 - 20 = 0$

$17y^2 - 144y + 304 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a = 17$, $b = -144$, $c = 304$.

$D = (-144)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 304 = 20736 - 20672 = 64$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формулам $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{144 + \sqrt{64}}{2 \cdot 17} = \frac{144 + 8}{34} = \frac{152}{34} = \frac{76}{17}$

$y_2 = \frac{144 - \sqrt{64}}{2 \cdot 17} = \frac{144 - 8}{34} = \frac{136}{34} = 4$

Теперь для каждого найденного значения y найдем соответствующее значение x, используя выражение $x = 18 - 4y$.

1. При $y_1 = \frac{76}{17}$:

$x_1 = 18 - 4 \cdot \frac{76}{17} = 18 - \frac{304}{17} = \frac{18 \cdot 17}{17} - \frac{304}{17} = \frac{306 - 304}{17} = \frac{2}{17}$

Таким образом, первая пара решений: $(\frac{2}{17}, \frac{76}{17})$.

2. При $y_2 = 4$:

$x_2 = 18 - 4 \cdot 4 = 18 - 16 = 2$

Таким образом, вторая пара решений: $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(\frac{2}{17}, \frac{76}{17})$.