Страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (2) Перерисуйте график функции $y=\sin x$ из пункта 2.1. На одной координатной плоскости последовательно постройте графики функций:

а) $y=\sin 2x$;

б) $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$.

Для построения графиков указанных функций будем выполнять последовательные геометрические преобразования, исходя из графика базовой функции $y=\sin x$.

Исходный график — синусоида $y=\sin x$. Её основные характеристики: период $T=2\pi$, амплитуда $A=1$, область значений $E(y) = [-1; 1]$.

а) $y=\sin 2x$

Чтобы построить график функции $y=\sin 2x$, необходимо выполнить преобразование графика $y=\sin x$. Данное преобразование относится к типу $f(x) \to f(kx)$. В нашем случае коэффициент $k=2$. Это означает, что нужно сжать график исходной функции $y=\sin x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. При этом период функции уменьшится в 2 раза: $T_1 = \frac{T}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда и область значений останутся без изменений: $A_1=1$, $E(y) = [-1; 1]$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=\sin x$ перейдет в точку $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=\sin 2x$ получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

б) $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$

Чтобы построить график этой функции, возьмем за основу график, полученный в предыдущем пункте, то есть $y=\sin 2x$. Преобразование имеет вид $g(x) \to g(x-c)$, где $g(x) = \sin 2x$ и $c=\frac{\pi}{6}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y=\sin 2x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо. Период, амплитуда и область значений при таком сдвиге не изменяются: $T_2=T_1=\pi$, $A_2=A_1=1$, $E(y) = [-1; 1]$. Каждая точка $(x_1, y_1)$ графика $y=\sin 2x$ перейдет в точку $(x_1 + \frac{\pi}{6}, y_1)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y=\sin 2x$ путем сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

в) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$

Сначала преобразуем аргумент синуса в функции из пункта б): $2\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 2x - \frac{2\pi}{6} = 2x - \frac{\pi}{3}$. Таким образом, функция из пункта б) имеет вид $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. Чтобы из ее графика получить график функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$, необходимо выполнить преобразование вида $h(x) \to a \cdot h(x)$, где $h(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ и коэффициент $a=2$. Это означает, что нужно растянуть график из предыдущего пункта вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. В результате амплитуда функции увеличится в 2 раза: $A_3 = A_2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$. Область значений также изменится: $E(y) = [-1 \cdot 2; 1 \cdot 2] = [-2; 2]$. Период останется прежним: $T_3=T_2=\pi$. Каждая точка $(x_2, y_2)$ графика $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ перейдет в точку $(x_2, 2y_2)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ (построенного в пункте б) путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда функции равна 2, область значений [−2; 2].

г) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$

Для построения этого графика необходимо взять за основу график из предыдущего пункта, $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$, и выполнить преобразование вида $p(x) \to p(x)+d$. В данном случае $p(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ и $d=3$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ вдоль оси ординат (оси Oy) на 3 единицы вверх. Амплитуда и период при этом не изменятся: $A_4=A_3=2$, $T_4=T_3=\pi$. Область значений сдвинется вверх на 3 единицы: $E(y) = [-2+3; 2+3] = [1; 5]$. Каждая точка $(x_3, y_3)$ графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ перейдет в точку $(x_3, y_3+3)$ на итоговом графике.

Ответ: График функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$ получается из графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ путем сдвига вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. Область значений функции [1; 5].

2. (1) Перерисуйте график функции $y = \cos x$ из пункта 2.2. Используя график функции $y = \cos x$ как основной, постройте графики функций:

а) $y = -\cos x$;

б) $y = \cos x - 2$;

в) $y = |\cos x|$;

г) $y = 2\cos x$;

д) $y = \cos \frac{1}{2} x$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования основного графика функции $y = \cos x$. График $y = \cos x$ — это периодическая кривая (косинусоида) с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

а) $y = -\cos x$

Чтобы построить график функции $y = -\cos x$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = \cos x$. Данное преобразование представляет собой симметричное отражение (зеркальное отображение) относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая ордината точки графика умножается на -1, то есть точка $(x, y)$ на графике $y = \cos x$ переходит в точку $(x, -y)$. В результате все части графика, расположенные выше оси Ox, окажутся ниже, а части, расположенные ниже — выше. Максимумы (равные 1) станут минимумами (равными -1), и наоборот. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) останутся на своих местах.

Ответ: График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

б) $y = \cos x - 2$

Для построения графика функции $y = \cos x - 2$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике преобразуется в точку $(x, y - 2)$. Ось симметрии графика сместится с $y=0$ на $y=-2$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-2, 1-2]$, то есть на $[-3, -1]$. Период и форма графика останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = \cos x - 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

в) $y = |\cos x|$

Для построения графика функции $y = |\cos x|$ необходимо преобразовать график $y = \cos x$ следующим образом: все части графика, которые находятся выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений. Все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно оси Ox. В результате новый график будет целиком расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Период функции изменится: исходный период был $2\pi$, а у функции $y = |\cos x|$ период станет равен $\pi$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[0, 1]$.

Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси.

г) $y = 2\cos x$

Для построения графика функции $y = 2\cos x$ необходимо выполнить растяжение графика функции $y = \cos x$ от оси абсцисс (вдоль оси Oy) в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2, то есть точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(x, 2y)$. Амплитуда колебаний увеличится в 2 раза и станет равной 2. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-2, 2]$. Период и нули функции останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = 2\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.

д) $y = \cos \frac{1}{2}x$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ необходимо выполнить растяжение графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс (от оси Oy) в 2 раза. Коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Период функции изменяется по формуле $T_{new} = \frac{T_{old}}{k}$, где $k = \frac{1}{2}$. Таким образом, новый период будет равен $T_{new} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. График "растягивается" вдвое по горизонтали. Амплитуда и область значений остаются прежними.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Ox.

$y = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 8.$

3. (3) Для построения графика функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика основной функции $y = \cos(x)$.

Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, вынеся коэффициент 2 за скобки, чтобы явно видеть фазовый сдвиг:
$y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 3$.
Это преобразованная функция косинуса вида $y = A\cos(k(x-C)) + D$, где:
• $A = 2$ – амплитуда (коэффициент растяжения по вертикали).
• $k = 2$ – угловая частота (влияет на период).
• $C = \frac{\pi}{6}$ – фазовый сдвиг (горизонтальное смещение).
• $D = 3$ – вертикальное смещение (смещение средней линии).

Построение графика можно выполнить в несколько этапов:

1. Базовый график $y_1 = \cos(x)$.
Это стандартная косинусоида. Её период равен $2\pi$, амплитуда — 1, область значений — $[-1, 1]$. График проходит через ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

2. Сжатие по оси Ox.
Переходим к функции $y_2 = \cos(2x)$. Коэффициент $k=2$ при $x$ вызывает сжатие графика $y_1$ по горизонтали в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Горизонтальный (фазовый) сдвиг.
Строим график функции $y_3 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси Ox на величину $C = \frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума, которая была в $x=0$, теперь находится в $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вертикальное растяжение.
Переходим к функции $y_4 = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Коэффициент $A=2$ перед косинусом растягивает график $y_3$ по вертикали в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений — $[-2, 2]$.

5. Вертикальный сдвиг.
Наконец, строим итоговый график $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 3$. Свободный член $D=3$ сдвигает график $y_4$ вверх на 3 единицы. Средняя линия графика теперь проходит через $y=3$. Область значений функции становится $[-2+3, 2+3]$, то есть $[1, 5]$.

Свойства итоговой функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$:
• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $[1, 5]$.
• Период: $T = \pi$.
• Амплитуда: $A = 2$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: на 3 единицы вверх.

Для точного построения найдем координаты ключевых точек одного периода:
Один полный цикл косинусоиды начинается с максимума, проходит через минимум и возвращается к максимуму. Аргумент косинуса при этом изменяется от $0$ до $2\pi$.
1. Точка максимума (начало периода): $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}$. При этом $y = 2\cos(0) + 3 = 5$. Точка: $(\frac{\pi}{6}, 5)$.
2. Точка пересечения со средней линией: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$. При этом $y = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 3$. Точка: $(\frac{5\pi}{12}, 3)$.
3. Точка минимума: $2x - \frac{\pi}{3} = \pi \implies 2x = \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}$. При этом $y = 2\cos(\pi) + 3 = 1$. Точка: $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.
4. Точка пересечения со средней линией: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies 2x = \frac{11\pi}{6} \implies x = \frac{11\pi}{12}$. При этом $y = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) + 3 = 3$. Точка: $(\frac{11\pi}{12}, 3)$.
5. Следующая точка максимума (конец периода): $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies 2x = \frac{7\pi}{3} \implies x = \frac{7\pi}{6}$. При этом $y = 2\cos(2\pi) + 3 = 5$. Точка: $(\frac{7\pi}{6}, 5)$.

Чтобы построить график, нужно нанести эти ключевые точки на координатную плоскость и соединить их плавной линией, имеющей форму косинусоиды. Затем этот фрагмент графика можно периодически продолжить влево и вправо с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$ представляет собой косинусоиду, полученную из графика $y=\cos(x)$ следующими преобразованиями: сжатие по оси абсцисс в 2 раза (период стал $T=\pi$), сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжение по оси ординат в 2 раза (амплитуда стала $A=2$) и сдвиг вверх на 3 единицы. Область значений функции — $[1, 5]$. Ключевые точки одного из периодов: точки максимума $(\frac{\pi}{6}, 5)$ и $(\frac{7\pi}{6}, 5)$, точка минимума $(\frac{2\pi}{3}, 1)$, точки пересечения со средней линией $y=3$ — $(\frac{5\pi}{12}, 3)$ и $(\frac{11\pi}{12}, 3)$.

4.

(1) Постройте график функции $y=\sin(\pi x)$

(1) Для построения графика функции $y = \sin(\pi x)$ необходимо определить его основные характеристики: период, амплитуду и ключевые точки.

Период и амплитуда.
Функция $y = \sin(\pi x)$ является преобразованием стандартной синусоиды $y = \sin(t)$. Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\pi$, поэтому период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
Это означает, что полный цикл колебаний происходит на интервале длиной 2. Графически это соответствует сжатию графика $y=\sin(x)$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в $\pi$ раз.
Амплитуда функции равна 1, так как множитель перед синусом равен 1. Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ключевые точки.
Найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2]$. Это точки, в которых функция достигает своего максимума, минимума и пересекает ось абсцисс.
- При $x = 0$, $y = \sin(\pi \cdot 0) = \sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Максимум $y=1$ достигается, когда аргумент синуса $\pi x = \frac{\pi}{2}$, то есть при $x = \frac{1}{2}$. Точка $(\frac{1}{2}, 1)$.
- Пересечение с осью $Ox$ (ноль) происходит, когда $\pi x = \pi$, то есть при $x = 1$. Точка $(1, 0)$.
- Минимум $y=-1$ достигается, когда $\pi x = \frac{3\pi}{2}$, то есть при $x = \frac{3}{2}$. Точка $(\frac{3}{2}, -1)$.
- Конец периода при $x = 2$, $y = \sin(\pi \cdot 2) = \sin(2\pi) = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построение графика.
Отметив эти пять точек на координатной плоскости и соединив их плавной волнообразной линией (синусоидой), мы получим график функции на одном периоде. Поскольку функция периодическая, этот узор повторяется вдоль всей оси $x$ с шагом 2. Все целочисленные значения $x$ ($...-2, -1, 0, 1, 2...$) являются нулями функции.

Ответ: График функции $y = \sin(\pi x)$ — это синусоида с периодом $T=2$ и амплитудой $A=1$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. График получается путем сжатия графика $y=\sin(x)$ вдоль оси $Ox$ в $\pi$ раз. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2]$: $(0,0)$ (начало), $(\frac{1}{2}, 1)$ (максимум), $(1,0)$ (ноль), $(\frac{3}{2}, -1)$ (минимум), $(2,0)$ (конец периода).

5. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=2-\sin\frac{x}{2}$;

б) $y=-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$;

в) $y=-2\sin\left|x+\frac{\pi}{3}\right|$.

а) $y = 2 - \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика функции $y=\sin x$.

1. Начнем с графика $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это растяжение графика $y_1$ вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции удваивается и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее построим $y_3 = -\sin(\frac{x}{2})$. Этот график получается из графика $y_2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (Ox).

4. Наконец, построим итоговый график $y = 2 - \sin(\frac{x}{2})$. Он получается из графика $y_3$ путем сдвига вверх вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений: Стандартная область значений для $\sin(\frac{x}{2})$ — это отрезок $[-1; 1]$. Соответственно, для $-\sin(\frac{x}{2})$ область значений такая же, $[-1; 1]$. После сдвига на 2 вверх, область значений становится $[2-1; 2+1] = [1; 3]$. Итак, $E(y) = [1; 3]$.

3. Периодичность: Функция является периодической. Как было определено при построении, основной период функции $T = 4\pi$.

4. Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = 2 - \sin(-\frac{x}{2}) = 2 - (-\sin\frac{x}{2}) = 2 + \sin\frac{x}{2}$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

5. Нули функции: Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $2 - \sin\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \sin\frac{x}{2} = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как синус любой величины не может превышать 1. Следовательно, у функции нет нулей, и ее график не пересекает ось Ox.

6. Промежутки знакопостоянства: Поскольку вся область значений функции $E(y) = [1; 3]$, функция принимает только положительные значения. $y > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает, когда производная $y' = - \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} > 0$, то есть $\cos(\frac{x}{2}) < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Умножив на 2, получаем: $x \in (\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\cos(\frac{x}{2}) > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Умножив на 2, получаем: $x \in (-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Максимумы достигаются, когда $\sin(\frac{x}{2})$ принимает наименьшее значение, то есть -1. $\sin(\frac{x}{2}) = -1 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции $y_{max} = 2 - (-1) = 3$.

- Минимумы достигаются, когда $\sin(\frac{x}{2})$ принимает наибольшее значение, то есть 1. $\sin(\frac{x}{2}) = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение функции $y_{min} = 2 - 1 = 1$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [1; 3]$.

3. Периодична с основным периодом $T = 4\pi$.

4. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

5. Нулей нет.

6. $y>0$ на всей области определения.

7. Возрастает на интервалах $(\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$, убывает на интервалах $(-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = -\pi + 4\pi k$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x = \pi + 4\pi k$ ($y_{min}=1$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$

Сначала упростим выражение, используя свойство нечетности синуса $(\sin(-a) = -\sin a)$:$y = -\frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}(-\sin(x - \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Для построения графика выполним преобразования графика $y=\sin x$:

1. $y_1 = \sin x$ - исходная синусоида.

2. $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ - сдвиг графика $y_1$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ - сжатие графика $y_2$ вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной $\frac{1}{2}$.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: Амплитуда функции равна $\frac{1}{2}$, сдвига по вертикали нет. $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3. Периодичность: Коэффициент при $x$ равен 1. Функция периодическая с основным периодом $T = 2\pi$.

4. Четность/нечетность: $y(-x) = \frac{1}{2}\sin(-x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\sin(x + \frac{\pi}{3})$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0 \Rightarrow 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi k \Rightarrow x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

- $y < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0 \Rightarrow \pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi k \Rightarrow x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает на отрезках, где $\sin(x - \frac{\pi}{3})$ возрастает: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

- Функция убывает на отрезках, где $\sin(x - \frac{\pi}{3})$ убывает: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x \in [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Максимумы: $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение $y_{max} = \frac{1}{2}$.

- Минимумы: $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение $y_{min} = -\frac{1}{2}$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3. Периодична с основным периодом $T = 2\pi$.

4. Функция общего вида.

5. Нули функции: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. $y>0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$; $y<0$ при $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

7. Возрастает на $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, убывает на $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ ($y_{max}=\frac{1}{2}$), точки минимума $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ ($y_{min}=-\frac{1}{2}$), $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -2\sin|x + \frac{\pi}{3}|$

Построение графика этой функции основано на преобразованиях с модулем.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = -2\sin|x|$. Эта функция четная, так как $y_1(-x) = -2\sin|-x| = -2\sin|x| = y_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=-2\sin x$, а при $x < 0$ является его зеркальным отражением.

2. График функции $y = -2\sin|x + \frac{\pi}{3}|$ получается из графика $y_1 = -2\sin|x|$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Осью симметрии итогового графика будет прямая $x = -\frac{\pi}{3}$.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: Аргумент синуса $|x + \frac{\pi}{3}| \ge 0$, поэтому $\sin|x + \frac{\pi}{3}|$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$. Умножая на -2, получаем область значений для y: $E(y) = [-2; 0]$.

3. Периодичность: Наличие модуля в аргументе нарушает периодичность. Функция не является периодической.

4. Четность/нечетность: $y(-x) = -2\sin|-x + \frac{\pi}{3}| = -2\sin|x - \frac{\pi}{3}|$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. Она симметрична относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.

5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow -2\sin|x + \frac{\pi}{3}| = 0 \Rightarrow \sin|x + \frac{\pi}{3}| = 0$. Это возможно, когда $|x + \frac{\pi}{3}| = \pi k$ для целых $k \ge 0$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} \pm \pi k$. Это можно записать как $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = [-2; 0]$, функция неположительна. $y \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $y < 0$ для всех $x$, не являющихся нулями функции.

7. Промежутки монотонности: Функция возрастает от точек минимума к точкам максимума и убывает от максимумов к минимумам.

- Возрастает на отрезках $[-\frac{5\pi}{6}+2\pi k; -\frac{\pi}{3}+2\pi k]$ и $[\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{2\pi}{3}+2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

- Убывает на отрезках $[-\frac{\pi}{3}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi k]$ и $[\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \frac{7\pi}{6}+2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Точки максимума (локального) — это нули функции, так как $y \le 0$. $x_{max} = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение $y_{max} = 0$.

- Точки минимума (и глобального, и локального) достигаются, когда $\sin|x + \frac{\pi}{3}|=1$. Это происходит, когда $|x + \frac{\pi}{3}|=\frac{\pi}{2}+2\pi k$. Отсюда $x = -\frac{\pi}{3} \pm (\frac{\pi}{2}+2\pi k)$. Точки минимума: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение $y_{min} = -2$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-2; 0]$.

3. Непериодическая.

4. Функция общего вида, симметрична относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.

5. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

6. $y \le 0$ на всей области определения.

7. Возрастает на $[-\frac{5\pi}{6}+2\pi k; -\frac{\pi}{3}+2\pi k]$ и $[\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{2\pi}{3}+2\pi k]$; убывает на $[-\frac{\pi}{3}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi k]$ и $[\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \frac{7\pi}{6}+2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m$ ($y_{max}=0$), точки минимума $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ ($y_{min}=-2$), $m, k \in \mathbb{Z}$.

6. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=1+\cos(1.5x)$;

б) $y=1.5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+2$;

в) $y=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}\right)-1$.

а) $y=1+\cos1,5x$

Построение графика функции $y = 1 + \cos(1,5x)$ выполняется путем преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Сначала строим график $y = \cos(x)$.

2. Затем сжимаем его по горизонтали (к оси Oy) с коэффициентом 1,5. Получаем график функции $y = \cos(1,5x)$. Период этой функции будет $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.

3. Наконец, сдвигаем полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это дает нам искомый график $y = 1 + \cos(1,5x)$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: так как $-1 \le \cos(1,5x) \le 1$, то $1-1 \le 1+\cos(1,5x) \le 1+1$. Следовательно, $E(y) = [0; 2]$.

3. Периодичность: функция является периодической с основным периодом $T = \frac{4\pi}{3}$.

4. Четность: функция четная, поскольку $y(-x) = 1 + \cos(1,5(-x)) = 1 + \cos(1,5x) = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0 \implies 1 + \cos(1,5x) = 0 \implies \cos(1,5x) = -1$. Отсюда $1,5x = \pi + 2\pi n$, что дает $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(y) = [0; 2]$, функция неотрицательна на всей области определения, т.е. $y \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[0; \frac{4\pi}{3}]$):

- функция убывает на промежутке $[0 + \frac{4\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутке $[\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}; \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \frac{4\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 2$.

- точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = 0$.

Ответ: Проведено исследование функции $y = 1 + \cos(1,5x)$, ее свойства описаны выше.

б) $y=1,5\cos(\frac{\pi}{6}-x)+2$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, можно переписать функцию в виде $y=1,5\cos(x-\frac{\pi}{6})+2$.

Построение графика функции выполняется путем преобразований графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его от оси Ox в 1,5 раза, получая $y = 1,5\cos(x)$. Амплитуда колебаний становится 1,5.

3. Сдвигаем полученный график вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получаем $y = 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

4. Сдвигаем график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) + 2$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{6}) \le 1 \implies -1,5 \le 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) \le 1,5 \implies 2-1,5 \le 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) + 2 \le 2+1,5$. Следовательно, $E(y) = [0,5; 3,5]$.

3. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \frac{2\pi}{|-1|} = 2\pi$.

4. Четность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1,5\cos(\frac{\pi}{6}+x)+2$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

5. Нули функции: $y=0 \implies 1,5\cos(\frac{\pi}{6} - x) = -2 \implies \cos(\frac{\pi}{6} - x) = -\frac{2}{1,5} = -\frac{4}{3}$. Так как значение косинуса не может быть меньше -1, уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.

6. Промежутки знакопостоянства: так как минимальное значение функции равно 0,5, функция положительна на всей области определения, $y > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[\frac{\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}]$):

- функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутках $[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{13\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 3,5$.

- точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = 0,5$.

Ответ: Проведено исследование функции $y=1,5\cos(\frac{\pi}{6}-x)+2$, ее свойства описаны выше.

в) $y=3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1$

Преобразуем аргумент косинуса: $y=3\cos(\frac{1}{3}(x-\pi))-1$.

Построение графика функции выполняется путем преобразований графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его по горизонтали (от оси Oy) с коэффициентом 3. Получаем $y=\cos(\frac{x}{3})$. Период становится $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

3. Растягиваем график от оси Ox в 3 раза, получая $y = 3\cos(\frac{x}{3})$. Амплитуда становится 3.

4. Сдвигаем график вправо по оси Ox на $\pi$. Получаем $y = 3\cos(\frac{1}{3}(x - \pi))$.

5. Сдвигаем график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 3\cos(\frac{1}{3}(x - \pi)) - 1$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $-1 \le \cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) \le 1 \implies -3 \le 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) \le 3 \implies -3-1 \le 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1 \le 3-1$. Следовательно, $E(y) = [-4; 2]$.

3. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

4. Четность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 3\cos(-\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1 = 3\cos(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3})-1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

5. Нули функции: $y=0 \implies 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) = 1 \implies \cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3}$. Отсюда $\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3} = \pm\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, что дает $x = \pi \pm 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ на интервалах $(\pi - 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n; \pi + 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

- $y < 0$ на интервалах $(\pi + 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n; 7\pi - 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[\pi; 7\pi]$):

- функция убывает на промежутках $[\pi + 6\pi n; 4\pi + 6\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутках $[4\pi + 6\pi n; 7\pi + 6\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 2$.

- точки минимума: $x_{min} = 4\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = -4$.

Ответ: Проведено исследование функции $y=3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1$, ее свойства описаны выше.

7. 2. (3) Постройте графики функций:

а) $y=\cos x+|\cos x|$;

б) $y=\cos x-|\cos x|$;

в) $y=\frac{\cos x}{|\cos x|}$.

а) Для построения графика функции $y = \cos x + |\cos x|$ рассмотрим два случая, основанных на определении модуля.
1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$. Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \cos x - \cos x = 0$. Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, график строится следующим образом: на участках, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, он растягивается в 2 раза вдоль оси ординат. На участках, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, он заменяется на отрезок оси абсцисс ($y=0$).
Ответ: График функции представляет собой "положительные полуволны" функции $y = 2\cos x$ на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и отрезки прямой $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для построения графика функции $y = \cos x - |\cos x|$ также рассмотрим два случая.
1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \cos x - \cos x = 0$. Это происходит на промежутках $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$. Это происходит на промежутках $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, для построения графика: на участках, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, он заменяется на отрезок оси абсцисс ($y=0$). На участках, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, он растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (вниз).
Ответ: График функции представляет собой отрезки прямой $y=0$ на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и "отрицательные полуволны" функции $y = 2\cos x$ (с минимальным значением -2) на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $|\cos x| \ne 0$, что эквивалентно $\cos x \ne 0$. Следовательно, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это происходит на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$. Это происходит на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
График этой функции является кусочно-постоянным. Он состоит из горизонтальных линий $y=1$ и $y=-1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена, что на графике обозначается "выколотыми" точками.
Ответ: График функции состоит из интервалов горизонтальных прямых: $y=1$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках, где $\cos x = 0$ (т.е. $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$), функция не определена (на графике выколотые точки).

8. 3. (2) Постройте графики функций:

а) $y=\sin^2 x$

б) $y=\sin^2 x+\cos^2 x$

а) y=sin²x

Для построения графика функции $y=\sin^2 x$ преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) $

Теперь мы можем построить график этой функции, выполнив последовательные преобразования графика функции $y=\cos x$:

1. Начинаем с графика функции $y=\cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, проходящая через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Строим график функции $y=\cos(2x)$. Это получается путем сжатия графика $y=\cos x$ по горизонтали (вдоль оси ОХ) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Строим график функции $y=-\frac{1}{2}\cos(2x)$. Для этого график $y=\cos(2x)$ нужно отразить симметрично относительно оси ОХ (из-за знака минус), а затем сжать по вертикали (вдоль оси OY) в 2 раза. Теперь амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$, а область значений [$-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$].

4. Финальный шаг — построение графика $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Для этого необходимо сдвинуть предыдущий график $y=-\frac{1}{2}\cos(2x)$ вверх на $\frac{1}{2}$ единицы.

В результате этих преобразований мы получаем искомый график функции $y=\sin^2 x$.

Основные свойства функции $y=\sin^2 x$:
• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0, 1]$, так как функция всегда неотрицательна.
• Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.
• Четность: функция является четной, так как $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Ее график симметричен относительно оси OY.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $y=0$ при $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Максимумы функции: $y=1$ при $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y=\sin^2 x$ — это периодическая волнистая линия, расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Она колеблется между 0 и 1 с периодом $\pi$. Свои минимальные значения (0) она достигает в точках $x=k\pi$, а максимальные (1) — в точках $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.

б) y=sin²x+cos²x

Для построения графика этой функции воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного числа $x$: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $

Таким образом, данная функция тождественно равна 1 для всех значений $x$ из области определения. То есть, мы имеем функцию $y=1$.

Область определения этой функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty, +\infty)$), так как выражения $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех $x$.

Область значений состоит из одного единственного числа: $E(y) = \{1\}$.

Графиком функции $y=1$ является прямая линия.

Ответ: График функции $y=\sin^2 x + \cos^2 x$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси OY).

9. 4. (2)

Для каждой из функций, графики которых построены в задачах 1 – 8, определите множество значений и, если возможно, главный период.

Поскольку конкретные функции из задач 1–8 не были предоставлены, ниже приводится решение для репрезентативного набора функций, который мог бы быть использован в таком задании. Для каждой из этих гипотетических функций мы определим множество значений и, если возможно, главный период.

1. Для гипотетической функции $y = \sin(2x)$.
Множество значений: Стандартная функция синуса $y = \sin(u)$ имеет множество значений $E(y) = [-1, 1]$. Коэффициент 2 при аргументе $x$ влияет на период функции, но не на её амплитуду или вертикальное положение. Следовательно, множество значений для $y = \sin(2x)$ остаётся $[-1, 1]$.
Главный период: Главный период для функции $y = \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-1, 1]$; главный период $T = \pi$.

2. Для гипотетической функции $y = \cos(\frac{x}{2})$.
Множество значений: Стандартная функция косинуса $y = \cos(u)$ имеет множество значений $E(y) = [-1, 1]$. Изменение аргумента не влияет на амплитуду, поэтому множество значений для $y = \cos(\frac{x}{2})$ также равно $[-1, 1]$.
Главный период: Главный период для функции $y = \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Здесь $k = \frac{1}{2}$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-1, 1]$; главный период $T = 4\pi$.

3. Для гипотетической функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Множество значений: Функция $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ имеет множество значений $[-1, 1]$. Умножение на коэффициент 2 (амплитуду) растягивает график по вертикали, поэтому множество значений для $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ становится $[-2, 2]$.
Главный период: Фазовый сдвиг $(-\frac{\pi}{4})$ не влияет на период. Коэффициент при $x$ равен 1. Таким образом, главный период совпадает с периодом функции $\sin(x)$ и равен $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-2, 2]$; главный период $T = 2\pi$.

4. Для гипотетической функции $y = -\cos(x) + 1$.
Множество значений: Множество значений для $\cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда для $-\cos(x)$ множество значений остаётся $[-1, 1]$. Прибавление 1 сдвигает график на единицу вверх, поэтому множество значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $[0, 2]$.
Главный период: Ни отражение относительно оси Ox, ни вертикальный сдвиг не влияют на период функции. Период $y = \cos(x)$ равен $2\pi$, следовательно, период данной функции также $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [0, 2]$; главный период $T = 2\pi$.

5. Для гипотетической функции $y = \tan(\frac{x}{3})$.
Множество значений: Стандартная функция тангенса $y = \tan(u)$ имеет множество значений $(-\infty, \infty)$, или $\mathbb{R}$. Преобразования аргумента не влияют на множество значений.
Главный период: Главный период для функции $y = \tan(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k = \frac{1}{3}$, поэтому период $T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, \infty)$; главный период $T = 3\pi$.

6. Для гипотетической функции $y = \cot(2x)$.
Множество значений: Стандартная функция котангенса $y = \cot(u)$ имеет множество значений $(-\infty, \infty)$, или $\mathbb{R}$. Преобразование аргумента не изменяет множество значений.
Главный период: Главный период для функции $y = \cot(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период $T = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, \infty)$; главный период $T = \frac{\pi}{2}$.

7. Для гипотетической функции $y = |\sin(x)|$.
Множество значений: Функция $\sin(x)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Модуль отображает все значения в неотрицательные, поэтому множество значений для $|\sin(x)|$ — это отрезок $[0, 1]$.
Главный период: Период функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. При взятии модуля отрицательная полуволна графика (на интервале $(\pi, 2\pi)$) отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получившийся узор повторяется с периодом $\pi$. Таким образом, главный период $T = \pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [0, 1]$; главный период $T = \pi$.

8. Для гипотетической функции $y = \sin(x) + \cos(x)$.
Множество значений: Эту функцию можно преобразовать к виду $y = R\sin(x+\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Здесь $a=1, b=1$, так что $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Функция принимает вид $y = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$. Так как множество значений $\sin(u)$ есть $[-1, 1]$, то множество значений для данной функции будет $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Главный период: Период функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Период их суммы будет наименьшим общим кратным их периодов, то есть $2\pi$. Из преобразованного вида $y = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ также видно, что период $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$; главный период $T = 2\pi$.

10. (1) Перерисуйте график функции $y=\sin x$ из пункта 2.1. Используя график функции $y=\sin x$ как основной, постройте графики функций:

а) $y=\sin (-x)$;

б) $y=|\sin x|$;

в) $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y=\sin |x|$;

д) $y=-1,5\sin x$.

а) $y=\sin(-x)$

Для построения графика функции $y=\sin(-x)$ используется график $y=\sin x$. Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin x$ для любого значения $x$. Следовательно, задача сводится к построению графика $y=-\sin x$.

Преобразование графика из $y=f(x)$ в $y=-f(x)$ заключается в симметричном отражении относительно оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, чтобы получить график $y=\sin(-x)$, нужно взять график $y=\sin x$ и отразить его симметрично относительно оси Ox.

Альтернативно, можно использовать общее правило преобразования $y=f(x)$ в $y=f(-x)$, которое заключается в симметричном отражении графика относительно оси ординат (оси Oy). Для нечетной функции синуса, отражение относительно оси Ox и отражение относительно оси Oy дают один и тот же результат.

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо симметрично отразить относительно оси абсцисс (Ox).

б) $y=|\sin x|$

Для построения графика функции $y=|\sin x|$ на основе графика $y=\sin x$ применяется преобразование $y=f(x)$ в $y=|f(x)|$.

Согласно этому правилу, та часть графика $y=\sin x$, где $y \ge 0$ (то есть точки, находящиеся на оси Ox или выше неё), остается без изменений. Та часть графика, где $y < 0$ (точки ниже оси Ox), симметрично отражается относительно оси Ox в верхнюю полуплоскость.

В результате все "впадины" синусоиды, находящиеся под осью абсцисс, "выпрямляются" вверх, и весь график функции $y=|\sin x|$ будет располагаться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Части графика $y=\sin x$, находящиеся над осью Ox или на ней, остаются неизменными, а части, находящиеся под осью Ox, симметрично отражаются относительно этой оси.

в) $y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$

График функции $y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$ получается из графика $y=\sin x$ путем горизонтального сдвига. Это преобразование вида $y=f(x)$ в $y=f(x+a)$.

Если $a > 0$, то график сдвигается влево на $a$ единиц. В нашем случае $a=\frac{\pi}{3}$, поэтому график функции $y=\sin x$ необходимо сместить параллельным переносом вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Например, точка $(0,0)$ на графике $y=\sin x$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, а точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ — в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

г) $y=\sin|x|$

Для построения графика функции $y=\sin|x|$ на основе графика $y=\sin x$ применяется преобразование $y=f(x)$ в $y=f(|x|)$.

Правило построения такого графика состоит из двух шагов:
1. Сохраняется та часть графика $y=\sin x$, которая соответствует значениям $x \ge 0$ (часть графика в правой полуплоскости, включая точку на оси Oy). Часть графика для $x < 0$ отбрасывается.
2. Сохраненная часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (Oy) в левую полуплоскость.

В результате получается график, симметричный относительно оси Oy, то есть функция $y=\sin|x|$ является четной.

Ответ: Часть графика $y=\sin x$ при $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси Oy для построения графика при $x < 0$.

д) $y=-1.5\sin x$

Построение графика функции $y=-1.5\sin x$ из графика $y=\sin x$ выполняется в два этапа. Это преобразование вида $y=A \cdot f(x)$, где $A=-1.5$.

Этап 1: Растяжение. Сначала рассмотрим преобразование $y=1.5\sin x$. Это соответствует растяжению графика $y=\sin x$ от оси Ox (вдоль оси Oy) в 1.5 раза. Амплитуда функции увеличивается с 1 до 1.5. Максимальное значение функции становится 1.5, а минимальное -1.5.

Этап 2: Отражение. Далее, знак "минус" в выражении $y=-1.5\sin x$ означает, что график, полученный на первом этапе ($y=1.5\sin x$), необходимо симметрично отразить относительно оси абсцисс (Ox).

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо сначала растянуть в 1.5 раза вдоль оси Oy, а затем полученный результат отразить симметрично относительно оси Ox.