Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. (2) Перерисуйте график функции $y=\cos x$ из пункта 2.1. На одной координатной плоскости последовательно постройте графики функций:

а) $y=-\frac{3}{2}\cos x$;

б) $y=\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$;

в) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$;

г) $y=\left|\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$.

Для построения графиков указанных функций будем последовательно выполнять преобразования, исходя из графика функции $y=\cos x$.

Исходный график — это $y=\cos x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде: максимум в $(0, 1)$, нули в $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$, минимум в $(\pi, -1)$.

а) $y=-\frac{3}{2}\cos x$

Этот график получается из графика $y=\cos x$ двумя последовательными преобразованиями:

1. Растяжение по оси OY: Умножение функции на коэффициент $\frac{3}{2}=1.5$ приводит к растяжению графика от оси OX в 1.5 раза. Амплитуда функции увеличивается до 1.5, а область значений становится $[ -1.5, 1.5 ]$.

2. Симметричное отражение относительно оси OX: Знак «минус» перед функцией отражает график симметрично относительно оси OX. Максимумы становятся минимумами, а минимумы — максимумами.

В результате этих преобразований точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1.5)$, точка $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi, 1.5)$. Период функции остается равным $2\pi$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos x$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{3}{2}$ и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

б) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (а), то есть из $y=-\frac{3}{2}\cos x$.

Преобразование представляет собой горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Прибавление константы $\frac{\pi}{4}$ к аргументу функции ($x$) сдвигает график влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ предыдущего графика переместится в точку $(x_0 - \frac{\pi}{4}, y_0)$. Например, точка минимума $(0, -1.5)$ сместится в точку $(-\frac{\pi}{4}, -1.5)$, а точка максимума $(\pi, 1.5)$ — в точку $(\pi - \frac{\pi}{4}, 1.5) = (\frac{3\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos x$ путем сдвига влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

в) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (б).

Преобразование представляет собой вертикальный сдвиг. Вычитание 1 из значения всей функции сдвигает график вниз на 1 единицу.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ предыдущего графика переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$. Область значений функции была $[-1.5, 1.5]$, после сдвига она станет $[-1.5 - 1, 1.5 - 1] = [-2.5, 0.5]$. Точка минимума $(-\frac{\pi}{4}, -1.5)$ сместится в $(-\frac{\pi}{4}, -2.5)$, а точка максимума $(\frac{3\pi}{4}, 1.5)$ — в $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ путем сдвига вниз вдоль оси OY на 1.

г) $y=\left|-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (в).

Преобразование заключается во взятии модуля (абсолютной величины) от всей функции. Это означает следующее:

1. Та часть графика, которая находится выше или на оси OX (где $y \ge 0$), остается без изменений.

2. Та часть графика, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX вверх.

Область значений функции из пункта (в) была $[-2.5, 0.5]$. После взятия модуля все отрицательные значения станут положительными. Новая область значений будет $[0, 2.5]$.

Точки, где график пересекал ось OX, теперь становятся точками минимума, в которых $y=0$. Точки, где был минимум функции (например, $(-\frac{\pi}{4}, -2.5)$), становятся точками максимума (превращаясь в $(-\frac{\pi}{4}, 2.5)$). Точки, где был максимум (например, $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$), остаются локальными максимумами, так как их значение было положительным.

Ответ: График функции $y=\left|-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ путем симметричного отражения всей части графика, лежащей ниже оси OX, относительно этой оси.

12. (3)

Постройте график функции $y=\left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$.

Для построения графика функции $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$ выполним последовательность преобразований, начиная с графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1. Построение графика $y_1 = \sin(x)$
Это основная синусоида. Её ключевые характеристики: период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$, область значений $E(y_1) = [-1, 1]$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

Шаг 2. Построение графика $y_2 = \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
Данный график получается из графика $y_1$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{4}$ влево. Этот сдвиг называется фазовым сдвигом. Период и амплитуда остаются прежними: $T=2\pi$, $A=1$. Точка $(0,0)$ с графика $y_1$ перемещается в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

Шаг 3. Построение графика $y_3 = \frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
Этот график получается из графика $y_2$ путем его растяжения от оси $Ox$ вдоль оси ординат ($Oy$) с коэффициентом $\frac{3}{2}$. Амплитуда колебаний увеличивается и становится равной $A=\frac{3}{2}$. Область значений функции теперь $E(y_3) = \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$. Период и фазовый сдвиг не изменяются.

Шаг 4. Построение графика $y_4 = \frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1$
Этот график получается из графика $y_3$ путем его сдвига вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу вниз. Ось колебаний смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений также смещается на 1 вниз: $E(y_4) = \left[-\frac{3}{2}-1, \frac{3}{2}-1\right] = \left[-2.5, 0.5\right]$.
Ключевые точки для этого графика:
Локальные максимумы: $y_{max} = \frac{3}{2} - 1 = 0.5$ при $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Локальные минимумы: $y_{min} = -\frac{3}{2} - 1 = -2.5$ при $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = -1$, то есть при $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся из условия $y_4 = 0$, что дает $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}$.

Шаг 5. Построение итогового графика $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$
Финальный график получается из графика $y_4$ применением операции взятия модуля. Это означает, что часть графика $y_4$, расположенная ниже оси $Ox$ (где $y_4 < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$, а остальная часть (где $y_4 \ge 0$) остается без изменений.
В результате получаем:
Область значений итоговой функции: $E(y) = [0, 2.5]$.
Точки, где $y_4=-2.5$, становятся точками глобального максимума, равного $|-2.5| = 2.5$. Эти точки $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ являются точками излома (острыми вершинами).
Точки, где $y_4=0.5$, остаются точками локального максимума, равного 0.5. Эти точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ являются гладкими вершинами.
Точки, где $y_4=0$, становятся точками глобального минимума, равного 0.
Период функции сохраняется и равен $T=2\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$ необходимо выполнить следующие преобразования графика $y=\sin(x)$: 1) сдвинуть его влево по оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$; 2) растянуть его от оси $Ox$ в $\frac{3}{2}$ раза; 3) сдвинуть его вниз по оси $Oy$ на 1; 4) часть получившегося графика, лежащую под осью $Ox$, симметрично отразить относительно этой оси. Итоговый график является периодической кривой с периодом $T=2\pi$. Область значений функции $[0, 2.5]$. Глобальные максимумы (острые пики) равны $2.5$ и достигаются при $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Локальные максимумы (гладкие вершины) равны $0.5$ и достигаются при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Глобальные минимумы равны $0$ и достигаются в точках, где $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}$.

13. (1) Постройте график функции $y = \cos \pi x$.

(1) Для построения графика функции $y = \cos(\pi x)$ проанализируем её свойства и сравним с графиком основной функции $y = \cos(t)$.
График функции $y = \cos(\pi x)$ получается из графика $y = \cos(t)$ путем горизонтального сжатия вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Основные свойства функции $y = \cos(\pi x)$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любого действительного аргумента.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$, поскольку амплитуда функции равна 1.
3. Периодичность: Функция является периодической. Её основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ — коэффициент при $x$. В данном случае $k = \pi$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
4. Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \cos(\pi(-x)) = \cos(-\pi x) = \cos(\pi x) = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построение графика:
Для построения графика найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2]$. Это точки максимума, минимума и пересечения с осью Ox.
- Максимумы ($y=1$): $\cos(\pi x) = 1 \implies \pi x = 2\pi n \implies x = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точки $x=0$ и $x=2$. Получаем точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.
- Минимумы ($y=-1$): $\cos(\pi x) = -1 \implies \pi x = \pi + 2\pi n \implies x = 1 + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точка $x=1$. Получаем точку $(1, -1)$.
- Пересечение с осью Ox ($y=0$): $\cos(\pi x) = 0 \implies \pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{1}{2} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точки $x=0.5$ и $x=1.5$. Получаем точки $(0.5, 0)$ и $(1.5, 0)$.

Алгоритм построения:
1. Начертить координатные оси Ox и Oy.
2. Отметить на осях единичные отрезки. По оси Oy достаточно диапазона от -1 до 1. По оси Ox отметить точки 0, 0.5, 1, 1.5, 2 и т.д.
3. Построить найденные ключевые точки: $(0, 1)$, $(0.5, 0)$, $(1, -1)$, $(1.5, 0)$, $(2, 1)$.
4. Соединить эти точки плавной линией, получив волну (косинусоиду) на отрезке $[0, 2]$.
5. Продолжить этот узор влево и вправо вдоль оси Ox, так как функция периодична с периодом 2.

Ответ: График функции $y=\cos(\pi x)$ представляет собой косинусоиду, которая имеет амплитуду 1 (колеблется между -1 и 1) и период, равный 2. График проходит через точки максимума $(2n, 1)$ и минимума $(1+2n, -1)$, и пересекает ось абсцисс в точках $x=0.5+n$, где $n$ — любое целое число. График симметричен относительно оси Oy.

14. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=2\sin 2x+1$;

б) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$;

в) $y=\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$.

а) y = 2sin(2x) + 1

Построение графика:
График функции $y = 2\sin(2x) + 1$ получается из графика основной функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие графика вдоль оси Ох в 2 раза. Это преобразование функции $y = \sin x$ в $y = \sin(2x)$. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. 2. Растяжение графика вдоль оси Оу в 2 раза. Это преобразование функции $y = \sin(2x)$ в $y = 2\sin(2x)$. Амплитуда колебаний увеличивается до 2, а область значений становится $[-2, 2]$. 3. Сдвиг графика вверх вдоль оси Оу на 1 единицу. Это преобразование функции $y = 2\sin(2x)$ в $y = 2\sin(2x) + 1$. Ось колебаний смещается на $y=1$, а область значений становится $[-1, 3]$.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; 3]$. Это следует из того, что $-1 \le \sin(2x) \le 1$, следовательно $-2 \le 2\sin(2x) \le 2$, и $-1 \le 2\sin(2x) + 1 \le 3$.

3. Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) = 2\sin(-2x) + 1 = -2\sin(2x) + 1 \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

4. Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $2\sin(2x) + 1 = 0$, то есть $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$. Решения: $2x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, откуда $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\sin(2x) > -\frac{1}{2}$, что соответствует $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{7\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\sin(2x) < -\frac{1}{2}$, что соответствует $x \in (\frac{7\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает, когда ее производная $y' = 4\cos(2x)$ положительна, то есть на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 3$.
Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi n$ (при $n=k-1$), $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция $y = 2\sin(2x) + 1$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, определенная на всей числовой оси, с областью значений $[-1, 3]$. Нули функции: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. Возрастает на $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, убывает на $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$ ($y_{min}=-1$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$

Построение графика:
График функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin x$. Удобно представить функцию в виде $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. 1. Сжатие графика $y = \sin x$ вдоль оси Ох в 2 раза, получаем $y = \sin(2x)$. Период становится $T = \pi$. 2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ вправо вдоль оси Ох на $\frac{\pi}{6}$. Это преобразование дает итоговый график $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, так как $y(-x) = \sin(-2x - \frac{\pi}{3}) = -\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \neq \pm y(x)$.

4. Периодичность: Периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$. Решения: $2x - \frac{\pi}{3} = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $x \in (\frac{2\pi}{3} + \pi k; \frac{7\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:
Производная $y' = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Функция возрастает при $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) > 0$, то есть на промежутках $(-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает при $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 0$, то есть на промежутках $(\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума (где $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$): $x_{max} = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 1$.
Точки минимума (где $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$): $x_{min} = -\frac{\pi}{12} + \pi k = \frac{11\pi}{12} + \pi n$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[-1, 1]$. Нули: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$. Возрастает на $(-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k)$, убывает на $(\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$ ($y_{max}=1$), точки минимума $x = \frac{11\pi}{12} + \pi k$ ($y_{min}=-1$), $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$

Построение графика:
График функции $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$ получается из графика $y = \sin x$ в два шага: 1. Сдвиг графика $y = \sin x$ вправо вдоль оси Ох на $\frac{\pi}{4}$. Получаем график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$. 2. Применение операции взятия модуля: $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$. Часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ох вверх.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; 1]$, так как модуль — неотрицательная величина, а максимальное значение синуса по модулю равно 1.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, так как $y(-x) = |\sin(-x - \frac{\pi}{4})| = |\sin(x + \frac{\pi}{4})| \neq \pm y(x)$.

4. Периодичность: Функция периодическая. Период функции $y=\sin(x-\frac{\pi}{4})$ равен $2\pi$. При взятии модуля период функции $y=|\sin(ax+b)|$ становится в два раза меньше, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0$. Решения: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при всех $x$, кроме нулей функции, то есть при $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция не принимает отрицательных значений ($y \ge 0$).

7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках $(\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума (где $|\sin(x - \frac{\pi}{4})| = 1$): $x_{max} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 1$.
Точки минимума (нули функции): $x_{min} = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = 0$.

Ответ: Функция $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[0, 1]$. Нули: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Функция неотрицательна. Возрастает на $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, убывает на $(\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$ ($y_{max}=1$), точки минимума $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($y_{min}=0$), $k \in \mathbb{Z}$.

15. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=-1+\cos\frac{x}{2}$;

б) $y=-3\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3$;

в) $y=|\cos 2x|$.

а) $y = -1 + \cos\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = -1 + \cos\frac{x}{2}$ выполним преобразования графика функции $y = \cos x$. Сначала растянем график $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс в 2 раза, получив график $y = \cos\frac{x}{2}$. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любых действительных чисел.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$, то $-1-1 \le -1 + \cos\frac{x}{2} \le -1+1$. Следовательно, область значений $E(y) = [-2; 0]$.

3. Периодичность: Функция является периодической. Период $T$ для $\cos(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

4. Четность: Проверим $y(-x) = -1 + \cos(\frac{-x}{2})$. Так как $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $y(-x) = -1 + \cos\frac{x}{2} = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

5. Нули функции: $y=0$ при $-1 + \cos\frac{x}{2} = 0$, то есть $\cos\frac{x}{2} = 1$. Это выполняется, когда $\frac{x}{2} = 2\pi n$, следовательно, $x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как максимальное значение функции равно 0, то $y \le 0$ для всех $x$. $y < 0$ при $x \ne 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутках вида $[4\pi n; 2\pi + 4\pi n]$ и возрастает на промежутках вида $[2\pi + 4\pi n; 4\pi + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается в точках $x = 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается в точках $x = 2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$; функция четная, периодическая с периодом $T = 4\pi$; нули функции $x = 4\pi n$; $y \le 0$ при $x \in \mathbb{R}$; убывает на $[4\pi n; 2\pi + 4\pi n]$; возрастает на $[2\pi + 4\pi n; 4\pi + 4\pi n]$; $y_{max} = 0$ при $x=4\pi n$; $y_{min} = -2$ при $x=2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения графика функции $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3$ выполним преобразования графика $y = \cos x$: сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх на 3 единицы.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$, то $-3 \le -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 3$. Тогда $-3+3 \le -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3 \le 3+3$. Следовательно, $E(y) = [0; 6]$.

3. Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.

4. Четность: $y(-x) = -3\cos(-x + \frac{\pi}{3}) + 3 = -3\cos(x - \frac{\pi}{3}) + 3$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

5. Нули функции: $y=0$ при $-3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3 = 0$, то есть $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$. Это выполняется, когда $x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как минимальное значение функции равно 0, то $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \ne -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках вида $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 6$ достигается в точках $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается в точках $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 6]$; функция общего вида, периодическая с периодом $T = 2\pi$; нули функции $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $y \ge 0$ при $x \in \mathbb{R}$; возрастает на $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$; убывает на $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$; $y_{max} = 6$ при $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $y_{min} = 0$ при $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = |\cos 2x|$

Для построения графика функции $y = |\cos 2x|$ сначала строим график $y = \cos 2x$, который получается из $y=\cos x$ сжатием вдоль оси Ox в 2 раза. Затем часть графика $y=\cos 2x$, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отражаем относительно этой оси.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $0 \le |\cos 2x| \le 1$. Следовательно, $E(y) = [0; 1]$.

3. Периодичность: Период функции $\cos 2x$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$. При взятии модуля период уменьшается вдвое, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.

4. Четность: $y(-x) = |\cos(2(-x))| = |\cos(-2x)| = |\cos 2x| = y(x)$. Функция является четной.

5. Нули функции: $y=0$ при $|\cos 2x| = 0$, то есть $\cos 2x = 0$. Это выполняется, когда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как $y = |\cos 2x|$, то $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}]$ и возрастает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 1$ достигается в точках $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 1]$; функция четная, периодическая с периодом $T = \frac{\pi}{2}$; нули функции $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $y \ge 0$ при $x \in \mathbb{R}$; убывает на $[\frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}]$; возрастает на $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}]$; $y_{max} = 1$ при $x = \frac{\pi n}{2}$; $y_{min} = 0$ при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

16. (3) Постройте графики функций:

а) $y = |\\sin x| - \\sin x$;

б) $y = 2\\sin x + |\\sin x|$;

В) $y = \\frac{2|\\sin x|}{\\sin x}$.

а) Для построения графика функции $y = |\sin x| - \sin x$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\sin x \ge 0$, что соответствует интервалам $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
На этих интервалах график функции совпадает с осью абсцисс.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = -\sin x - \sin x = -2\sin x$.
На этих интервалах график представляет собой синусоиду, отраженную относительно оси абсцисс и растянутую в 2 раза по оси ординат. Максимальное значение на таких интервалах равно 2 (например, в точке $x = \frac{3\pi}{2}$).

Итоговый график является периодическим с периодом $2\pi$ и состоит из отрезков прямой $y=0$ и положительных "арок" графика $y=-2\sin x$.

Ответ: График функции $y = |\sin x| - \sin x$ представляет собой кусочную функцию: $y = 0$ при $\sin x \ge 0$ и $y = -2\sin x$ при $\sin x < 0$.

б) Для построения графика функции $y = 2\sin x + |\sin x|$ также рассмотрим два случая.

1. Если $\sin x \ge 0$, то есть для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, имеем $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = 2\sin x + \sin x = 3\sin x$.
На этих интервалах график представляет собой синусоиду, растянутую в 3 раза вдоль оси ординат. Максимальное значение равно 3.

2. Если $\sin x < 0$, то есть для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, имеем $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = 2\sin x - \sin x = \sin x$.
На этих интервалах график совпадает с графиком функции $y=\sin x$. Минимальное значение равно -1.

Итоговый график является периодическим с периодом $2\pi$. Он состоит из "арок" графика $y=3\sin x$ на интервалах, где синус неотрицателен, и "арок" графика $y=\sin x$ на интервалах, где синус отрицателен.

Ответ: График функции $y = 2\sin x + |\sin x|$ представляет собой кусочную функцию: $y = 3\sin x$ при $\sin x \ge 0$ и $y = \sin x$ при $\sin x < 0$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{2|\sin x|}{\sin x}$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$ для любого целого $k$. В этих точках на графике будут "выколотые" точки.

Теперь раскроем модуль.

1. Если $\sin x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция упрощается:
$y = \frac{2\sin x}{\sin x} = 2$.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция упрощается:
$y = \frac{2(-\sin x)}{\sin x} = -2$.

Таким образом, график функции состоит из набора горизонтальных интервалов. На интервалах, где синус положителен, график — это прямая $y=2$. На интервалах, где синус отрицателен, график — это прямая $y=-2$. Концевые точки этих интервалов ($x=\pi k$) не входят в область определения.

Ответ: График функции $y = \frac{2|\sin x|}{\sin x}$ представляет собой кусочно-постоянную функцию: $y = 2$ для всех $x$, где $\sin x > 0$, и $y = -2$ для всех $x$, где $\sin x < 0$. Функция не определена в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

17.(2) Постройте графики функций:

а) $y=\cos^2 x$;

б) $y=-2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)-2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)$.

а) $y = \cos^2 x$

Для построения графика функции $y = \cos^2 x$ преобразуем ее, используя формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Таким образом, наша функция принимает вид: $y = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике функции $y = \cos x$:

1. Начнем с графика функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. График $y = \cos(2x)$ получается путем сжатия графика $y = \cos x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. График $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ получается путем сжатия графика $y = \cos(2x)$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда функции уменьшается до $\frac{1}{2}$. Область значений этой функции: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

4. Итоговый график $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ получается путем сдвига графика $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ вверх по оси Oy на $\frac{1}{2}$. Область значений функции смещается и становится $[-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2}] = [0, 1]$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: при $x=0$, $y = \cos^2(0) = 1$ (максимум); при $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$; при $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ (минимум); при $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$; при $x=\pi$, $y = \cos^2(\pi) = (-1)^2 = 1$ (максимум).

Ответ: График функции $y = \cos^2 x$ — это косинусоида с периодом $\pi$, колеблющаяся в пределах от 0 до 1. Максимумы функции находятся в точках $x=k\pi$ (где $y=1$), а минимумы — в точках $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ (где $y=0$), где $k$ — любое целое число.

б) $y = -2\cos^2(\frac{\pi}{2} + 2x) - 2\sin^2(\frac{3\pi}{2} - 2x)$

Для построения графика этой функции сначала упростим ее выражение, используя формулы приведения.

1. Упростим первый член $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x)$. По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) = -\sin(2x)$.
Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{2} + 2x) = (-\sin(2x))^2 = \sin^2(2x)$.

2. Упростим второй член $\sin(\frac{3\pi}{2} - 2x)$. По формуле приведения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Следовательно, $\sin(\frac{3\pi}{2} - 2x) = -\cos(2x)$.
Тогда $\sin^2(\frac{3\pi}{2} - 2x) = (-\cos(2x))^2 = \cos^2(2x)$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходную функцию:
$y = -2\sin^2(2x) - 2\cos^2(2x)$.

4. Вынесем общий множитель -2 за скобки:
$y = -2(\sin^2(2x) + \cos^2(2x))$.

5. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$y = -2(1) = -2$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна постоянной функции $y = -2$.

Графиком функции $y = -2$ является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ох) и проходящая через точку $(0, -2)$ на оси ординат (оси Оу).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-2$.

18. (2) Для каждой из функций, графики которых построены в задачах 10 – 17, определите множество значений и, если возможно, главный период.

Поскольку функции из задач 10-17 не предоставлены, в решении будут рассмотрены типичные примеры функций, для которых строят графики на данном этапе изучения математики.

10. Для функции $y = \sin(x)$.
Множество значений: Функция синус представляет собой ординату точки на единичной окружности, которая соответствует углу $x$. Поскольку радиус окружности равен 1, значения ординаты лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Функция синус является периодической, так как значения синуса повторяются при добавлении к аргументу полного оборота, равного $2\pi$ радиан. Наименьшим положительным числом $T$, для которого $\sin(x+T) = \sin(x)$ для любого $x$, является $T = 2\pi$. Это и есть главный период.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $2\pi$.

11. Для функции $y = \cos(x)$.
Множество значений: Функция косинус представляет собой абсциссу точки на единичной окружности. Аналогично синусу, значения абсциссы лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Как и синус, косинус является периодической функцией с главным периодом $T = 2\pi$, так как значения косинуса повторяются через каждый полный оборот.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $2\pi$.

12. Для функции $y = \tan(x)$.
Множество значений: Тангенс определяется как отношение $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Когда $x$ приближается к значениям, где $\cos(x)=0$ (например, $x \to \frac{\pi}{2}$), знаменатель стремится к нулю, а числитель к 1 или -1. В результате значение дроби стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Таким образом, тангенс может принимать любое действительное значение. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Проверим, является ли $\pi$ периодом: $\tan(x+\pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \tan(x)$. Так как $\pi$ является наименьшим положительным числом, для которого это равенство выполняется, главный период тангенса равен $T = \pi$.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; главный период: $\pi$.

13. Для функции $y = \cot(x)$.
Множество значений: Котангенс определяется как отношение $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Когда $x$ приближается к значениям, где $\sin(x)=0$ (например, $x \to 0$ или $x \to \pi$), знаменатель стремится к нулю, и значение дроби стремится к бесконечности. Таким образом, котангенс, как и тангенс, может принимать любое действительное значение. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Аналогично тангенсу, главный период котангенса равен $T = \pi$, поскольку $\cot(x+\pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)$.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; главный период: $\pi$.

14. Для функции $y = 2\sin(x) + 1$.
Множество значений: Найдем множество значений поэтапно, исходя из того, что $-1 \le \sin(x) \le 1$.
1. Умножим на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin(x) \le 2 \cdot 1 \implies -2 \le 2\sin(x) \le 2$.
2. Прибавим 1: $-2 + 1 \le 2\sin(x) + 1 \le 2 + 1 \implies -1 \le y \le 3$.
Таким образом, множество значений $E(y) = [-1, 3]$.
Главный период: Преобразования растяжения по оси $y$ и сдвига вверх не влияют на период функции. Период определяется только преобразованиями аргумента $x$. Так как аргумент остался прежним ($x$), главный период функции $y = 2\sin(x) + 1$ совпадает с периодом функции $y = \sin(x)$ и равен $T = 2\pi$.
Ответ: Множество значений: $[-1, 3]$; главный период: $2\pi$.

15. Для функции $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.
Множество значений: Независимо от того, какое значение принимает аргумент $(2x - \frac{\pi}{3})$, функция косинус всегда возвращает значения в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, множество значений $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Для функции вида $y = A\cos(Bx+C)+D$ главный период находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В данном случае коэффициент при $x$ равен $B=2$. Следовательно, главный период $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $\pi$.

16. Для функции $y = |\sin(x)|$.
Множество значений: Функция $\sin(x)$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Модуль (абсолютное значение) отображает все отрицательные значения в симметричные им положительные, а неотрицательные оставляет на месте. Таким образом, все значения из $[-1, 0)$ переходят в $(0, 1]$, а значения из $[0, 1]$ остаются на месте. В результате множество значений функции $E(y) = [0, 1]$.
Главный период: График функции $|\sin(x)|$ получается из графика $\sin(x)$ путем отражения частей графика, лежащих ниже оси абсцисс, симметрично относительно этой оси. В результате отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. Новый повторяющийся участок графика имеет длину $\pi$. Проверим: $|\sin(x+\pi)| = |-\sin(x)| = |\sin(x)|$. Таким образом, главный период функции $T=\pi$.
Ответ: Множество значений: $[0, 1]$; главный период: $\pi$.

17. Для функции $y = x + \sin(x)$.
Множество значений: Эта функция является суммой линейно возрастающей функции $y=x$ и ограниченной функции $y=\sin(x)$. При $x \to +\infty$, слагаемое $x$ неограниченно растет, а $\sin(x)$ колеблется в пределах $[-1, 1]$, поэтому сумма также стремится к $+\infty$. Аналогично, при $x \to -\infty$, сумма стремится к $-\infty$. Поскольку функция непрерывна, она принимает все промежуточные значения. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Предположим, что функция периодична с периодом $T > 0$. Тогда должно выполняться тождество $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$.
$(x+T) + \sin(x+T) = x + \sin(x)$
$T + \sin(x+T) = \sin(x)$
$T = \sin(x) - \sin(x+T)$
Это равенство должно выполняться для всех $x$. Однако левая часть - это константа $T > 0$, а правая часть зависит от $x$. Например, при $x=0$, $T = \sin(0) - \sin(T) = -\sin(T)$. Уравнение $T = -\sin(T)$ для $T > 0$ не имеет решений. Следовательно, исходное предположение неверно, и функция не является периодической. Определить главный период невозможно.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; функция не является периодической, главный период определить невозможно.

19. (4)

После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушения, оказалось, что запасов питьевой воды, имеющихся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как раньше. Сколько людей было на корабле сначала?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество людей на корабле.

Общий запас питьевой воды на корабле является постоянной величиной. Эту величину можно выразить как произведение количества людей на количество дней, на которые этого запаса хватит. Предположим, что норма потребления воды на одного человека в день постоянна.

Изначально запаса воды хватало для $x$ людей на 60 дней. Таким образом, общий запас воды (в человеко-днях) составляет:
$V = x \cdot 60$

После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение, количество людей на корабле стало $x + 30$. Теперь этого же запаса воды хватает на 50 дней. Следовательно, тот же самый запас воды можно выразить как:
$V = (x + 30) \cdot 50$

Поскольку общий запас воды $V$ не изменился, мы можем приравнять два полученных выражения и составить уравнение:
$60x = 50(x + 30)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$60x = 50x + 50 \cdot 30$
$60x = 50x + 1500$
$60x - 50x = 1500$
$10x = 1500$
$x = \frac{1500}{10}$
$x = 150$

Следовательно, первоначально на корабле было 150 человек.

Ответ: 150

20. (3) Решите уравнения:

а) $|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$;

б) $||3-x|-x+1|+x=6$.

а) $|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$

Для решения этого уравнения с несколькими модулями используется метод интервалов. Сначала находим точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

Критические точки:

• $x-1=0 \implies x=1$
• $x-2=0 \implies x=2$
• $x-3=0 \implies x=3$

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$, $[3, +\infty)$. Решим уравнение на каждом из них.

1. Интервал $x < 1$.

На этом интервале все выражения под модулями отрицательны: $x-1<0$, $x-2<0$, $x-3<0$. Раскрываем модули, меняя знак:

$-(x-1) - 2(-(x-2)) + 3(-(x-3)) = 4$

$-x+1 + 2(x-2) - 3(x-3) = 4$

$-x+1 + 2x-4 - 3x+9 = 4$

$-2x + 6 = 4$

$-2x = -2$

$x = 1$

Значение $x=1$ не принадлежит интервалу $x < 1$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. Интервал $1 \le x < 2$.

На этом интервале: $x-1 \ge 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(-(x-2)) + 3(-(x-3)) = 4$

$x-1 + 2(x-2) - 3(x-3) = 4$

$x-1 + 2x-4 - 3x+9 = 4$

$0 \cdot x + 4 = 4$

$4=4$

Это верное тождество, следовательно, все числа из данного интервала являются решениями. Решение: $x \in [1, 2)$.

3. Интервал $2 \le x < 3$.

На этом интервале: $x-1 > 0$, $x-2 \ge 0$, $x-3 < 0$. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(x-2) + 3(-(x-3)) = 4$

$x-1 - 2x+4 - 3x+9 = 4$

$-4x + 12 = 4$

$-4x = -8$

$x = 2$

Значение $x=2$ принадлежит интервалу $2 \le x < 3$, следовательно, является решением.

4. Интервал $x \ge 3$.

На этом интервале все выражения под модулями неотрицательны. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(x-2) + 3(x-3) = 4$

$x-1 - 2x+4 + 3x-9 = 4$

$2x - 6 = 4$

$2x = 10$

$x = 5$

Значение $x=5$ принадлежит интервалу $x \ge 3$, следовательно, является решением.

Объединим все найденные решения: из второго случая получили интервал $[1, 2)$, из третьего – точку $x=2$, из четвертого – точку $x=5$. Объединение $[1, 2) \cup \{2\}$ дает отрезок $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.

б) $||3-x|-|x+1||+x=6$

Сначала преобразуем уравнение. Используем свойство $|a|=| -a|$, поэтому $|3-x|=|x-3|$.

$||x-3|-|x+1||+x=6$

Изолируем внешний модуль:

$||x-3|-|x+1|| = 6-x$

Так как левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$6-x \ge 0 \implies x \le 6$.

Уравнение вида $|A|=B$ равносильно совокупности двух систем: $A=B$ или $A=-B$.

1) $|x-3|-|x+1| = 6-x$

2) $|x-3|-|x+1| = -(6-x) = x-6$

Решим каждое из этих уравнений методом интервалов. Критические точки для внутренних модулей: $x=-1$ и $x=3$.

Решаем уравнение 1: $|x-3|-|x+1| = 6-x$.

• При $x < -1$: $-(x-3) - (-(x+1)) = 6-x \implies -x+3+x+1 = 6-x \implies 4=6-x \implies x=2$. Не входит в интервал $x<-1$.
• При $-1 \le x < 3$: $-(x-3) - (x+1) = 6-x \implies -x+3-x-1 = 6-x \implies -2x+2 = 6-x \implies -x=4 \implies x=-4$. Не входит в интервал $[-1, 3)$.
• При $x \ge 3$: $(x-3) - (x+1) = 6-x \implies x-3-x-1 = 6-x \implies -4=6-x \implies x=10$. Входит в интервал $x \ge 3$, но не удовлетворяет ограничению $x \le 6$.

Первое уравнение не имеет решений.

Решаем уравнение 2: $|x-3|-|x+1| = x-6$.

• При $x < -1$: $-(x-3) - (-(x+1)) = x-6 \implies 4=x-6 \implies x=10$. Не входит в интервал $x<-1$.
• При $-1 \le x < 3$: $-(x-3) - (x+1) = x-6 \implies -2x+2 = x-6 \implies -3x=-8 \implies x=\frac{8}{3}$. Проверяем: $x=\frac{8}{3}$ принадлежит интервалу $[-1, 3)$ и удовлетворяет ограничению $x \le 6$. Следовательно, это корень.
• При $x \ge 3$: $(x-3) - (x+1) = x-6 \implies -4=x-6 \implies x=2$. Не входит в интервал $x \ge 3$.

Единственное решение, полученное из всей совокупности, это $x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $x = \frac{8}{3}$.

21. (2) Три работника, работая три дня по три часа каждый день, могут засеять три гектара сельскохозяйственных культур. Какую площадь могут засеять 6 работников, работая шесть дней по шесть часов каждый день? Производительность всех работников считать одинаковой.

Для решения этой задачи можно пойти двумя путями: через нахождение производительности труда или через метод пропорций. Оба способа дадут одинаковый результат.

Способ 1: Расчет через производительность
1. Сначала найдем общее количество человеко-часов, затраченных на работу в первом случае, когда трое работников засеяли три гектара.
$3 \text{ работника} \times 3 \text{ дня} \times 3 \text{ часа/день} = 27$ человеко-часов.

2. За эти $27$ человеко-часов было засеяно $3$ гектара. Теперь можно найти производительность, то есть какую площадь засевает один работник за один час.
Производительность = $\frac{\text{Общая площадь}}{\text{Общее количество человеко-часов}} = \frac{3 \text{ га}}{27 \text{ человеко-часов}} = \frac{1}{9}$ гектара в час на одного работника.

3. Далее рассчитаем общее количество человеко-часов для второго случая, когда работают шесть работников.
$6 \text{ работников} \times 6 \text{ дней} \times 6 \text{ часов/день} = 216$ человеко-часов.

4. Зная производительность и общее количество человеко-часов, найдем итоговую площадь, которую они могут засеять.
Итоговая площадь = (Общее количество человеко-часов) $\times$ (Производительность) = $216 \text{ человеко-часов} \times \frac{1}{9} \frac{\text{га}}{\text{человеко-час}} = \frac{216}{9} = 24$ гектара.

Способ 2: Метод пропорций
Засеваемая площадь прямо пропорциональна количеству работников, количеству дней и количеству часов работы в день. Сравним, как изменился каждый из этих параметров.
- Количество работников увеличилось в: $6 \div 3 = 2$ раза.
- Количество дней увеличилось в: $6 \div 3 = 2$ раза.
- Количество часов в день увеличилось в: $6 \div 3 = 2$ раза.

Чтобы найти, во сколько раз увеличится итоговая площадь, нужно перемножить все эти коэффициенты:
Общее увеличение = $2 \times 2 \times 2 = 8$ раз.

Теперь умножим начальную площадь на полученный коэффициент:
Новая площадь = $3 \text{ га} \times 8 = 24$ гектара.

Ответ: 24 гектара.