Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

4. (2) Функция $f(x) = \frac{(x-1)^4 (x+1)^7 (5-x)^8}{(x+3)^6}$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите интервалы убывания функции $F(x)$.

Функция $F(x)$ убывает на тех промежутках, где её производная $F'(x)$ неположительна, то есть $F'(x) \le 0$. По условию задачи, $F'(x) = f(x)$, следовательно, нам необходимо найти интервалы, на которых выполняется неравенство:

$f(x) = \frac{(x-1)^4(x+1)^7(5-x)^3}{(x+3)^6} \le 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём область определения функции $f(x)$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x+3)^6 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq -3$.
2. Найдём нули функции $f(x)$, приравняв числитель к нулю: $(x-1)^4(x+1)^7(5-x)^3 = 0$. Корнями уравнения являются $x = 1$, $x = -1$ и $x = 5$.
3. Нанесём на числовую ось точки, в которых функция равна нулю ($x=-1, 1, 5$) или не определена ($x=-3$). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Точка $x=-3$ выколотая, остальные — закрашенные, так как неравенство нестрогое.
4. Определим знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Знак функции меняется при переходе через корни нечётной кратности и не меняется при переходе через корни чётной кратности.
- Множитель $(x-1)^4$: корень $x=1$ имеет чётную кратность (4), знак не меняется.
- Множитель $(x+1)^7$: корень $x=-1$ имеет нечётную кратность (7), знак меняется.
- Множитель $(5-x)^3$: корень $x=5$ имеет нечётную кратность (3), знак меняется.
- Множитель $(x+3)^6$: корень $x=-3$ имеет чётную кратность (6), знак не меняется.
5. Проверим знак функции в крайнем правом интервале $(5, \infty)$. Возьмём пробную точку, например, $x=10$:
$f(10) = \frac{(10-1)^4(10+1)^7(5-10)^3}{(10+3)^6} = \frac{(+)^4 \cdot (+)^7 \cdot (-)^3}{(+)^6} = \frac{+ \cdot + \cdot -}{+} < 0$.
Двигаясь справа налево по числовой оси и учитывая кратность корней, расставим знаки на остальных интервалах:
- Интервал $(1, 5)$: при переходе через $x=5$ (нечётная кратность) знак меняется с «-» на «+».
- Интервал $(-1, 1)$: при переходе через $x=1$ (чётная кратность) знак не меняется и остаётся «+».
- Интервал $(-3, -1)$: при переходе через $x=-1$ (нечётная кратность) знак меняется с «+» на «-».
- Интервал $(-\infty, -3)$: при переходе через $x=-3$ (чётная кратность) знак не меняется и остаётся «-».
Таким образом, $f(x) \le 0$ на множестве $(-\infty, -3) \cup (-3, -1] \cup [5, \infty)$. Точка $x=1$ является нулем функции, но в её окрестности $f(x) \ge 0$, поэтому функция $F(x)$ в окрестности этой точки возрастает.
Следовательно, интервалами убывания функции $F(x)$ являются промежутки, где $f(x) \le 0$.
Ответ: $(-\infty, -3)$; $(-3, -1]$; $[5, \infty)$.

5. (3) Докажите, что:

а) функция $f(x)=-\frac{1}{3}x^3-x^2+x-2014$ возрастает на всей области определения;

б) функция $g(x)=2\cos x-3x$ убывает на всей области определения;

в) функция $h(x)=\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ возрастает на всей области определения.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - 2014$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - 2014)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2x + 1$.Полученное выражение можно представить в виде полного квадрата:$f'(x) = (x-1)^2$.Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$ из области определения. Производная равна нулю только в точке $x=1$, а на всех остальных участках области определения она строго положительна. Согласно достаточному условию возрастания функции, если производная $f'(x) \ge 0$ на некотором промежутке и обращается в ноль лишь в отдельных точках, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что функция $g(x) = 2\cos x - 3x$ убывает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Область определения функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $\cos x$ и $3x$ определены для всех действительных чисел. Найдем производную функции $g(x)$:$g'(x) = (2\cos x - 3x)' = -2\sin x - 3$.Оценим диапазон значений производной. Известно, что множество значений синуса ограничено отрезком $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.Умножим все части неравенства на $-2$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin x \ge 1 \cdot (-2)$, что дает $2 \ge -2\sin x \ge -2$.Теперь вычтем $3$ из всех частей неравенства:$2 - 3 \ge -2\sin x - 3 \ge -2 - 3$,$-1 \ge g'(x) \ge -5$.Таким образом, значение производной $g'(x)$ всегда находится в пределах от $-5$ до $-1$, то есть $g'(x) < 0$ для любого действительного числа $x$. Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $g(x)$ убывает на всей области определения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что функция $h(x) = \arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Сначала определим область определения $D(h)$. Функция $\arcsin x$ определена при $-1 \le x \le 1$. Функция $\sqrt{1-x^2}$ определена при $1-x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$. Таким образом, область определения функции $h(x)$ есть отрезок $D(h) = [-1; 1]$.Найдем производную функции $h(x)$ на интервале $(-1; 1)$:$h'(x) = (\arcsin x + \sqrt{1-x^2})' = (\arcsin x)' + (\sqrt{1-x^2})'$.Производная арксинуса: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.Производная квадратного корня: $(\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.Складываем полученные производные:$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$.Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов: $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{(1-x)(1+x)}$.Тогда $h'(x) = \frac{1-x}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \frac{\sqrt{(1-x)^2}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.На интервале $x \in (-1; 1)$ числитель $1-x$ строго больше нуля, и знаменатель $1+x$ также строго больше нуля. Следовательно, дробь $\frac{1-x}{1+x} > 0$, а значит и ее квадратный корень $h'(x) > 0$ на всем интервале $(-1; 1)$.Функция $h(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 1]$ и ее производная $h'(x) > 0$ на интервале $(-1; 1)$. Из этого следует, что функция $h(x)$ возрастает на всей своей области определения $[-1; 1]$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

6. (3) Определив множество значений производной от функции $f(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - \frac{1}{3}\sin 3x - \sqrt{2}x$, объясните, почему функция $f(x)$ убывает на всей области определения.

Определение множества значений производной

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \sqrt{2}x$.Первым шагом является нахождение производной функции $f(x)$. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования и производную сложной функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{3}\cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \sqrt{2}x\right)'$$f'(x) = \frac{1}{3}(\cos(3x))' - \frac{1}{3}(\sin(3x))' - (\sqrt{2}x)'$$f'(x) = \frac{1}{3}(-\sin(3x) \cdot 3) - \frac{1}{3}(\cos(3x) \cdot 3) - \sqrt{2}$$f'(x) = -\sin(3x) - \cos(3x) - \sqrt{2}$

Для нахождения множества значений производной, преобразуем тригонометрическую часть $-(\sin(3x) + \cos(3x))$ с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае, для выражения $\sin(3x) + \cos(3x)$ коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Тогда $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.Следовательно, $\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right)$.Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем использовать формулу синуса суммы:$\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\sin(3x)\cos\frac{\pi}{4} + \cos(3x)\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим полученное выражение обратно в формулу для производной:$f'(x) = -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}$.

Теперь найдем множество значений $f'(x)$. Мы знаем, что множество значений функции синус находится в пределах от -1 до 1:$-1 \le \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$.Умножим все части неравенства на $-\sqrt{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$\sqrt{2} \ge -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \ge -\sqrt{2}$.Теперь вычтем $\sqrt{2}$ из каждой части неравенства:$\sqrt{2} - \sqrt{2} \ge -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} \ge -\sqrt{2} - \sqrt{2}$.$0 \ge f'(x) \ge -2\sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений производной функции $f(x)$ есть отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Ответ: Множество значений производной функции $E(f')$ есть отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Объяснение, почему функция f(x) убывает на всей области определения

Для определения промежутков монотонности функции используется знак ее производной. Если производная функции $f'(x) \le 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

Как мы установили в предыдущем пункте, производная данной функции $f'(x) = -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}$, а ее множество значений — это отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Это означает, что для любого действительного значения $x$, значение производной $f'(x)$ является неположительным, то есть $f'(x) \le 0$.Поскольку это условие выполняется для всех $x$ из области определения функции ($\mathbb{R}$), функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.

Более того, производная $f'(x)$ равна нулю только в тех точках, где $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$. Это происходит в дискретных точках $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как производная не равна нулю тождественно ни на каком интервале, функция является строго убывающей.

Ответ: Функция $f(x)$ убывает на всей области определения, так как ее производная $f'(x)$ неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$.

7. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности (используя производную):

a) $f(x)=\cos x-\sqrt{3};$

б) $g(x)=x+\sin 2x;$

в) $h(x)=5\sin \left(x-\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{8}\right)-\frac{5\sqrt{2}}{2}x.$

а) Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x) = \cos x - \sqrt{3}$ используем ее производную.

1. Находим производную функции. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$.
$f'(x) = (\cos x - \sqrt{3})' = -\sin x$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.
$f'(x) = 0 \implies -\sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Критические точки: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Определяем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось.

• Функция возрастает, если $f'(x) > 0$.
  $-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$.
  Это неравенство справедливо на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $f'(x) < 0$.
  $-\sin x < 0 \implies \sin x > 0$.
  Это неравенство справедливо на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы интервалов можно включать.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $g(x) = x + \sin(2x)$.

1. Находим производную функции. Область определения функции $D(g) = \mathbb{R}$.
$g'(x) = (x + \sin(2x))' = 1 + 2\cos(2x)$.

2. Находим критические точки.
$g'(x) = 0 \implies 1 + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Критические точки: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Определяем знак производной.

• Функция возрастает, если $g'(x) > 0$.
  $1 + 2\cos(2x) > 0 \implies \cos(2x) > -\frac{1}{2}$.
  Решение этого неравенства: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, что дает $-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $g'(x) < 0$.
  $1 + 2\cos(2x) < 0 \implies \cos(2x) < -\frac{1}{2}$.
  Решение этого неравенства: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, что дает $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Включаем концы интервалов в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $h(x) = 5\sin(x - \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{8}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x$.

1. Упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$h(x) = \frac{5}{2} \cdot 2\sin(x - \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{8}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x = \frac{5}{2}\sin(2(x - \frac{\pi}{8})) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x = \frac{5}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x$.

2. Находим производную. Область определения функции $D(h) = \mathbb{R}$.
$h'(x) = (\frac{5}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x)' = \frac{5}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot 2 - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\cos(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

3. Находим критические точки.
$h'(x) = 0 \implies 5\cos(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии критических точек:
а) $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
б) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k$.

4. Определяем знак производной.

• Функция возрастает, если $h'(x) > 0$.
  $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Решение: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, что дает $\pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $h'(x) < 0$.
  $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Решение: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, что дает $\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Включаем концы интервалов в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. (3) Сколько членов арифметической прогрессии $a_n$ попадают в ин-

тервал убывания функции $g(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{2015}{2}x^2+2014x-2013$, если

$a_2=102$ и $a_3=202$?

Для решения задачи сначала необходимо найти интервал, на котором функция $g(x)$ убывает. Функция убывает, когда ее производная $g'(x)$ не положительна, то есть $g'(x) \le 0$.

1. Найдем интервал убывания функции $g(x)$.

Задана функция $g(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{2015}{2}x^2 + 2014x - 2013$.

Найдем ее производную:$g'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2015}{2}x^2 + 2014x - 2013\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2015 \cdot 2x}{2} + 2014 = x^2 - 2015x + 2014$.

Теперь решим неравенство $g'(x) \le 0$:$x^2 - 2015x + 2014 \le 0$.Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2015x + 2014 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $2015$, а их произведение равно $2014$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2014$.Поскольку график функции $y = x^2 - 2015x + 2014$ — это парабола с ветвями вверх, то значения функции не положительны между корнями, включая сами корни.Следовательно, интервал убывания функции $g(x)$ — это отрезок $[1, 2014]$.

2. Найдем параметры арифметической прогрессии $a_n$.

Из условия известны второй и третий члены прогрессии: $a_2 = 102$ и $a_3 = 202$.Разность арифметической прогрессии $d$ равна:$d = a_3 - a_2 = 202 - 102 = 100$.Первый член прогрессии $a_1$ находим из соотношения $a_2 = a_1 + d$:$a_1 = a_2 - d = 102 - 100 = 2$.Теперь запишем формулу n-го члена данной арифметической прогрессии:$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 100 = 2 + 100n - 100 = 100n - 98$.

3. Определим, сколько членов прогрессии $a_n$ попадают в интервал убывания $[1, 2014]$.

Для этого нужно найти количество натуральных чисел $n$, для которых выполняется двойное неравенство:$1 \le a_n \le 2014$.Подставим в неравенство найденную формулу для $a_n$:$1 \le 100n - 98 \le 2014$.Прибавим ко всем частям неравенства 98:$1 + 98 \le 100n \le 2014 + 98$$99 \le 100n \le 2112$.Теперь разделим все части неравенства на 100:$\frac{99}{100} \le n \le \frac{2112}{100}$$0.99 \le n \le 21.12$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то этому условию удовлетворяют все целые числа от 1 до 21 включительно: $n = 1, 2, 3, \ldots, 21$.Чтобы найти количество этих чисел, вычтем из последнего номера первый и прибавим единицу: $21 - 1 + 1 = 21$.Таким образом, 21 член прогрессии попадает в интервал убывания функции.

Ответ: 21.

9. (3) При каких значениях параметра a функция $f(x)=x^2+2ax-17$:

a) убывает на интервале $x \in (-\infty;4)$ и возрастает на интервале $x \in (4;+\infty)$;

б) убывает на интервале $x \in (-\infty;4)$?

Данная функция $f(x) = x^2 + 2ax - 17$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число). Такая парабола имеет точку минимума (вершину), убывает на промежутке до вершины и возрастает после неё.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$. Для параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае коэффициенты $A=1$ и $B=2a$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{2a}{2 \cdot 1} = -a$.

Следовательно, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty; -a]$ и возрастает на интервале $[-a; +\infty)$.

а) убывает на интервале $x \in (-\infty; 4)$ и возрастает на интервале $x \in (4; +\infty)$

Согласно условию, функция должна менять характер монотонности (с убывания на возрастание) в точке $x=4$. Это означает, что вершина параболы, являющаяся точкой минимума, должна иметь абсциссу $x=4$.

Приравняем абсциссу вершины к этому значению:

$x_v = -a = 4$

Отсюда находим искомое значение параметра $a$:

$a = -4$

При $a = -4$ функция имеет вид $f(x) = x^2 - 8x - 17$. Ее вершина находится в точке $x = -(-4) = 4$. Соответственно, функция убывает на интервале $(-\infty; 4]$ и возрастает на интервале $[4; +\infty)$, что полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $a = -4$.

б) убывает на интервале $x \in (-\infty; 4)$?

Мы установили, что область убывания функции $f(x)$ — это интервал $(-\infty; -a]$. Чтобы функция убывала на заданном интервале $(-\infty; 4)$, этот интервал должен полностью содержаться в области убывания функции.

То есть, должно выполняться включение: $(-\infty; 4) \subseteq (-\infty; -a]$.

Это условие будет верным, если правая граница интервала $(-\infty; 4)$, то есть число $4$, будет меньше или равна правой границе интервала $(-\infty; -a]$, то есть числу $-a$.

Запишем это в

10. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности:

a) $f(x) = x \sin \frac{15\pi}{7} - 67;$

б) $g(x) = \frac{\arccos(-1)}{(-2\pi)} x^2 + 7x \tan \frac{15\pi}{4} + 777 \sin 6;$

в) $h(x) = x^3 + x^2 \tan^2 \frac{5\pi}{3} - 9x + 7 \arcsin \frac{2}{3}.$

a) Дана функция $f(x) = x \sin\frac{15\pi}{7} - 67$.

Эта функция является линейной вида $f(x) = kx + b$, где угловой коэффициент (наклон) $k = \sin\frac{15\pi}{7}$, а свободный член $b = -67$. Монотонность линейной функции определяется знаком ее углового коэффициента $k$.

Найдем знак коэффициента $k = \sin\frac{15\pi}{7}$. Упростим аргумент синуса: $\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi + \pi}{7} = 2\pi + \frac{\pi}{7}$.

В силу периодичности функции синус, $\sin\frac{15\pi}{7} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7}$.

Угол $\frac{\pi}{7}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), следовательно, его синус положителен: $\sin\frac{\pi}{7} > 0$.

Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

Другой способ — через производную. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = (\sin\frac{15\pi}{7}) \cdot (x)' - (67)' = \sin\frac{15\pi}{7}$.

Поскольку $f'(x) = \sin\frac{15\pi}{7} > 0$ для любого значения $x$, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty, +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{\arccos(-1)}{(-2\pi)}x^2 + 7x \operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} + 777\sin6$.

Это квадратичная функция. Для определения интервалов монотонности сначала упростим постоянные коэффициенты.

Коэффициент при $x^2$: $\frac{\arccos(-1)}{-2\pi}$. Известно, что $\arccos(-1) = \pi$. Тогда коэффициент равен $\frac{\pi}{-2\pi} = -\frac{1}{2}$.

Коэффициент при $x$: $7 \operatorname{tg}\frac{15\pi}{4}$. Упростим аргумент тангенса: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} = \operatorname{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Коэффициент равен $7 \cdot (-1) = -7$.

Свободный член: $777\sin6$.

Таким образом, функция имеет вид: $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 7x + 777\sin6$.

Для нахождения интервалов монотонности найдем производную $g'(x)$:$g'(x) = (-\frac{1}{2}x^2 - 7x + 777\sin6)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 7 = -x - 7$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:$-x - 7 = 0 \implies x = -7$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = -7$ делит числовую прямую.При $x < -7$, производная $g'(x) = -x - 7 > 0$, следовательно, функция $g(x)$ возрастает.При $x > -7$, производная $g'(x) = -x - 7 < 0$, следовательно, функция $g(x)$ убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty, -7]$ и убывает на интервале $[-7, +\infty)$.

в) Дана функция $h(x) = x^3 + x^2 \operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3}$.

Это кубическая функция. Упростим коэффициент при $x^2$: $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3}$.

Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти. $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Функция принимает вид: $h(x) = x^3 - \sqrt{3}x^2 - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3}$.

Найдем производную $h'(x)$:$h'(x) = (x^3 - \sqrt{3}x^2 - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3})' = 3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9$.

Найдем критические точки, решив уравнение $h'(x) = 0$: $3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9 = 0$.Вычислим дискриминант: $D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 12 + 108 = 120$.$\sqrt{D} = \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}$.

Корни уравнения (критические точки):$x_{1,2} = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm 2\sqrt{30}}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{30}}{3}$.

Критические точки: $x_1 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}$.

Производная $h'(x) = 3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9$ является параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$). Следовательно, $h'(x) > 0$ вне интервала между корнями и $h'(x) < 0$ внутри этого интервала.

Таким образом, функция $h(x)$ возрастает при $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}]$ и $x \in [\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}, +\infty)$.

Функция $h(x)$ убывает при $x \in [\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}]$.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}]$ и $[\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}, +\infty)$, и убывает на интервале $[\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}]$.