Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. (2) Определите интервалы возрастания и интервалы убывания функций:

а) $f(x)=x^5-5x^4$

б) $g(x)=-5x^8+64x^5+\text{arcctg } 2015$

в) $h(x)=\frac{(x+1)^7}{1-x}$

а) Дана функция $f(x) = x^5 - 5x^4$. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Для нахождения интервалов монотонности найдем первую производную функции: $f'(x) = (x^5 - 5x^4)' = 5x^4 - 20x^3$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $5x^4 - 20x^3 = 0$
$5x^3(x - 4) = 0$ Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$. Исследуем знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов:
• При $x \in (-\infty, 0)$, например в точке $x=-1$, имеем $f'(-1) = 5(-1)^3(-1-4) = 25 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0, 4)$, например в точке $x=1$, имеем $f'(1) = 5(1)^3(1-4) = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (4, +\infty)$, например в точке $x=5$, имеем $f'(5) = 5(5)^3(5-4) = 625 > 0$, следовательно, функция возрастает. Поскольку функция непрерывна в критических точках, их можно включить в интервалы монотонности.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$; интервал убывания: $[0, 4]$.

б) Дана функция $g(x) = -5x^8 + 64x^5 + \arctan(2015)$. Слагаемое $\arctan(2015)$ является константой. Область определения функции — все действительные числа: $D(g) = (-\infty, +\infty)$. Найдем первую производную: $g'(x) = (-5x^8 + 64x^5 + \arctan(2015))' = -40x^7 + 320x^4$. Найдем критические точки из уравнения $g'(x) = 0$: $-40x^7 + 320x^4 = 0$
$-40x^4(x^3 - 8) = 0$ Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$ (так как $x^3 = 8$). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем знак производной $g'(x) = -40x^4(x^3 - 8)$ на каждом интервале. Заметим, что множитель $-40x^4$ всегда неположителен ($ \le 0$) и равен нулю только при $x=0$. Поэтому знак производной (при $x \neq 0$) противоположен знаку выражения $(x^3 - 8)$.
• При $x \in (-\infty, 0)$, выражение $x^3 - 8 < 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0, 2)$, выражение $x^3 - 8 < 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2, +\infty)$, выражение $x^3 - 8 > 0$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция убывает. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и $g'(x) \ge 0$ в окрестности точки $x=2$, интервалы возрастания $(-\infty, 0]$ и $[0, 2]$ можно объединить в один интервал $(-\infty, 2]$.

Ответ: интервал возрастания: $(-\infty, 2]$; интервал убывания: $[2, +\infty)$.

в) Дана функция $h(x) = \frac{(x+1)^7}{1-x}$. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $1-x \neq 0$, откуда $x \neq 1$. Итак, $D(h) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $h'(x) = \left(\frac{(x+1)^7}{1-x}\right)' = \frac{((x+1)^7)'(1-x) - (x+1)^7(1-x)'}{(1-x)^2}$
$h'(x) = \frac{7(x+1)^6 \cdot 1 \cdot (1-x) - (x+1)^7 \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{7(x+1)^6(1-x) + (x+1)^7}{(1-x)^2}$ Вынесем общий множитель $(x+1)^6$ в числителе: $h'(x) = \frac{(x+1)^6 [7(1-x) + (x+1)]}{(1-x)^2} = \frac{(x+1)^6 (7 - 7x + x + 1)}{(1-x)^2} = \frac{(x+1)^6 (8 - 6x)}{(1-x)^2}$. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $h'(x) = 0$ при $(x+1)^6(8-6x) = 0$. Отсюда $x = -1$ или $8-6x=0 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Производная не существует при $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции. Критические точки $x=-1$ и $x=4/3$, а также точка разрыва $x=1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 4/3)$ и $(4/3, +\infty)$. Исследуем знак производной $h'(x) = \frac{(x+1)^6 (8 - 6x)}{(1-x)^2}$. Множители $(x+1)^6$ и $(1-x)^2$ всегда неотрицательны. Таким образом, знак производной (для $x \neq -1$ и $x \neq 1$) определяется знаком выражения $8-6x$.
• $8-6x > 0 \iff 8 > 6x \iff x < \frac{4}{3}$.
• $8-6x < 0 \iff 8 < 6x \iff x > \frac{4}{3}$. Следовательно:
• На интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, 4/3)$ производная $h'(x) \ge 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(4/3, +\infty)$ производная $h'(x) < 0$, значит, функция убывает. Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $(-\infty, 1)$ и на $(1, 4/3]$.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty, 1)$ и $(1, 4/3]$; интервал убывания: $[4/3, +\infty)$.

12. (2) Исследуйте на монотонность функции:

a) $f(x) = \sqrt{5-x}$;

б) $g(x) = \sqrt{12-x-x^2}$;

в) $h(x) = x\sqrt{8-x^2}$;

г) $u(x) = \frac{x+1}{\sqrt{3-x^2}}$.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения функции. Если производная положительна на некотором интервале, функция на нем возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

а) $f(x) = \sqrt{5-x}$
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 5]$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{5-x})' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$.
3. Определим знак производной. Производная определена для всех $x < 5$.
Знаменатель $2\sqrt{5-x}$ всегда положителен при $x < 5$.
Следовательно, $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}} < 0$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, 5)$.
4. Так как производная отрицательна на всей области определения (кроме точки $x=5$, где она не определена), функция монотонно убывает.

Ответ: функция убывает на всей области определения $(-\infty, 5]$.

б) $g(x) = \sqrt{12-x-x^2}$
1. Найдём область определения функции:
$12 - x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -4, x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-4 \le x \le 3$.
Область определения $D(g) = [-4, 3]$.
2. Найдём производную функции:
$g'(x) = (\sqrt{12-x-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{12-x-x^2}} \cdot (12-x-x^2)' = \frac{-1-2x}{2\sqrt{12-x-x^2}}$.
3. Найдём критические точки, приравняв числитель производной к нулю (знаменатель равен нулю на концах области определения):
$-1 - 2x = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Эта точка принадлежит области определения.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-4, -0.5)$ и $(-0.5, 3)$. Знак производной определяется знаком числителя $-1-2x$.
- При $x \in (-4, -0.5)$, например $x=-1$, числитель $-1-2(-1) = 1 > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ и функция возрастает.
- При $x \in (-0.5, 3)$, например $x=0$, числитель $-1-2(0) = -1 < 0$. Значит, $g'(x) < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4, -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5, 3]$.

в) $h(x) = x\sqrt{8-x^2}$
1. Найдём область определения функции:
$8 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 8 \implies -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8} \implies -2\sqrt{2} \le x \le 2\sqrt{2}$.
Область определения $D(h) = [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения:
$h'(x) = (x)'\sqrt{8-x^2} + x(\sqrt{8-x^2})' = 1 \cdot \sqrt{8-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{8-x^2}} = \sqrt{8-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}$.
Приведём к общему знаменателю:
$h'(x) = \frac{8-x^2-x^2}{\sqrt{8-x^2}} = \frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}$.
3. Найдём критические точки, приравняв числитель к нулю:
$8 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Обе точки принадлежат области определения.
4. Определим знаки производной. Знак $h'(x)$ совпадает со знаком числителя $8-2x^2$. Парабола $y=8-2x^2$ имеет ветви вниз.
- На интервалах $(-2\sqrt{2}, -2)$ и $(2, 2\sqrt{2})$ значение $8-2x^2 < 0$, значит $h'(x) < 0$ и функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$ значение $8-2x^2 > 0$, значит $h'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-2\sqrt{2}, -2]$ и $[2, 2\sqrt{2}]$, возрастает на промежутке $[-2, 2]$.

г) $u(x) = \frac{x+1}{\sqrt{3-x^2}}$
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Область определения $D(u) = (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:
$u'(x) = \frac{(x+1)'\sqrt{3-x^2} - (x+1)(\sqrt{3-x^2})'}{(\sqrt{3-x^2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3-x^2} - (x+1)\frac{-2x}{2\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2}$.
$u'(x) = \frac{\sqrt{3-x^2} + \frac{x(x+1)}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{\frac{(3-x^2)+x(x+1)}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{3-x^2+x^2+x}{(3-x^2)\sqrt{3-x^2}} = \frac{x+3}{(3-x^2)^{3/2}}$.
3. Определим знак производной на области определения $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.
Знаменатель $(3-x^2)^{3/2}$ всегда положителен внутри области определения.
Знак производной определяется знаком числителя $x+3$.
Так как $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, а $-\sqrt{3} \approx -1.732$, то $x > -3$. Следовательно, числитель $x+3$ всегда положителен.
4. Поскольку $u'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

13. (2) Функция

$f(x) = \frac{x^{2014} (x^2 - 1)^{2015} (x+11)^4}{(4-x)^5}$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите интервалы возрастания функции $F(x)$.

Функция $F(x)$ возрастает на тех интервалах, где ее производная $F'(x)$ неотрицательна, то есть $F'(x) \ge 0$. По условию задачи, производной функции $F(x)$ является функция $f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$. Нам необходимо найти интервалы, на которых выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^{2014}(x^2-1)^{2015}(x+11)^4}{(4-x)^5}$.

Для решения неравенства $f(x) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала определим область определения функции и найдем ее нули (точки, где числитель или знаменатель равны нулю).

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $(4-x)^5 \neq 0$, откуда $x \neq 4$. Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Критические точки найдем, приравняв числитель и знаменатель к нулю.
Нули числителя: $x^{2014}(x^2-1)^{2015}(x+11)^4 = 0$.
Корни этого уравнения:$x = 0$ (из множителя $x^{2014}$). Так как показатель степени 2014 четный, знак функции при переходе через эту точку не меняется.
$x = 1$ и $x = -1$ (из множителя $(x^2-1)^{2015}$). Так как показатель степени 2015 нечетный, знак функции при переходе через эти точки меняется.
$x = -11$ (из множителя $(x+11)^4$). Так как показатель степени 4 четный, знак функции при переходе через эту точку не меняется.
Нуль знаменателя: $4-x=0 \implies x=4$. Так как множитель $(4-x)$ находится в нечетной степени 5, знак функции при переходе через эту точку меняется.

Отметим на числовой оси все критические точки $(-11, -1, 0, 1, 4)$ и определим знак функции на полученных интервалах. Для этого определим знак на одном из интервалов, например, на крайнем правом $(4, +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$:
$f(5) = \frac{5^{2014}(5^2-1)^{2015}(5+11)^4}{(4-5)^5} = \frac{(+)(+)(+)}{(-)} < 0$.
Теперь, двигаясь по числовой оси справа налево, определим знаки в остальных интервалах, учитывая кратность корней:
- Интервал $(4, +\infty)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=4$ (нечетная кратность): знак меняется на "+". Интервал $(1, 4)$: $f(x) > 0$.
- Переходим через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется на "−". Интервал $(0, 1)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=0$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-1, 0)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=-1$ (нечетная кратность): знак меняется на "+". Интервал $(-11, -1)$: $f(x) > 0$.
- Переходим через $x=-11$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -11)$: $f(x) > 0$.

Интервалы возрастания функции $F(x)$ соответствуют промежуткам, где $f(x) \ge 0$.
Из нашего анализа следует, что $f(x) > 0$ на $(-\infty, -11) \cup (-11, -1) \cup (1, 4)$.
Также $f(x)=0$ в точках $x=-11, x=-1, x=0, x=1$.
Объединяем эти результаты:Функция $F(x)$ возрастает на объединении интервалов $(-\infty, -11)$, $(-11, -1)$ и в точках $x=-11$ и $x=-1$. Поскольку функция $F(x)$ непрерывна (так как она дифференцируема), мы можем объединить эти промежутки в один: $(-\infty, -1]$.
Функция $F(x)$ также возрастает на интервале $(1, 4)$ и в точке $x=1$, что дает промежуток $[1, 4)$.
Точка $x=0$ не входит в интервалы возрастания, так как в ее окрестности производная $f(x)$ отрицательна (кроме самой точки).

Таким образом, функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 4)$.

14. (3) Докажите, что:

а) функция $f(x)=-x^3+9x^2-27x+2015$ убывает на всей области определения;

б) функция $g(x)=2x-\sin 2x$ возрастает на всей области определения;

в) функция $h(x)=\operatorname{arctg} x-x$ возрастает на всей области определения.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 27x + 2015$ убывает на всей области определения, необходимо найти ее производную и доказать, что она неположительна, то есть $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x^2 - 27x + 2015)' = -3x^2 + 2 \cdot 9x - 27 = -3x^2 + 18x - 27$.

Для анализа знака производной преобразуем полученное выражение. Вынесем общий множитель $-3$ за скобки: $f'(x) = -3(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках представляет собой формулу полного квадрата разности: $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, производная принимает вид: $f'(x) = -3(x-3)^2$.

Квадрат любого действительного числа $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Так как это выражение умножается на отрицательное число $-3$, то производная $f'(x)$ будет всегда неположительна: $f'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная обращается в ноль только в точке $x=3$. Поскольку $f'(x) \le 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной изолированной точке, функция $f(x)$ монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: Утверждение доказано, функция $f(x)$ убывает на всей области определения.

б) Для доказательства того, что функция $g(x) = 2x - \sin(2x)$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и докажем, что она неотрицательна, то есть $g'(x) \ge 0$ для всех $x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sin(2x)$: $g'(x) = (2x - \sin(2x))' = (2x)' - (\sin(2x))' = 2 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 - 2\cos(2x)$.

Проанализируем знак производной $g'(x) = 2 - 2\cos(2x)$. Известно, что функция косинус принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$: $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на $-2$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $(-1) \cdot (-2) \ge -2\cos(2x) \ge 1 \cdot (-2)$, что равносильно $2 \ge -2\cos(2x) \ge -2$.

Теперь прибавим $2$ ко всем частям неравенства: $2+2 \ge 2 - 2\cos(2x) \ge 2-2$. $4 \ge g'(x) \ge 0$.

Таким образом, производная $g'(x)$ всегда неотрицательна. Производная равна нулю в точках, где $g'(x)=0$, то есть $2 - 2\cos(2x) = 0$, что означает $\cos(2x) = 1$. Это происходит, когда $2x = 2\pi k$, или $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку производная неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция $g(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.

Ответ: Утверждение доказано, функция $g(x)$ возрастает на всей области определения.

в) Чтобы исследовать на монотонность функцию $h(x) = \text{arcctg}x - x$, необходимо найти ее производную и определить ее знак. В условии задачи требуется доказать, что функция возрастает. Проверим это утверждение.

Область определения функции арккотангенса — все действительные числа, поэтому $D(h) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $h(x)$, используя известную производную арккотангенса $(\text{arcctg}x)' = -\frac{1}{1+x^2}$: $h'(x) = (\text{arcctg}x - x)' = (\text{arcctg}x)' - (x)' = -\frac{1}{1+x^2} - 1$.

Проанализируем знак производной $h'(x) = -\frac{1}{1+x^2} - 1$. Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $1+x^2 \ge 1$. Отсюда следует, что дробь $\frac{1}{1+x^2}$ принимает значения в полуинтервале $(0, 1]$, то есть $0 < \frac{1}{1+x^2} \le 1$.

Тогда выражение $-\frac{1}{1+x^2}$ принимает значения в полуинтервале $[-1, 0)$. Вычитая из этого выражения единицу, получаем: $h'(x) = -\frac{1}{1+x^2} - 1$. Так как $-1 \le -\frac{1}{1+x^2} < 0$, то $h'(x) \le -1-0 = -1$. Более точно, $h'(x)$ находится в диапазоне $[-2, -1)$.

Поскольку производная $h'(x)$ строго отрицательна ($h'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения, функция $h(x)$ является строго убывающей на всей области определения. Это противоречит утверждению в условии задачи. Вероятно, в условии содержится опечатка.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Доказано, что функция $h(x) = \text{arcctg}x - x$ убывает на всей области определения.

15. (3) Определив множество значений производной от функции $f(x)=\sin 2014x+\cos 2014x+2x+11$, объясните, почему функция $f(x)$ возрастает на всей области определения.

Определение множества значений производной от функции $f(x)=\sin(2014x)+\cos(2014x)+2x+11$

Для решения задачи сначала найдем производную функции $f(x)$. Область определения данной функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Применяя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sin(2014x))' + (\cos(2014x))' + (2x)' + (11)'$

$f'(x) = \cos(2014x) \cdot (2014x)' - \sin(2014x) \cdot (2014x)' + 2 + 0$

$f'(x) = 2014\cos(2014x) - 2014\sin(2014x) + 2$

Чтобы найти множество значений производной $f'(x)$, преобразуем тригонометрическую часть выражения. Вынесем общий множитель $2014$ за скобки:

$f'(x) = 2014(\cos(2014x) - \sin(2014x)) + 2$

Воспользуемся методом вспомогательного угла для выражения в скобках. Для выражения вида $A\cos\phi + B\sin\phi$ амплитуда равна $\sqrt{A^2+B^2}$. В нашем случае для $\cos(2014x) - \sin(2014x)$ имеем $A=1, B=-1$.

$\cos(2014x) - \sin(2014x) = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2014x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2014x) \right)$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать как:

$\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4})\cos(2014x) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(2014x) \right)$

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\cos(2014x) - \sin(2014x) = \sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в формулу для производной:

$f'(x) = 2014\sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4}) + 2$

Мы знаем, что множество значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, множество значений выражения $\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $2014\sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-2014\sqrt{2}, 2014\sqrt{2}]$.

Чтобы найти множество значений для всей производной $f'(x)$, нужно прибавить $2$ к границам этого отрезка.

Минимальное значение $f'(x)$ равно $2 - 2014\sqrt{2}$.

Максимальное значение $f'(x)$ равно $2 + 2014\sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений производной $f'(x)$ — это отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Ответ: Множество значений производной функции есть отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Объяснение, почему функция f(x) возрастает на всей области определения

Функция является возрастающей на некотором интервале, если ее производная на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$. Чтобы функция возрастала на всей своей области определения ($\mathbb{R}$), необходимо, чтобы это условие выполнялось для всех действительных значений $x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что множество значений производной $E(f')$ есть отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Рассмотрим минимальное значение производной: $f'_{\min} = 2 - 2014\sqrt{2}$.

Оценим знак этого значения. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, очевидно, что $2014\sqrt{2}$ значительно больше $2$.

Например, $2014\sqrt{2} > 2014 \cdot 1 = 2014$.

Следовательно, $f'_{\min} = 2 - 2014\sqrt{2} < 2 - 2014 = -2012 < 0$.

Поскольку минимальное значение производной отрицательно, это означает, что существуют значения $x$, при которых $f'(x) < 0$. На интервалах, где производная отрицательна, функция $f(x)$ убывает.

Таким образом, утверждение о том, что данная функция $f(x)$ возрастает на всей области определения, является некорректным.

Ответ: Функция $f(x)=\sin(2014x)+\cos(2014x)+2x+11$ не возрастает на всей области определения, так как ее производная $f'(x) = 2014\cos(2014x) - 2014\sin(2014x) + 2$ принимает как положительные, так и отрицательные значения. Минимальное значение производной $2 - 2014\sqrt{2}$ является отрицательным, что доказывает наличие у функции промежутков убывания.

16. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности (используя производную):

а) $f(x)=5\sin(-x)+5\operatorname{tg}5$;

б) $g(x)=-2\cos3x-6x\cos\frac{3\pi}{4}$;

в) $h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)-2x.$

a) $f(x) = 5\sin(-x) + 5\tan(5)$

1. Нахождение производной.

Сначала упростим выражение для функции. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Слагаемое $5\tan(5)$ является константой, так как не содержит переменной $x$.

$f(x) = -5\sin(x) + 5\tan(5)$

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$:

$f'(x) = (-5\sin(x) + 5\tan(5))' = -5(\sin(x))' + (5\tan(5))' = -5\cos(x) + 0 = -5\cos(x)$

2. Определение знака производной.

Интервалы монотонности определяются знаком производной. Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, и убывает, когда $f'(x) < 0$.

Найдем интервалы, на которых $f'(x) > 0$ (возрастание):

$-5\cos(x) > 0$

$\cos(x) < 0$

Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем интервалы, на которых $f'(x) < 0$ (убывание):

$-5\cos(x) < 0$

$\cos(x) > 0$

Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ производная равна нулю, это стационарные точки.

Ответ: функция возрастает на интервалах $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ и убывает на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = -2\cos(3x) - 6x\cos(\frac{3\pi}{4})$

1. Нахождение производной.

Сначала упростим выражение для функции. Вычислим значение константы $\cos(\frac{3\pi}{4})$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в функцию:

$g(x) = -2\cos(3x) - 6x(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\cos(3x) + 3\sqrt{2}x$

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (-2\cos(3x) + 3\sqrt{2}x)' = -2(-\sin(3x) \cdot 3) + 3\sqrt{2} = 6\sin(3x) + 3\sqrt{2}$

2. Определение знака производной.

Найдем интервалы возрастания ($g'(x) > 0$):

$6\sin(3x) + 3\sqrt{2} > 0$

$6\sin(3x) > -3\sqrt{2}$

$\sin(3x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это тригонометрическое неравенство, получаем:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 3x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части на 3:

$-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Найдем интервалы убывания ($g'(x) < 0$):

$6\sin(3x) + 3\sqrt{2} < 0$

$\sin(3x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это неравенство, получаем:

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части на 3:

$\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: функция возрастает на интервалах $[-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}]$ и убывает на интервалах $[\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $h(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{3}) - 2x$

1. Нахождение производной.

Найдем производную функции $h(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования разности:

$h'(x) = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}) - 2x)' = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}))' - (2x)'$

$h'(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \cdot (4x - \frac{\pi}{3})' - 2 = 4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) - 2$

2. Определение знака производной.

Найдем интервалы возрастания ($h'(x) > 0$):

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) - 2 > 0$

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) > 2$

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое неравенство. Обозначим $u = 4x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $\cos(u) > \frac{1}{2}$ выполняется при:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < u < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $u = 4x - \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 4x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям:

$2\pi k < 4x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим на 4:

$\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Найдем интервалы убывания ($h'(x) < 0$):

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

Неравенство $\cos(u) < \frac{1}{2}$ выполняется при:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < u < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $u = 4x - \frac{\pi}{3}$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 4x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 4x < 2\pi + 2\pi k$

Разделим на 4:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: функция возрастает на интервалах $[\frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}]$ и убывает на интервалах $[\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17. (3)

В арифметической прогрессии сумма второго и четвертого членов равна 12, а сумма первых 10 членов прогрессии равна 110. Сколько членов данной прогрессии не попадают в интервалы убывания функции $h(x)=-\frac{x^3}{3}+7x^2+15x-16$?

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: найти параметры арифметической прогрессии, определить интервалы убывания функции и, наконец, подсчитать, сколько членов прогрессии не попадают в эти интервалы.

1. Нахождение параметров арифметической прогрессии

Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма второго и четвертого членов равна 12:

$a_2 + a_4 = 12$

Выразим $a_2$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (4-1)d) = 12$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12$

$2a_1 + 4d = 12$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем: $a_1 + 2d = 6$.

Также по условию сумма первых 10 членов прогрессии $S_{10}$ равна 110. Воспользуемся формулой суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = 110$

$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 110$

Разделив обе части на 5, получаем второе уравнение: $2a_1 + 9d = 22$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 6 \\ 2a_1 + 9d = 22 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 6 - 2d$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(6 - 2d) + 9d = 22$

$12 - 4d + 9d = 22$

$5d = 10$

$d = 2$

Подставим значение $d$ обратно в выражение для $a_1$: $a_1 = 6 - 2(2) = 2$.

Итак, первый член прогрессии $a_1=2$, разность $d=2$. Формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

2. Нахождение интервалов убывания функции

Функция убывает на тех промежутках, где её первая производная отрицательна или равна нулю. Найдём производную функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} + 7x^2 + 15x - 16$.

$h'(x) = \left(-\frac{x^3}{3} + 7x^2 + 15x - 16\right)' = -\frac{3x^2}{3} + 14x + 15 = -x^2 + 14x + 15$.

Теперь найдём, при каких значениях $x$ производная $h'(x) \le 0$:

$-x^2 + 14x + 15 \le 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 - 14x - 15 \ge 0$

Для решения найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 14x - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{14 \pm 16}{2}$.

$x_1 = \frac{14 - 16}{2} = -1$

$x_2 = \frac{14 + 16}{2} = 15$

График функции $y = x^2 - 14x - 15$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями. Таким образом, неравенство $x^2 - 14x - 15 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [15, \infty)$. Это и есть интервалы убывания функции $h(x)$.

3. Подсчёт количества членов прогрессии

Нам нужно найти количество членов прогрессии $a_n = 2n$, которые не попадают в найденные интервалы убывания $(-\infty, -1]$ и $[15, \infty)$. Это означает, что искомые члены должны находиться в промежутке $(-1, 15)$.

Составим двойное неравенство:

$-1 < a_n < 15$

Подставим в него формулу n-го члена $a_n = 2n$:

$-1 < 2n < 15$

Разделим все части неравенства на 2:

$-0.5 < n < 7.5$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то этому условию удовлетворяют значения $n = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Количество таких значений равно 7.

Ответ: 7

18. (3) При каких значениях параметра $p$ длина промежутка убывания функции $f(x) = x^3 + 3px^2 + 76$ равна 12?

Для нахождения промежутков убывания функции $f(x) = x^3 + 3px^2 + 76$ необходимо найти ее производную и определить, на каком интервале значений $x$ производная будет неположительной ($f'(x) \le 0$).

Находим производную функции $f(x)$ по переменной $x$:

$f'(x) = (x^3 + 3px^2 + 76)' = 3x^2 + 6px$.

Функция убывает, когда ее производная неположительна. Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$3x^2 + 6px \le 0$

Выносим общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2p) \le 0$

Корнями соответствующего уравнения $3x(x + 2p) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -2p$.

Чтобы существовал промежуток убывания ненулевой длины, корни должны быть различными, что означает $p \neq 0$.

Графиком производной $y = 3x^2 + 6px$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 3) положителен. Следовательно, значения производной неположительны на отрезке между корнями.

Длина этого отрезка, который и является промежутком убывания, равна модулю разности корней:

$L = |x_2 - x_1| = |-2p - 0| = |-2p| = 2|p|$.

По условию задачи, длина промежутка убывания равна 12. Составим и решим уравнение относительно параметра $p$:

$2|p| = 12$

$|p| = 6$

Это уравнение имеет два решения: $p = 6$ и $p = -6$.

Ответ: $p = -6; 6$.