Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Постройте график и исследуйте функцию $y = \text{ctg } x$.

Построение графика функции $y = \operatorname{ctg} x$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ называется котангенсоидой. Для его построения воспользуемся основными свойствами функции. Сначала составим таблицу значений для основного промежутка $(0; \pi)$.

Функция не определена в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках график имеет вертикальные асимптоты. При $x \to \pi n^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to \pi(n+1)^-$ значение $y \to -\infty$. Функция является периодической с основным периодом $T=\pi$. Используя эти данные, строим график.

Исследование свойств функции $y = \operatorname{ctg} x$

1. Область определения
Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие не выполняется при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Множество значений
Функция котангенс может принимать любые действительные значения, от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность
Функция является периодической, так как $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg}(x)$ для всех $x$ из области определения. Наименьший положительный период функции равен $\pi$.
Ответ: Функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

4. Четность и нечетность
Проверим значение функции для аргумента $-x$: $\operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x$. Так как $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0,0).
Ответ: Функция нечетная.

5. Нули функции
Функция обращается в нуль, когда ее числитель равен нулю: $\operatorname{ctg} x = 0 \iff \cos x = 0$. Это справедливо для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства
Знак котангенса зависит от знаков синуса и косинуса.
$y > 0$ ($\operatorname{ctg} x > 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти). С учетом периодичности: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ ($\operatorname{ctg} x < 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки (II и IV координатные четверти). С учетом периодичности: $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Функция положительна на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$ и отрицательна на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi(n+1))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)
Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ всегда. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.
Ответ: Функция является убывающей на каждом из интервалов $(\pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Асимптоты
В точках разрыва $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, функция стремится к бесконечности, поэтому прямые $x = \pi n$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как функция периодична.
Ответ: Вертикальные асимптоты $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9. Экстремумы
Так как производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ нигде не равна нулю и не меняет знак в области определения, у функции нет точек локального максимума или минимума.
Ответ: Экстремумов нет.

2. (3) На рисунке 4 изображен график производной $f'(x)$ функции $y=f(x)$, $D(f):(-6;6)$.

Рис. 4

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.
Критические точки функции $f(x)$ – это внутренние точки области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Нам дан график производной $f'(x)$ на интервале $(-6; 6)$.
Из графика видно, что производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения $D(f) = (-6; 6)$. Следовательно, для нахождения критических точек необходимо найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ равна нулю.
Это соответствует точкам пересечения графика $f'(x)$ с осью абсцисс (осью Ox).
По графику находим, что $f'(x) = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.
Таким образом, критическими точками функции $f(x)$ являются $x = -4$ и $x = 2$.
Ответ: $x = -4$, $x = 2$.

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.
Интервалы монотонности функции $f(x)$ определяются знаком её производной $f'(x)$.
1. Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где её производная $f'(x) > 0$.
2. Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где её производная $f'(x) < 0$.
Анализируя график $f'(x)$, мы видим:
- Производная $f'(x) > 0$ (график находится выше оси Ox) на интервалах $(-6; -4)$ и $(2; 6)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на этих интервалах.
- Производная $f'(x) < 0$ (график находится ниже оси Ox) на интервале $(-4; 2)$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.
Включая концы интервалов (критические точки), получаем полные интервалы монотонности.
Ответ: функция возрастает на интервалах $(-6; -4]$ и $[2; 6)$; функция убывает на интервале $[-4; 2]$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.
Точки локального экстремума (максимума или минимума) функции $f(x)$ находятся среди её критических точек. Для определения типа экстремума необходимо проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку.
- В точке $x = -4$: слева от этой точки производная $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$), а справа — отрицательна ($f'(x)<0$). Так как знак производной меняется с «+» на «−», то $x = -4$ является точкой локального максимума функции $f(x)$.
- В точке $x = 2$: слева от этой точки производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$), а справа — положительна ($f'(x)>0$). Так как знак производной меняется с «−» на «+», то $x = 2$ является точкой локального минимума функции $f(x)$.
Ответ: $x_{max} = -4$ — точка локального максимума, $x_{min} = 2$ — точка локального минимума.

3. (2)

а) Дан квадратный трехчлен $y=8x^2+10x+3$. Найдите точку экстремума и значение трехчлена в точке экстремума.

б) Используя достаточный признак экстремума, докажите следующее утверждение: «Если $a>0$, то квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наименьшее значение в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$. Наименьшее значение квадратного трехчлена равно $y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}$»

4. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точ-

а)

Дан квадратный трехчлен $y = 8x^2 + 10x + 3$. Точка экстремума для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — это вершина параболы. Абсцисса вершины (точка экстремума) находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, коэффициенты $a = 8$, $b = 10$, $c = 3$. Подставим значения в формулу, чтобы найти точку экстремума:

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 8} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$

Теперь найдем значение трехчлена в этой точке (значение в точке экстремума), подставив $x_0 = -5/8$ в исходное уравнение:

$y_0 = y(x_0) = 8 \cdot (-\frac{5}{8})^2 + 10 \cdot (-\frac{5}{8}) + 3$

$y_0 = 8 \cdot \frac{25}{64} - \frac{50}{8} + 3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{24}{8} = \frac{25 - 50 + 24}{8} = -\frac{1}{8}$

Поскольку коэффициент $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, найденная точка является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума $x_0 = -5/8$, значение трехчлена в точке экстремума $y_0 = -1/8$.

б)

Необходимо доказать утверждение: «Если $a > 0$, то квадратный трехчлен $y = ax^2 + bx + c$ принимает свое наименьшее значение в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Наименьшее значение квадратного трехчлена равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$».

Для доказательства используем производные. Точки экстремума функции находятся среди ее стационарных точек, то есть точек, где первая производная равна нулю (необходимое условие экстремума).

1. Найдем первую производную функции $y(x) = ax^2 + bx + c$:

$y'(x) = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$

2. Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$2ax + b = 0 \implies 2ax = -b \implies x_0 = -\frac{b}{2a}$

Мы нашли абсциссу единственной стационарной точки.

3. Теперь применим достаточный признак экстремума, который основан на знаке второй производной. Найдем вторую производную:

$y''(x) = (2ax + b)' = 2a$

4. По условию задачи $a > 0$. Следовательно, вторая производная $y'' = 2a$ всегда положительна. Согласно достаточному признаку экстремума, если в стационарной точке первая производная равна нулю, а вторая производная положительна ($y''(x_0) > 0$), то в этой точке функция имеет минимум.

Поскольку $y'' = 2a > 0$, в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ функция достигает минимума. Так как это единственный экстремум функции, он является точкой, где функция принимает свое наименьшее значение.

5. Найдем это наименьшее значение $y_0$, подставив $x_0 = -\frac{b}{2a}$ в исходное выражение для $y$:

$y_0 = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c$

$y_0 = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $4a$:

$y_0 = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Таким образом, мы доказали, что при $a > 0$ наименьшее значение квадратного трехчлена достигается в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Ответ: утверждение доказано.

4. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точки. Из всех найденных критических точек выделите точки экстремума. В каждой из точек экстремума найдите значение функции:

a) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 20x + 9;$

B) $g(x) = 4x^3 - 6x^2 + 18x + 9;$

б) $h(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 9.$

а) Для функции $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 20x + 9$

Критические точки функции – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Так как данная функция является многочленом, она дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:$f'(x) = (4x^3 - 6x^2 + 20x + 9)' = 12x^2 - 12x + 20$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$12x^2 - 12x + 20 = 0$.

Разделим уравнение на 4 для упрощения:$3x^2 - 3x + 5 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 9 - 60 = -51$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Так как $f'(x) = 12x^2 - 12x + 20$ является параболой с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен) и не имеет корней, то $f'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.Таким образом, у функции нет критических точек и, соответственно, нет точек экстремума.
Ответ: у функции нет критических точек и точек экстремума.

в) Для функции $g(x) = 4x^3 - 6x^2 + 18x + 9$

Найдем производную функции:$g'(x) = (4x^3 - 6x^2 + 18x + 9)' = 12x^2 - 12x + 18$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$12x^2 - 12x + 18 = 0$.

Разделим уравнение на 6:$2x^2 - 2x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Производная $g'(x)$ никогда не равна нулю. Поскольку $g'(x) = 12x^2 - 12x + 18$ является параболой с ветвями вверх и не имеет корней, то $g'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $g(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.Таким образом, у функции нет критических точек и, соответственно, нет точек экстремума.
Ответ: у функции нет критических точек и точек экстремума.

б) Для функции $h(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 9$

Найдем производную функции:$h'(x) = (4x^3 - 6x^2 - 72x + 9)' = 12x^2 - 12x - 72$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$12x^2 - 12x - 72 = 0$.

Разделим уравнение на 12:$x^2 - x - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:$(x+2)(x-3) = 0$.Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это и есть критические точки.

Чтобы определить, являются ли эти точки точками экстремума, исследуем знак производной $h'(x) = 12(x+2)(x-3)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, $h'(-3) = 12(-3+2)(-3-3) = 12(-1)(-6) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 3)$, например $x=0$, $h'(0) = 12(0+2)(0-3) = 12(2)(-3) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$, $h'(4) = 12(4+2)(4-3) = 12(6)(1) > 0$, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = -2$ знак производной меняется с «+» на «–», это точка максимума.
Поскольку в точке $x = 3$ знак производной меняется с «–» на «+», это точка минимума.

Теперь найдем значения функции в этих точках экстремума.
Значение в точке максимума $x = -2$:$h(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - 72(-2) + 9 = 4(-8) - 6(4) + 144 + 9 = -32 - 24 + 144 + 9 = 97$.
Значение в точке минимума $x = 3$:$h(3) = 4(3)^3 - 6(3)^2 - 72(3) + 9 = 4(27) - 6(9) - 216 + 9 = 108 - 54 - 216 + 9 = -153$.
Ответ: критические точки: $x=-2$ и $x=3$. Точка максимума: $x=-2$, значение функции в ней $h(-2)=97$. Точка минимума: $x=3$, значение функции в ней $h(3)=-153$.

5. (2) Найдите точки экстремума функции $y = x^3 - 6x^2 - 9x + 1$ на интерва-ле $(- \frac{3}{5}; 5)$.

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^3 - 6x^2 - 9x + 1$ на заданном интервале $(-\frac{3}{5}; 5)$, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю для нахождения критических точек, а затем проверить, какие из этих точек принадлежат указанному интервалу.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 6x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 - 12x - 9$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 12x - 9 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$

Так как $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$, получаем:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

Таким образом, критические точки функции: $x_1 = 2 - \sqrt{7}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{7}$.

3. Проверим, принадлежат ли эти точки интервалу $(-\frac{3}{5}; 5)$, то есть $(-0.6; 5)$.

Оценим значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $2 < \sqrt{7} < 3$. Более точная оценка: $\sqrt{7} \approx 2.65$.

Для точки $x_1 = 2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.65 = -0.65$. Поскольку $-0.65 < -0.6$, точка $x_1$ не принадлежит заданному интервалу.

Для точки $x_2 = 2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.65 = 4.65$. Поскольку $-0.6 < 4.65 < 5$, точка $x_2$ принадлежит заданному интервалу.

4. Определим тип экстремума для точки $x = 2 + \sqrt{7}$. Для этого исследуем знак производной $y' = 3x^2 - 12x - 9$ слева и справа от этой точки внутри интервала $(-\frac{3}{5}; 5)$.

График производной $y' = 3(x - (2 - \sqrt{7}))(x - (2 + \sqrt{7}))$ — это парабола с ветвями вверх. Производная отрицательна между корнями и положительна вне этого промежутка.

На интервале $(-\frac{3}{5}; 2 + \sqrt{7})$ производная $y' < 0$ (так как этот интервал лежит между корнями $2-\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{7}$), следовательно, функция убывает.

На интервале $(2 + \sqrt{7}; 5)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = 2 + \sqrt{7}$ производная меняет знак с «–» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума на заданном интервале — это точка минимума $x = 2 + \sqrt{7}$.

6. (2) Найдите значение функции $f(x)=x^3(x+3)^4$ в точке ее локального максимума.

Для того чтобы найти точку локального максимума функции $f(x) = x^3(x+3)^4$, необходимо найти ее производную и критические точки.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^3)'(x+3)^4 + x^3((x+3)^4)'$

$f'(x) = 3x^2(x+3)^4 + x^3 \cdot 4(x+3)^3 \cdot (x+3)'$

$f'(x) = 3x^2(x+3)^4 + 4x^3(x+3)^3$

Для нахождения критических точек решим уравнение $f'(x) = 0$. Для этого вынесем общие множители $x^2(x+3)^3$ за скобку:

$f'(x) = x^2(x+3)^3[3(x+3) + 4x]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$f'(x) = x^2(x+3)^3(3x + 9 + 4x) = x^2(x+3)^3(7x+9)$

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2(x+3)^3(7x+9) = 0$

Критическими точками являются корни этого уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -9/7$ и $x_3 = 0$.

Чтобы определить, какая из этих точек является точкой локального максимума, исследуем знаки производной $f'(x)$ на интервалах. Точка локального максимума — это точка, при переходе через которую производная меняет свой знак с плюса на минус.

1. На интервале $(-\infty; -3)$ производная $f'(x)$ положительна, так как множители $x^2$, $(x+3)^3$ и $(7x+9)$ имеют знаки $(+)$, $(-)$ и $(-)$ соответственно. Произведение: $(+)\cdot(-)\cdot(-)=(+)$. Функция возрастает.

2. На интервале $(-3; -9/7)$ производная $f'(x)$ отрицательна, так как множители имеют знаки $(+)$, $(+)$ и $(-)$. Произведение: $(+)\cdot(+)\cdot(-)=(-)$. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x=-3$ знак производной меняется с «+» на «−», точка $x=-3$ является точкой локального максимума.

Для полноты анализа: при переходе через $x=-9/7$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. При переходе через $x=0$ знак производной не меняется (из-за множителя $x^2$), поэтому в этой точке экстремума нет.

Итак, единственная точка локального максимума функции — это $x=-3$.

Вычислим значение функции $f(x)$ в этой точке:

$f(-3) = (-3)^3(-3+3)^4 = -27 \cdot 0^4 = 0$

Ответ: 0

7. (3) Найдите точки локальных экстремумов для следующих функций:
a) $f(x)=\sin x$;
б) $g(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{2x}$
в) $h(x)=\sin 3x \cos \frac{3\pi}{7} - \cos 3x \sin \frac{3\pi}{7} + \frac{3\sqrt{3}}{2}x.$

а) $f(x) = \sin x$

Для нахождения точек локальных экстремумов функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и найти критические точки. Затем исследовать знак производной в окрестности этих точек или использовать вторую производную.

1. Находим первую производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x = 0$

Решениями этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим найденные критические точки в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{2} + \pi n) = -\sin(\frac{\pi}{2} + \pi n)$

Рассмотрим два случая:

- Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $f''(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$. Так как $f''(x) < 0$, в этих точках функция имеет локальный максимум.

- Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. $f''(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Так как $f''(x) > 0$, в этих точках функция имеет локальный минимум.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}x$

1. Находим первую производную функции:

$g'(x) = (\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}x)' = -\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' - \sqrt{2} = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}$

2. Находим критические точки, решая уравнение $g'(x) = 0$:

$-2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2} = 0$

$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi + 15\pi}{12} + 2\pi n = \frac{19\pi}{12} + 2\pi n$

$x = \frac{19\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$g''(x) = (-2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2})' = -2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = -4\cos(2x - \frac{\pi}{3})$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

- Для серии $x = \frac{\pi}{24} + \pi n$, аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $g''(x) = -4\cos(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$. Так как $g''(x) < 0$, это точки локального максимума.

- Для серии $x = \frac{19\pi}{24} + \pi n$, аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. $g''(x) = -4\cos(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n) = -4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$. Так как $g''(x) > 0$, это точки локального минимума.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = \frac{19\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $h(x) = \sin(3x)\cos(\frac{3\pi}{7}) - \cos(3x)\sin(\frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

1. Сначала упростим выражение для функции, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$h(x) = \sin(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

2. Находим первую производную функции:

$h'(x) = (\sin(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x)' = \cos(3x - \frac{3\pi}{7}) \cdot 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. Находим критические точки, решая уравнение $h'(x) = 0$:

$3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений:

1) $3x - \frac{3\pi}{7} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{7} + 2\pi k = \frac{35\pi + 18\pi}{42} + 2\pi k = \frac{53\pi}{42} + 2\pi k$

$x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

2) $3x - \frac{3\pi}{7} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{7} + 2\pi k = \frac{-35\pi + 18\pi}{42} + 2\pi k = -\frac{17\pi}{42} + 2\pi k$

$x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

4. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$h''(x) = (3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2})' = -3\sin(3x - \frac{3\pi}{7}) \cdot 3 = -9\sin(3x - \frac{3\pi}{7})$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

- Для серии $x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}$, аргумент синуса $3x - \frac{3\pi}{7} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. $h''(x) = -9\sin(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = -9 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$. Так как $h''(x) < 0$, это точки локального максимума.

- Для серии $x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}$, аргумент синуса $3x - \frac{3\pi}{7} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. $h''(x) = -9\sin(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = -9 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$. Так как $h''(x) > 0$, это точки локального минимума.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.