Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Две материальные точки движутся в пространстве таким образом, что расстояние между ними описывается функцией от времени $S(t)=\sqrt{t^2-2t+26}$, начиная с момента $t_0=0$. Чему может быть равно наименьшее расстояние между точками?

Чтобы найти наименьшее расстояние между точками, необходимо найти минимальное значение функции расстояния $S(t) = \sqrt{t^2 - 2t + 26}$ на промежутке $t \ge 0$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $S(t)$ достигается при том же значении $t$, при котором достигает своего наименьшего значения подкоренное выражение.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(t) = t^2 - 2t + 26$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $t^2$ равен 1 (положительное число). Наименьшее значение такой функции находится в вершине параболы.

Координату $t_v$ вершины параболы $f(t) = at^2 + bt + c$ можно найти по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $f(t) = t^2 - 2t + 26$ имеем $a=1$ и $b=-2$. Подставим эти значения в формулу:

$t_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Найденное значение $t=1$ принадлежит области определения задачи ($t \ge 0$), следовательно, в этой точке подкоренное выражение принимает свое минимальное значение.

Вычислим это минимальное значение, подставив $t=1$ в $f(t)$:

$f_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) + 26 = 1 - 2 + 26 = 25$.

Теперь найдем наименьшее расстояние, взяв квадратный корень из минимального значения подкоренного выражения:

$S_{min} = \sqrt{f_{min}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

20. (2)
Найдите арифметическую прогрессию, если сумма ее $n$ первых членов $S_n=5n^2-2n$.

Чтобы найти арифметическую прогрессию, нам необходимо определить ее первый член $a_1$ и разность $d$. Нам дана формула для суммы первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 5n^2 - 2n$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$.

Сумма первого члена прогрессии $S_1$ равна самому первому члену $a_1$.
Подставим $n=1$ в данную формулу:

$a_1 = S_1 = 5(1)^2 - 2(1) = 5 - 2 = 3$.

2. Найдем второй член прогрессии $a_2$.

Сумма первых двух членов прогрессии $S_2$ равна $a_1 + a_2$.
Подставим $n=2$ в данную формулу:

$S_2 = 5(2)^2 - 2(2) = 5 \cdot 4 - 4 = 20 - 4 = 16$.

Теперь, зная $S_2$ и $a_1$, найдем $a_2$:

$S_2 = a_1 + a_2$

$16 = 3 + a_2$

$a_2 = 16 - 3 = 13$.

3. Найдем разность прогрессии $d$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом. Найдем ее как $a_2 - a_1$:

$d = a_2 - a_1 = 13 - 3 = 10$.

Таким образом, мы нашли первый член прогрессии $a_1=3$ и ее разность $d=10$.

Арифметическая прогрессия полностью определена этими двумя значениями. Формула для $n$-го члена этой прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)10 = 3 + 10n - 10 = 10n - 7$.

Проверим, соответствует ли найденная прогрессия исходной формуле суммы. Формула суммы для арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_n = \frac{3 + (10n - 7)}{2} \cdot n = \frac{10n - 4}{2} \cdot n = (5n - 2) \cdot n = 5n^2 - 2n$.

Формула совпала с данной в условии, значит, прогрессия найдена верно.

Ответ: Искомая арифметическая прогрессия имеет первый член $a_1=3$ и разность $d=10$.

В клубе встретились 20 джентльменов. Некоторые пришли в шляпах, а некоторые – без шляпы. Время от времени один из джентльменов снимал шляпу и надевал ее на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце 10 джентльменов подсчитали, что любой из них отдавал шляпу больше, чем получал. Сколько джентльменов пришло в шляпах?

Давайте проанализируем условие задачи. Всего в клубе 20 джентльменов. Пусть для каждого $i$-го джентльмена $g_i$ — это количество раз, которое он отдал шляпу, а $p_i$ — количество раз, которое он получил шляпу.

Ключевой момент состоит в том, что каждая передача шляпы — это одно действие "отдал" и одно действие "получил". Следовательно, общее число всех "отдач" равно общему числу всех "получений" по всем джентльменам:

$ \sum_{i=1}^{20} g_i = \sum_{i=1}^{20} p_i $

Рассмотрим разность $d_i = g_i - p_i$ для каждого джентльмена. Эта величина показывает, на сколько больше раз джентльмен отдал шляпу, чем получил. Если мы просуммируем эти разности по всем джентльменам, то получим ноль:

$ \sum_{i=1}^{20} d_i = \sum_{i=1}^{20} (g_i - p_i) = \sum_{i=1}^{20} g_i - \sum_{i=1}^{20} p_i = 0 $

По условию, 10 джентльменов (назовем их группой А) отдали шляпу больше раз, чем получали. Для них $g_i > p_i$. Поскольку $g_i$ и $p_i$ — это целые числа, то для любого джентльмена из группы А разность $d_i = g_i - p_i \ge 1$.

Остальные 10 джентльменов образуют группу Б. Сумму всех разностей можно представить как сумму по двум группам:

$ \sum_{i \in A} d_i + \sum_{j \in B} d_j = 0 $

Поскольку для группы А (10 человек) минимальное значение $d_i$ равно 1, то сумма для этой группы $ \sum_{i \in A} d_i \ge 10 \times 1 = 10$.

Чтобы общая сумма была равна нулю, сумма для группы Б должна быть отрицательной: $ \sum_{j \in B} d_j = - \sum_{i \in A} d_i \le -10 $. Это означает, что для каждого джентльмена из группы Б $d_j = g_j - p_j < 0$, то есть они получали шляпу чаще, чем отдавали.

Теперь свяжем это с тем, были ли джентльмены в шляпах в начале. Пусть $H_{i, \text{нач}}$ — это статус наличия шляпы у $i$-го джентльмена в начале (1 — есть шляпа, 0 — нет), и $H_{i, \text{кон}}$ — статус в конце. Изменение статуса для $i$-го джентльмена равно количеству полученных шляп минус количество отданных:

$ H_{i, \text{кон}} - H_{i, \text{нач}} = p_i - g_i = -d_i $

Проанализируем обе группы:

1. Для группы А: $d_i \ge 1$. Тогда $H_{i, \text{кон}} - H_{i, \text{нач}} \le -1$. Так как статусы могут быть только 0 или 1, это равенство возможно только в одном случае: $H_{i, \text{нач}} = 1$ и $H_{i, \text{кон}} = 0$. Это значит, что все 10 джентльменов из группы А пришли в шляпах.

2. Для группы Б: $d_j < 0$, то есть $d_j \le -1$. Тогда $H_{j, \text{кон}} - H_{j, \text{нач}} \ge 1$. Это возможно только если $H_{j, \text{нач}} = 0$ и $H_{j, \text{кон}} = 1$. Это значит, что все 10 джентльменов из группы Б пришли без шляп.

Следовательно, количество джентльменов, которые пришли в шляпах, равно количеству джентльменов в группе А.

Ответ: 10

22. (3) Самолет летел сначала со скоростью $220 \text{ км/ч}$. Когда ему осталось лететь на $385 \text{ км}$ меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной $330 \text{ км/ч}$. Средняя скорость самолета на всем пути $250 \text{ км/ч}$. Какое расстояние пролетел самолет?

Решение

Обозначим переменные:

• $S_1$ — расстояние, которое самолет пролетел на первом участке пути (в км).
• $v_1$ — скорость самолета на первом участке пути, $v_1 = 220$ км/ч.
• $t_1$ — время полета на первом участке (в часах).
• $S_2$ — расстояние, которое самолету осталось лететь (в км).
• $v_2$ — скорость самолета на втором участке пути, $v_2 = 330$ км/ч.
• $t_2$ — время полета на втором участке (в часах).
• $S_{общ}$ — общее расстояние полета (в км).
• $v_{ср}$ — средняя скорость на всем пути, $v_{ср} = 250$ км/ч.

По условию задачи, когда самолету осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, его скорость изменилась. Это означает, что расстояние второго участка ($S_2$) связано с расстоянием первого участка ($S_1$) следующим образом:

$S_2 = S_1 - 385$

Общее расстояние, которое пролетел самолет, равно сумме расстояний двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = S_1 + (S_1 - 385) = 2S_1 - 385$

Время, затраченное на каждый участок, можно выразить через расстояние и скорость:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S_1}{220}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S_1 - 385}{330}$

Средняя скорость вычисляется как отношение общего расстояния к общему времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_1 + t_2}$

Подставим известные значения и выражения в формулу средней скорости:

$250 = \frac{2S_1 - 385}{\frac{S_1}{220} + \frac{S_1 - 385}{330}}$

Теперь решим это уравнение относительно $S_1$. Сначала приведем знаменатель дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 220 и 330 равно 660.

$\frac{S_1}{220} + \frac{S_1 - 385}{330} = \frac{3 \cdot S_1}{660} + \frac{2 \cdot (S_1 - 385)}{660} = \frac{3S_1 + 2S_1 - 770}{660} = \frac{5S_1 - 770}{660}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в уравнение:

$250 = \frac{2S_1 - 385}{\frac{5S_1 - 770}{660}}$

Избавимся от трехэтажной дроби:

$250 = \frac{660 \cdot (2S_1 - 385)}{5S_1 - 770}$

Умножим обе части на знаменатель $(5S_1 - 770)$:

$250 \cdot (5S_1 - 770) = 660 \cdot (2S_1 - 385)$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$25 \cdot (5S_1 - 770) = 66 \cdot (2S_1 - 385)$

Раскроем скобки:

$125S_1 - 19250 = 132S_1 - 25410$

Перенесем слагаемые с $S_1$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$25410 - 19250 = 132S_1 - 125S_1$

$6160 = 7S_1$

$S_1 = \frac{6160}{7} = 880$ км.

Мы нашли расстояние, которое самолет пролетел на первом участке. Теперь можем найти общее расстояние $S_{общ}$:

$S_{общ} = 2S_1 - 385 = 2 \cdot 880 - 385 = 1760 - 385 = 1375$ км.

Ответ: 1375 км.